1、圆锥曲线与方程 02解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1若直线 l： 0cmyx与抛物线 xy2交于 A、B 两点，O 点是坐标原点。(1)当 m=1,c=2 时，求证：OAOB；(2)若 OAOB，求证：直线 l 恒过定点；并求出这个定点坐标。 (3)当 OAOB 时，试问OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)，由 02xycm得 022cmy可知 y1+y2=2m y 1y2=2c x 1+x2=2m22c x1x2= c2,(1) 当 m=1,c=2 时，x 1x2 +y
2、1y2=0 所以 OAOB.(2) 当 OAOB 时，x 1x2 +y1y2=0 于是 c2+2c=0 c=2(c=0 不合题意),此时，直线 l：0mx过定点(2,0).(3) 由题意 AB 的中点 D(就是OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。),(2cD而(m 2c+ )2(m 2c)2+m2 = c41 由(2)知 c=2 圆心到准线的距离大于半径,故OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。2 如图， ,AB是椭圆 C：21(0)xyab的左、右顶点， M是椭圆上异于 ,AB的任意一点，已知椭圆的离心率为 e，右准线 l的方程为 xm.(1）若 12e， 4m，求椭圆 C 的方
3、程；(2）设直线 AM交 l于点 P，以 为直径的圆交 MB于 Q，若直线 恰过原点，求 e.【答案】 （1）由题意：2214cabc，解得 23ab椭圆 C的方程为2143xy(2)设2(,),)aMPc，因为 ,AMP三点共线，所以22(),yaycaxxc22()()1OPBMyyackaxx222233()()0bcc210e,解得 51e3已知椭圆 E：21(0)xyab的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1、 F2，且圆 C：236xy过 A， F2两点(1）求椭圆 E 的方程；(2）设直线 PF2的倾斜角为 ，直线 PF1的倾斜角为 ，当 时，证明：点23P 在一定圆上【答案】
4、（1）圆 2360xyxy与 x轴交点坐标为 (23,0)A， 2(,)F，故 3,ac，所以 b，椭圆方程是：219y(2）设点 P（ x， y） ，因为 1F（ ，0） ， 2F（ ，0） ，3 3设点 P（ x， y） ，则 1Pktan , 2Pktan ，因为 ，所以 tan( ) 23 3因为 tan( ) ，tan tan1 tan tan所以 化简得 x2 y22 y33所以点 P 在定圆 x2 y2-2y3 上4已知定点 (1,0)C及椭圆 235xy ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点(1）若线段 AB 中点的横坐标是 1，求直线 AB 的方程；(2）当直线 A
5、B 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在点 M，使 AB为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k（x+1）,将 y=k（x+1）代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k2+1）x 2+6k2x+3k2-5=0设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2）,由线段 AB 中点的横坐标是- 21，得 21x=- 32k=- ,解得 k= 3，适合.所以直线 AB 的方程为 x- y+1=0,或 x+ y+1=0(2）假设在 x 轴上存在点 M（m，0） ，使 BA为常数当直线 AB 与 x 轴不垂直时
6、，由（1）知x1+x2=- 362k,x1x2= 35k 所以 BA=（x 1-m） （x 2-m）+y 1y2=（x 1-m） （x 2-m）+k 2（x 1+1） （x 2+1）=（k 2+1）x 1x2+（k 2-m） （x 1+x2）+k 2+m29 分将代入，整理得 M= 35)6(2km+m2= 1342)(2km+m2=m2+2m- - )(62注意到 BA是与 k 无关的常数，从而有6m+14=0，m=- 37，此时 M= 94所以，在 x 轴上存在定点 M 0,37，使 BA为常数5设 12,F分别为椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点，过 2F的直线 l与椭圆 C相交于
7、,AB两点，直线 l的倾斜角为 6， 1F到直线 l的距离为 3.(1)求椭圆 的焦距；(2)如果 2F，求椭圆 的方程【答案】 (1)设焦距为 2c，则 F1(c,0)，F 2(c,0)k ltan60 ,l 的方程为 y (xc)3 3即： xy c0 F 1到直线 l 的距离为 23 3 3 c2 c2 椭圆 C 的焦距为 4| 3c 3c|32 12 3 3(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由题可知 y10，y 20直线 l 的方程为 y (x2)3由Error!消去 x 得，(3a 2b 2)y24 b2y3b 2(a24)03由韦达定理可得Error!2，y 12y
8、 2，代入得Error!又 a2b 24 由解得 a29 b 25 椭圆 C 的方程为 1. x29 y256设抛物线 2:0Cxpy的焦点为 F, 0Axy是抛物线 C上的一定点.(1)已知直线 l过抛物线 的焦点 ,且与 C的对称轴垂直, l与 交于 ,QR两点, S为 的准线上一点,若 QRS的面积为 4,求 的值;(2)过点 A作倾斜角互补的两条直线 AM, N,与抛物线 的交点分别为 1,Mxy2,Nxy.若直线 , 的斜率都存在,证明:直线 的斜率等于抛物线 C在点 A关于对称轴的对称点 1处的切线的斜率.【答案】(1)由题设 0,2pF,设 1,2pQx则 1,2pRx 1QRx
9、212p. 由 RS的面积为 4,得: 14p,得: 2.(2)由题意 10Axy 首先求抛物线 C在点 关于对称轴的对称点 1A处的切线的斜率.解法一：设抛物线在 1处的切线的斜率为 k,则其方程为 0ykxy联立 02ykxyp得 002将 20yx代入上式得: 20xpkx204pk即 220x 即 k得 0.xkp 即抛物线 C在点 A关于对称轴的对称点 1A处的切线的斜率为 0.xp解法二：由 2xpy得 2x，y抛物线 C在点 A关于对称轴的对称点 10,Axy处的切线的斜率为 0.xp 再求直线 MN的斜率.解法一:设直线 的斜率为 1k,则由题意直线 N的斜率为 1k. 直线 A的的方程为 00yx,则直线 A的的方程为 010ykx. 联立 210xpyk得 221x(1) 方程(1)有两个根 0,221014pkxk10,2pkx01,即 102xpk,同理可得 210xpkx直线 MN的斜率212122yxkxp0xp.直线 的斜率等于抛物线 C在点 A关于对称轴的对称点 1A处的切线的斜率. 解法二: AMNk 0102yyxx将22201,xxyypp分别代入上式得:220012xxpp,整理得 012. 直线 MN的.斜率212122xyxpk0xp.直线 的斜率等于抛物线 C在点 A关于对称轴的对称点 1A处的切线的斜率.
