1、课时分层训练(三十四) 归纳与类比A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确C 因为 f(x)sin( x21)不是正弦函数，所以小前提不正确2如图 643，根据图中的数构成的规律，得 a 表示的数是( )图 643A12 B48C60 D144D 由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a1212144.3下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) 【导学号：0009021
2、4】A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无理数；结论： 是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；结论： 是无理数C大前提： 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： 是无理数D大前提： 是无限不循环小数；小前提： 是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B A 中小前提不正确，C、D 都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D 都不正确，只有 B 的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确4(2018渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图 644他们研究过图中的 1,3,6,10，由于这些数能够
3、表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列 an，那么 a10的值为( )A45 B55C65 D66B 第 1 个图中，小石子有 1 个，第 2 个图中，小石子有 312 个，第 3 个图中，小石子有 6123 个，第 4 个图中，小石子有 101234 个，故第 10 个图中，小石子有 12310 55 个，即 a1055，故选 B101125如图 645 所示，椭圆中心在坐标原点， F 为左焦点，当 时，其离心率为 ，FB AB 5 12此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e等于( ) 【导学号：00090
4、215】图 645A B5 12 5 12C 1 D 15 5A 设“黄金双曲线”方程为 1，x2a2 y2b2则 B(0， b)， F( c,0)， A(a,0)在“黄金双曲线”中，因为 ，所以 0.FB AB FB AB 又 ( c， b)， ( a， b)FB AB 所以 b2 aC 而 b2 c2 a2，所以 c2 a2 aC在等号两边同除以 a2，得 e .5 12二、填空题6已知点 A(x1， x )， B(x2， x )是函数 y x2的图像上任意不同的两点，依据图像可知，21 2线段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图像的上方，因此有结论 2成x21 x22 (x1 x2
5、2 )立运用类比思想方法可知，若点 A(x1，sin x1)， B(x2，sin x2)是函数 ysin x(x(0，)的图像上任意不同的两点，则类似地有结论_成立sin 函数 ysin x(x(0，)的图像上任意不同的两点sin x1 sin x22 x1 x22A， B，线段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin .sin x1 sin x22 x1 x227观察下列不等式：1 ，122321 ，122 132531 ，122 132 14274照此规律，第五个不等式为_1 左边的式子的通项是 1 ，右边122 132 142 152 162116 122
6、132 1 n 1 2式子的分母依次增加 1，分子依次增加 2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为 1 .122 132 142 152 1621168(2017东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀” ，乙说“我得了优秀” ，甲说“丙说的是真话” 事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是_丙 如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的” ，即“甲没有得优秀”是假的
7、，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀” ，这与甲说“丙说的是真话”符合所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积 S 底高；(3)三角形的中位线平行于第12三边且等于第三边的 ；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论. 12【导学号：00090216】解 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
8、(2)四面体的体积 V 底面积高；13(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 .1410设 f(x) ，先分别求 f(0) f(1)， f(1) f(2)， f(2) f(3)，然后归纳猜13x 3想一般性结论，并给出证明解 f(0) f(1) 130 3 131 3 ， 2 分11 3 13 3 3 12 3 36 33同理可得： f(1) f(2) ，33f(2) f(3) ，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1.33归纳猜想得：当 x1 x21 时，均有 f(x1) f(x2) . 6 分33证明：设 x1 x21，f(x1) f(x2) 13x1 3
9、13x2 3 3x1 3 3x2 3 3x1 3 3x2 3 3x1 3x2 233x1 x2 3 3x1 3x2 3 . 12 分3x1 3x2 233 3x1 3x2 23 3x1 3x2 233 3x1 3x2 23 33B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2018郑州模拟)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸 13 边形对角线的条数为( )A42 B65C143 D169B 可以通过列表归纳分析得到凸多边形 4 5 6 7 8 对角线条数 2 23 234 2345 23456 凸 13 边形有 23411 65 条对角线故选 B131022(
10、2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_1 和 3 法一：由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3.若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡片上的数字是 1 和 3，满足题意；若丙的卡片上的数字是 1 和 3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡片上的数字是 1 和 2，不满足甲的说法故甲的
11、卡片上的数字是 1 和 3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡片上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.3某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(
12、25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：00090217】解 (1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30121 . 5 分14 34(2)法一：三角恒等式为sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) . 7 分34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos
13、 sin2 sin cos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 . 12 分34 34 34法二：三角恒等式为sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) . 7 分34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin (cos 30 cos sin 30sin )1 cos 22 1 cos 60 2 2 cos 2 (cos 60cos 2 sin 60sin 2 ) sin cos 12 12 12 12 32 sin212 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2 )12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 . 12 分14 14 14 34
