1、课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1已知等比数列a n的各项均为正数， a11，公比为 q；等差数列b n中，b13，且 bn的前 n 项和为 Sn，a 3S 327，q .S2a2(1)求a n与b n的通项公式；(2)设数列c n满足 cn ，求c n的前 n 项和 Tn.32Sn解：(1)设数列 bn的公差为 d，a 3S 327，q ，S2a2q 23d18,6dq 2，联立方程可求得 q3，d3，a n3 n1 ，b n3n.(2)由题意得，S n ，c n ，n3 3n2 32Sn 32 23 1nn 1 1n 1n 1T n1 1 .12 12 13 13 14 1n 1n
2、1 1n 1 nn 12(2017 届广州综合测试)已知数列a n是等比数列，a 24，a 32 是 a2和 a4 的等差中项(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn2log 2an1，求数列 anbn的前 n 项和 Tn.解：(1)设数列 an的公比为 q，因为 a24，所以 a34q，a 44q 2.因为 a32 是 a2 和 a4 的等差中项，所以 2(a32)a 2a 4，即 2(4q2) 44q 2，化简得 q22q0，因为公比 q0，所以 q2，所以 ana 2qn2 42 n2 2 n(nN *)(2)因为 an2 n，所以 bn2log 2an12n1，所以 anbn(2n
3、1)2 n，则 Tn12 3225 23(2n3)2 n1 (2n1)2 n，2Tn12 2 32352 4(2n3)2 n(2n1)2 n1 ，由得，T n22 2222 3 22 n(2n1)2n1 22 (2n1)2 n1 6(2n 3)2 n1 ，41 2n 11 2所以 Tn6 (2n3)2 n1 .3S n为数列a n的前 n 项和已知 an0，a 2a n4S n3.2n(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和1anan 1解：(1)由 a 2a n4S n3，2n可知 a 2a n1 4S n1 3，2n 1，得 a a 2(a n1 a n)4a
4、 n1 ，2n 1 2n即 2(an1 a n)a a (a n1 a n)(an1 a n)2n 1 2n由 an0，得 an1 a n2.又 a 2a 14a 13，解得 a11(舍去)或 a13.21所以a n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n 1 可知bn .1anan 1 12n 12n 3 12( 12n 1 12n 3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb 1b 2 b n .12(13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 3) n32n 34(2018 届湖南八校联考)已知数列a n与 bn满足 an1 a n2
5、(b n1 b n)(nN *)(1)若 a11， bn3n5，求数列a n的通项公式；(2)若 a16， bn2 n(nN *)且 an2nn2 对一切 nN *恒成立，求实数 的取值范围解：(1)因为 an1 a n2( bn1 b n)，b n3n5，所以 an1 a n2(b n1 b n)2(3n83n5) 6，所以a n是等差数列，首项为 a11，公差为 6，即 an6n5.(2)因为 bn2 n，所以 an1 a n2(2 n1 2 n)2 n1 ，当 n2 时，an(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 12 n2 n1 2 262 n1 2，当 n1
6、时，a 16，符合上式，所以 an2 n1 2，由 an2nn2 得 .2n n2n 1 12 n2n 1因为 0，n 12n 2 n2n 1 1 n2n 2所以当 n1,2 时， 取最大值 ，2n n2n 1 34故 的取值范围为 .(34， )能 力 提 升1已知数列a n的首项为 a11，前 n 项和为 Sn，且数列 是公差为 2Snn的等差数列(1)求数列a n的通项公式；(2)若 bn(1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)由已知得 1( n1) 22n1，所以 Sn2n 2n，Snn当 n2 时，anS nS n1 2n 2n2(n1) 2( n1)4n3.a1
7、1413，所以 an4n3，nN *.(2)由(1)可得 bn(1) nan(1) n(4n3)当 n 为偶数时，Tn(15)(913)(4 n7)(4n3)4 2n；n2当 n 为奇数时，n1 为偶数，TnT n1 b n1 2(n1)(4n1)2n1，综上，T nError!2在数列 an中，已知 an1，a 11 ，且 an1 a n ，32an 1 an 2记 bn( an1) 2，nN *.(1)求数列b n的通项公式；(2)设数列b n的前 n 项和为 Sn，证明： 0，n N *，所以 Tn单调递增，故 TnT 1 ，1Sn 1S1 13综上， .13 1S1 1S2 1S3 1
8、Sn 343已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a a n2S n.2n(1)求数列a n的通项公式；(2)求证： 1 时， a a n1 2S n1 ，2n 1两式相减得，a a a na n1 2S n2S n1 2a n，2n 2n 1即(a n an1 )(ana n1 )a na n1 .因为 an0，所以 ana n1 0，所以当 n1 时， ana n1 1.又当 n1 时，a a 12S 12a 1，得 a11，21所以数列 an是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，所以 ann.(2)证明：由(1)及等差数列的前 n 项和公式知 Sn ，所以 nn 12 Sn ，nn 12 n22 n2所以 .S1 S2 Sn12 22 n2 1 2 n2 Sn2又 ，Snnn 12 n 122 n 12所以 S1 S2 Sn22 32 n 12 1 2 n 12 12，Sn 1 12所以 .Sn2 S1 S2 SnSn 1 12
