1、 训练目标 (1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1.(2015课标全国)设函数 f(x)e mx x2 mx.(1)证明： f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意 x1， x21,1，都有| f(x1) f(x2)|e1，求 m 的取值范围2(2015课标全国)已知函数 f(x) x3 ax ， g(x)ln x.14(1)当 a 为何值时， x 轴为曲线
2、 y f(x)的切线；(2)用 minm， n表示 m， n 中的最小值，设函数 h(x)min f(x)， g(x)(x0)，讨论 h(x)零点的个数3已知函数 f(x)( x1)e x(e 为自然对数的底数)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 (x) xf(x) tf( x)e x，存在实数 x1， x20,1，使得 2 (x1)f( x) 对于任意的 x1,2成立325已知函数 f(x) xlnx 和 g(x) m(x21)( mR)(1)m1 时，求方程 f(x) g(x)的实根；(2)若对任意的 x(1，)，函数 y g(x)的图象总在函数 y f(x)图象的上方，求 m
3、 的取值范围；(3)求证： ln(2n1) ( nN *)4412 1 42422 1 4n4n2 1答案精析1(1)证明 f( x) m(emx1)2 x.若 m0，则当 x(，0)时，e mx10， f( x)0.若 m0， f( x)0.所以函数 f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)解 由(1)知，对任意的 m， f(x)在1，0上单调递减，在0,1上单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小值所以对于任意 x1， x21,1，| f(x1) f(x2)|e1 的充要条件是Error!即Error! 设函数 g(t)e t te1，则 g( t)e t1.当 t0 时
4、， g( t)0.故 g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又 g(1)0， g(1)e 1 2e1 时， g(m)0，即 em me1；当 m0，即 e m me1.综上， m 的取值范围是1,12解 (1)设曲线 y f(x)与 x 轴相切于点( x0,0)，则 f(x0)0， f( x0)0，即Error! 解得 x0 ， a .12 34因此，当 a 时， x 轴为曲线 y f(x)的切线34(2)当 x(1，)时， g(x)ln x0.所以只需考虑 f(x)在(0,1)上的零点个数()若 a3 或 a0，则 f( x)3 x2 a 在(0,1)上无零点，故 f(x)在(0
5、,1)上单调而f(0) ， f(1) a ，所以当 a3 时， f(x)在(0,1)上有一个零点；当 a0 时， f(x)14 54在(0,1)上没有零点()若30，即 或 a0；当 x0 时， f( x)3 1.e2当 t0 时， ( x)0， (x)在0,1上单调递增，2 (0)0， (x)在( t,1上单调递增，2 (t)0， f(x)单调递增，x(1，)时， f( x)0 时， f( x) .ax 1x3 (x 2a)(x 2a)当 01，2a当 x(0,1)或 x 时， f( x)0， f(x)单调递增，(2a， )当 x 时， f( x)2 时，00， f(x)单调递增，2a (0
6、， 2a)当 x 时， f( x)2 时， f(x)在 内单调递增，在 内单调递减，在 (1，)内单调递增(0， 2a) (2a， 1)(2)证明 由(1)知， a1 时，f(x) f( x) xln x 2x 1x2 (1 1x 2x2 2x3) xln x 1， x1,23x 1x2 2x3设 g(x) xln x， h(x) 1， x1,2，则 f(x) f( x) g(x) h(x)3x 1x2 2x3由 g( x) 0，x 1x可得 g(x) g(1)1，当且仅当 x1 时取得等号又 h( x) ， 3x2 2x 6x4设 (x)3 x22 x6，则 (x)在 x1,2上单调递减因为
7、 (1)1， (2)10，所以 x0(1,2) ，使得 x(1， x0)时， (x)0， x( x0,2)时， (x)g(1) h(2) ，32即 f(x)f( x) 对于任意的 x1,2成立325(1)解 m1 时， f(x) g(x)，即 xlnx x21，而 x0，所以方程即为 lnx x 0.1x令 h(x)ln x x ，1x则 h( x) 1 1x 1x2 x2 x 1x2 0， F(x)F(1)0，这与题设 F(x)0，方程 mx2 x m0 的判别式 14 m2，当 0，即 m 时， F( x)0，12 F(x)在(1，)上单调递减， F(x)0，即 00， F(x)单调递增， F(x)F(1)0 与题设矛盾综上所述，实数 m 的取值范围是 .12， )(3)证明 由(2)知，当 x1 时， m 时，ln x1(kN *)，2k 12k 1ln ln(2n1)( nN *)4412 1 42422 1 4n4n2 1
