1、第 6 讲 机械能守恒与能量守恒一、明晰一个网络，理解机械能守恒定律的应用方法二、掌握系统机械能守恒的三种表达式三、理清、透析各类功能关系高频考点 1 机械能守恒定律的应用运用机械能守恒定律分析求解问题时，应注意：1研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节，有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统) 为研究对象机械能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象，机械能却是守恒的如图所示，单独选物体 A 机械能减少，但由物体 A、B 二者组成的系统机械能守恒2要注意研究过程的选取有些问题研究对象的运动过程分几个阶段，有的阶段机械能守恒，而有的阶段机械能不守恒因此，在应用机械能
2、守恒定律解题时要注意过程的选取3注意机械能守恒表达式的选取“守恒的观点”的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题，列式时需选取参考平面而用“转移”和“转化”的角度反映机械能守恒时，不必选取参考平面11 (多选)(2015全国卷)如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则( )Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小时， b 对地面的压力
3、大小为 mg解析：由题意知，系统机械能守恒设某时刻 a、b 的速度分别为 va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为 ，分别将 va、vb分解，如图因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度 v与 v是相等的，即 vacos v bsin .当 a滑至地面时 90，此时 vb0，由系 统机械能守恒得 mgh mv ，解得 va ，选项 B12 2a 2gh正确；同时由于 b 初、末速度均 为零，运 动过程中其动能先增大后减小，即杆对 b 先做正功后做负功，选项 A 错误；杆对 b 的作用先是推力后是拉力， 对 a 则先是阻力后是动力，即 a 的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于 g，选项 C 错误
4、；b 的动能最大时，杆对 a、b 的作用力为零，此时 a 的机械能最小，b 只受重力和支持力，所以 b 对地面的压力大小为 mg，选项 D 正确答案：BD12.(多选)(2017泰安市高三质检)如图所示，将质量为 2 m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上 A 点，光滑定滑轮与直杆的距离为 d.A 点与定滑轮等高，B 点在距 A 点正下方 d 处现将环从 A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A环到达 B 处时，重物上升的高度 hdB环从 A 到 B，环减少的机械能等于重物增加的机械能C环从 A 点能下降的最大高度为 d43
5、D当环下降的速度最大时，轻绳的拉力 T2mg解析：根据几何关系有，环从 A 下滑至 B 点时，重物上升的高度 h dd，故 A 错误；2环下滑过程中无摩擦力做功，故系 统机械能守恒，即 满足环 减小的机械能等于重物增加的机械能，故 B 正确； 设环下滑最大高度为 H 时环和重物的速度均 为零，此 时重物上升的最大高度为： d，根据机械能守恒有：mgH2mg( d)，解得：H ，故 C 正确；H2 d2 H2 d24d3环向下运动，做非匀速运动，就有加速度，所以重物向上运动，也有加速度，即环运动的时候，绳的拉力不可能是 2mg，故 D 错误所以 BC 正确， AD 错误答案：BC13.(2017
6、全国卷)一质量为 8.00104kg 的太空飞船从其飞行轨道返回地面飞船在离地面高度 1.60105 m 处以 7.50103 m/s 的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为 100 m/s 时下落到地面取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为 9.8 m/s2.(结果保留 2 位有效数字)(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；(2)求飞船从离地面高度 600 m 处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的 2.0%解析：(1)飞船着地前瞬间的机械能为Ek0 mv12 20式中，m 和 v0 分
7、别是飞船的质量和着地前瞬间的速率由式和题给数据得Ek04.010 8 J 设地面附近的重力加速度大小为 g.飞船进入大气层时的机械能为Eh mv mgh 12 2h式中，v h是飞船在高度 1.60105 m 处的速度大小由式和题给数据得Eh2.410 12J (2)飞船在高度 h600 m 处的机械能为Eh m 2mgh 12 (2.0100vh)由功能原理得WE hE k0 式中，W 是飞船从高度 600 m 处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功由式和题给数据得W9.710 8 J 答案：(1)4.010 8 J 2.410 12 J (2)9.7 108 J14 (2016全国丙卷)如
8、图，在竖直平面内有由 圆弧 AB 和 圆弧 BC 组成的光滑固14 12定轨道，两者在最低点 B 平滑连接AB 弧的半径为 R，BC 弧的半径为 .一小球在 A 点正R2上方与 A 相距 处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动R4(1)求小球在 B、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点解析：(1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒定律得 EkAmgR4设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 EkBmg 5R4由式得 5. EkBEkA(2)若小球能沿轨道运动到 C 点，则小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 N0 设小
9、球在 C 点的速度大小为 vC，由牛 顿第二定律和向心加速度公式有 Nmg mv2CR2由式得，v C应满足 mgm 2v2CR由机械能守恒定律得 mg mv R4 12 2C由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到 C 点答案：(1)5 (2)能沿轨道运动到 C 点高频考点 2 能量守恒定律的应用(2015福建卷)如图，质量为 M 的小车静止在光滑水平面上，小车 AB 段是半径为 R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为 L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B点一质量为 m 的滑块在小车上从 A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为 g(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力大小；(2
10、)若不固定小车，滑块仍从 A 点由静止下滑，然后滑入 BC 轨道，最后从 C 点滑出小车已知滑块质量 m ，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的 2M2倍，滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数为 ，求：滑块运动过程中，小车的最大速度大小 vm；滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s思路点拨 (1)由题中信息“小车静止在光滑水平面上”得知若不固定小车，则当滑块下滑时小车会在水平面上向左滑动(2)由 BC 段粗糙可知滑块在 BC 段相对小车滑动时会产生热量(3)滑块对小车压力最大的位置在哪里？怎样求最大压力？(4)小车不固定时什么时候速度最大？怎样求小车的最大速度？提示：(
11、3)滑块对小车压力最大的位置在 B 处，由能量守恒定律求得滑块在 B 处的速度，再由牛顿第二定律求出滑块在 B 处的支持力，由牛顿第三定律得到滑块对小车的压力(4)滑块滑到小车的 B 点时，小车速度最大，由下滑过程中小车和滑块组成的系统机械能守恒即可求出最大速度【解析】 (1)滑块滑到 B 点时对小车压力最大，从 A 到 B 机械能守恒，有mgR mv ，滑 块在 B 点处，由牛顿第二定律有 Nmgm12 2B v2BR解得 N3mg由牛顿第三定律可得 N3 mg(2)滑块下滑到达 B 点时，小车速度最大由机械能守恒定律，有mgR Mv m(2vm)212 2m 12解得 vm gR3设滑 块
12、运动 到 C 点时，小车 速度大小为 vC，由功能关系有mgRmgL Mv m(2vC)212 2C 12设滑块从 B 到 C 过程中，小车运动加速度大小为 a，由牛顿第二定律有 mgMa由运动学规律有 v v 2as2C 2m解得 s L13【答案】 (1)3mg (2) gR3 L31与能量有关的力学综合题的特点(1)常见的与能量有关的力学综合题有单一物体多过程和多个物体多 过程两大类型；(2)联系前后两个过程的关键物理量是速度，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度；(3)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律，题目中出现相对位移时，应优先选择 能量守恒定律
13、2解答与能量有关的综合题时的注意事项(1)将复杂的物理过程分解为几个简单的物理过程，挖掘出题中的隐含条件，找出联系不同阶段的“桥梁” (2)分析物体所经历的各个运动过程的受力情况以及做功情况的 变化，选择适合的规律求解21.(多选)(2017湖北省六校联合体高三联考)图示为某探究活动小组设计的节能运动系统斜面轨道倾角为 30，质量为 M 的木箱与轨道的动摩擦因数为 ，木箱在轨道 A 端35时，自动装货装置将质量为 m 的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，在轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道 A端，重复上述过程下列选项正确的是( )Am3M
14、Bm2MC木箱不与弹簧接触时，上滑过程的运动时间大于下滑过程中的运动时间D若货物的质量减少，则木箱一定不能回到 A 处解析：设下滑的距离为 l，根据能量守恒有(M m )glsin (M m)glcos Mglsin Mglcos 得 m3 M，A 正确、 B 错误；受力分析可知，下滑时加速度为 ggcos ，上滑时加速度为 gg cos ，上滑过程可以看作相同大小加速度的反向的初速度为零的下滑过程，位移相同，加速度大的时间短，C 错误；根据(Mm)glsin (M m)glcos Mglsin Mglcos ，木箱恰好被 弹 回到轨道 A 端，如果货物的质量减少，等号前边一定小于后边，即轻弹
15、簧被压缩至最短时的弹性势能小于木箱回到 A 处所需的能量，则木箱一定不能回到A 处，D 正确；故选 AD答案：AD22.(多选)(2017南昌市高三第二次模拟)水平长直轨道上紧靠放置 n 个质量为 m 可看作质点的物块，物块间用长为 l 的细线连接，开始处于静止状态，轨道动摩擦力因数为 .用水平恒力 F 拉动 1 开始运动，到连接第 n 个物块的线刚好拉直时整体速度正好为零，则( )A拉力 F 所做功为 nFl B系统克服摩擦力做功为nn 1mgl2CF D( n1)mg ，故 C 正确，D 错误nmg2答案：BC高频考点 3 功能关系的应用31 (2017全国卷)如图，一质量为 m、长度为
16、l 的均匀柔软细绳 PQ 竖直悬挂用外力将绳的下端 Q 缓慢地竖直向上拉起至 M 点， M 点与绳的上端 P 相距 l.重力加13速度大小为 g.在此过程中，外力做的功为( )A mgl B mgl19 16C mgl D mgl13 12解析：将绳的下端 Q 缓慢向上拉至 M 点，相当于使下部分 的绳的重心升高 l，故重力13 13势能增加 mg mgl，由功能关系可知 A 项正确13 l3 19答案：A32.(多选) (2017西安市高新一中一模)一个质量为 m 的物体以某一速度从固定斜面底端冲上倾角 30的斜面，其加速度为 g，如图此物体在斜面上上升的最大高度为 h，则34此过程中正确的
17、是( )A物体动能增加了 mgh B物体克服重力做功 mgh32C物体机械能损失了 mgh D物体克服摩擦力做功 mgh12 14解析：物体在斜面上加速度为 g，方向沿斜面向下，物体的合力 F 合 ma mg，方向34 34沿斜面向下，斜面倾角 30，物体从斜面底端到最大高度处位移为 2 h，物体从斜面底端到最大高度处，物体合力做功 W 合 F 合 2h mgh，根据动能定理研究物体从斜面底32端到最大高度处得 W 合 E k，所以物体 动能减小 mgh，故 A 错误；根据功的定义式得：重32力做功 WG mgh，故 B 正确；重力做功量度重力势能的变化，所以物体重力 势能增加了mgh，而物体
18、动能减小 mgh，所以物体机械能损失了 mgh，故 C 正确；除了重力之外的力做32 12功量度机械能的变化物体除了重力之外的力做功还有摩擦力做功，物体机械能减小了mgh，所以摩擦力做功为 mgh，故 D 错误12 12答案：BC33.(多选)(2016全国甲卷)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于 O 点，另一端与小球相连现将小球从 M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了 N 点已知在M、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONM T2 BT 1T 2CF 1F1，选项 C 正确、D 错误图乙【答案】 BC弹簧类平衡问题涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，求解时要注意
19、弹力的大小与方向总是与形变相对应，因此 审题时应从弹簧的形 变分析入手，找出形 变量与物体空间位置变化的对应关系，分析形 变所对应的弹力大小和方向，再结合物体所受其他力的情况列式求解弹簧中的“突变模型”如图所示，在水平面上有一个质量为 m2 kg 的小球小球与轻弹簧和轻绳相连弹簧水平放置，绳与竖直方向成 45 角且不可伸长此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零已知小球与水平面之间的动摩擦因数 0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 g10 m/s 2.则在剪断轻绳的瞬间，下列说法中正确的是 ( )A小球受力个数不变B小球立即向左运动，且 a8 m/s 2C小球立即向左运动
20、，且 a10 m/s 2D若不剪断轻绳，从右端剪断弹簧，则剪断弹簧瞬间，小球加速度的大小为 a10 2m/s2思路点拨 (1)剪断轻绳时弹簧的弹力不会发生突变，即与剪断前一样；(2)从右端剪断弹簧时，轻绳的弹力会发生突 变，即 轻绳的弹力会立即消失【解析】 在剪断轻绳前，小球受重力、绳子的拉力以及弹簧的弹力处于平衡状态，根据共点力的平衡可得弹簧的弹力方向水平向左，且 Fmgtan ，代入数据可解得 F20 N剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹 力仍然为 20 N，小球此 时受重力、支持力、弹簧弹力和摩擦力四个力的作用，小球的受力个数发生改变， 选项 A 错误；小球所受的最大静摩擦力为fm mg4 N，根
21、据牛 顿第二定律可得小球此时的加速度大小 为 a ，解得 a8 F fmmm/s2，由于合力方向向左，故小球立即向左运 动，选项 B 正确，选项 C 错误；从右端剪断弹簧的瞬间，轻绳对小球的拉力突 变为零，此 时小球所受的合力 为零，故小球的加速度也为零，选项 D 错误【答案】 B弹簧(或橡皮绳)恢复形变需要时间，在瞬 时问题中可以认为 其弹力不变，即弹力不能突变而细绳( 或接触面)不发生明 显形变就能产生弹力，若剪断( 或脱离) ，弹力立即消失，即弹力可突变弹簧中的“能量模型”(多选) (2015江苏卷)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，
22、弹簧水平且处于原长圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大，到达 C 处的速度为零，AC h.圆环在 C 处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到 A 弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g.则圆环( )A下滑过程中，加速度一直减小B下滑过程中，克服摩擦力做的功为 mv214C在 C 处，弹簧的弹性势能为 mv2mgh14D上滑经过 B 的速度大小大于下滑经过 B 的速度大小思路点拨 (1)从下滑过程中速度的变化情况可以判断加速度的变化情况；(2)由全过程中的能量守恒可得到下滑过程中克服摩擦力所做的功以及圆环从 A 运动到 C 的过程中弹簧的弹性势能的变化量；(3)在分析下滑过程和上滑
23、过程中 B 点的瞬时速度时，应以 AB 段的运动为研究过程，用能量守恒定律求解，但是要注意不论是从 A 下滑到 B，还是从 B 上滑到A，圆环 克服摩擦力做的功相等，弹簧弹性势能的变化量的 绝对值也相等【解析】 圆环向下运动过程中，在 B 点速度最大，在 A、C 点速度为 0，说明向下先加速后减速，加速度先向下减小，后向上增大，A 项错误；下滑过程和上滑过程克服摩擦力做功相同，因此下滑过程 WfE p mgh，上滑 过程 Wfmgh mv2E p，因此克服摩擦力做功12Wf mv2，B 项正确；在 C 处， 弹簧的弹性势能 EpmghW fmgh mv2，C 项错误；从 A14 14下滑到 B
24、， mv E pW fmgh，从 B 上滑到12 2B1A， mv E p mghW f mv E p2W f，可见 vB2vB1，D 项正确12 2B 12 2B1【答案】 BD1当牵涉弹簧的弹力做功时，由于弹簧的弹力是变力，故一般不直接采用功的定义式求解中学阶段通常根据动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹簧弹力做的功或弹簧储存的弹性势能2弹簧的弹性势能与弹簧的规 格和形变程度有关， 对同一根 弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只要形变 量相同，其 储存的弹性势能就相同与其他模型相结合的综合模型如图所示，倾角 37的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半
25、径和质量均不计的光滑定滑轮 D，质量均为 m1 kg 的物体 A 和 B 用一劲度系数 k240 N/m 的轻弹簧连接，物体 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住用一不可伸长的轻绳使物体 A 跨过定滑轮与质量为 M 的小环 C 连接，小环 C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环 C 位于 Q 处，绳与细杆的夹角 53，且物体B 对挡板的压力恰好为零图中 SD 水平且 d0.2 m，位置 R 与位置 Q 关于位置 S 对称，轻弹簧与定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让环 C 从位置 R 由静止释放，已知 sin 370.6，cos 370.8，重力加速度 g10 m/s 2.
26、求：(1)小环 C 的质量 M；(2)小环 C 通过位置 S 时的动能 Ek 及环从 R 运动到 S 的过程中轻绳对环做的功 W；(3)小环 C 运动到位置 Q 时的速率 v【解析】 (1)当整个系统静止时，环 C 处于 Q 处，此时以 A、B 组成的整体为研究对象进行受力分析，则可知绳子的拉力 T2mgsin ；以小环 C 为研究对象，则有 Tcos Mg ，两式联立并代入数据求解可得 M0.72 kg(2)由题意可知，开始时 B 对挡板没有压力，故弹簧处于伸长状态，设弹簧此时的伸长量为 x，则有 mgsin kx，解得 x0.025 m当小环 C 到达 S 时，物体 A 沿斜面向下运动的距
27、离为 x d，解得 x0.05 m，故此 时弹簧的压缩 量为 x0.025 m，可得小环在位dsin 置 R 和 S 时弹簧的弹性势能相等由运动的合成与分解可知，当小环 C 在位置 S 时，物体 A的速度为零，所以小环 C 从 R 运动到 S 的过程中，由机械能守恒定律可得 Mgdcot mgx sin E k，代入数据可解得 Ek1.38 J，小环从位置 R 运动到位置 S 的过程中，由动能定理可知 WMgdcot Ek，解得 W0.3 J(3)环从位置 R 运动到 Q 的过 程中，由机械能守恒定律可得 Mg2dcot Mv2 mv ，12 12 2A又因为 vAvcos (绳模型：C 与
28、A 沿绳的速度大小相等 )，两式联立并代入数据求解可得v2 m/s 【答案】 (1)0.72 kg (2)1.38 J 0.3 J (3)2 m/s对于和其他模型相结合的弹簧问题，一般情况下物理情境较为复杂，涉及的物理量比 较多，分析过程也相对麻烦，试题难度一般较大处理此类问题最好的办法就是“拆分法” ，即把一个复杂的物理问题“拆分”为若干个熟悉而又简单的物理模型，如本题就涉及了运动的合成与分解模型、斜面模型、绳模型及弹簧模型考生只要将每一个拆分的模型弄清楚，这类问题就能迎刃而解一般来 说， 弹簧模型容易与平抛运 动模型、圆周运动模型以及匀变速直线模型结合，综合考查运 动学、牛 顿运动定律以及功和能的相关知 识
