1、课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80解析：由条件及图可知，AB40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10 ，因此灯搭 A 在灯塔 B 南偏西 80。答案：D2如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船
2、在静水中的速度为( )A8 km/h B6 km/h2C2 km/h D10 km/h34解析：设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.61 35 452 21 2 2 21 ，解得 v6 .(110v) (1102) 110 45 2答案：B3(2018 届德阳模拟) 已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a，灯塔 A 在 C的北偏东 20，灯塔 B 在 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )Aa B. a3C. a D2a2解析：画出相应的图形，如图所示， ACB120，|CA |C
3、B |a，A B30，在ABC 中，根据正弦定理 得| AB| a，|BC|sinA |AB|sinACB asin120sin30 3则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 a.故选 B.3答案：B4某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东40方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为( )A15 米 B5 米C10 米 D1 米解析：如图所示，设塔高为 h，在 RtAOC 中， ACO45，则 OCOAh .在 RtAOD 中，ADO 30，则 OD h，在OCD 中， OCD120， CD10，由余弦定理得3OD2OC 2CD 22OC CDc
4、osOCD，即( h)2h 210 22h10cos120 ，3h25 h50 0，解得 h 10 或 h5( 舍去)答案：C5有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则斜坡长为( )A1 千米 B2sin10 千米C2cos10 千米 Dcos20 千米解析：由题意知 DCBC1， BDC160，BD2DC 2CB 22DC CBcos1601121 1cos(18020)22cos204cos 210，BD2cos10.答案：C6(2018 届四川成都七中期中)如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为
5、 50 m，ACB45 ，CAB 105 后，就可以计算 A、B 两点的距离为 ( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522解析：由正弦定理得 ，ABsinACB ACsinBAB sinACB sin4550 ，故 A、B 两点的距离为 50 ACsinB 50sin30 2 2m，故选 A.答案：A7在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30，60 ，则塔高为( )A. m B. m4003 40033C. m D. m20033 2003解析：如图，在 RtBAC 中， ABC30，AB200，BC .ABcos30 4003 3EBD30， E
6、BC60，DBC30 ，BDC120.在BDC 中， .DCsin30 BCsin120DC (m)BCsin30sin1204003 31232 4003答案：A8(2018 届潍坊质检) 校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 m(如图所示)，旗杆6底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为 50 s，升旗手应以_m/s 的速度匀速升旗解析：依题意可知AEC 45， ACE1806015105，EAC180 4510530.由正弦定理可知 ，CEsinEAC
7、ACsinCEAAC sinCEA20 m.CEsinEAC 3在 RtABC 中， ABACsinACB20 30 m国歌时长为 50 s，332升旗速度为 0.6 m/s.3050答案：0.69如图，在ABC 中，sin ，AB2，点 D 在线段 AC 上，且 ABC2 33AD2 DC，BD ，则 cosC_.433解析：由条件得 cosABC ，sinABC .13 223在ABC 中，设 BCa，AC 3b，则由余弦定理得 9b2a 24 a.43因为 ADB 与CDB 互补 ，所以 cosADBcos CDB，所以 ，所以 3b2a 26， 4b2 163 41633 bb2 16
8、3 a2833b联立解得 a3，b1，所以 AC3， BC3.在ABC 中，cosC .BC2 AC2 AB22BCAC 32 32 22233 79答案：7910某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.(sin21.8 31314)解：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在
9、 B 处与渔轮相遇，则 AB21t ，BC9t ，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC 2BC 22ACBCcos 120，所以212t210 281t 22109t ，即 360t290t100 0，解得 t 或12 23t (舍去) 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h此时 AB14，BC6.512 23在ABC 中，根据正弦定理，得 ，BCsin CAB ABsin120所以 sinCAB ，63214 3314即CAB21.8或CAB158.2 (舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.8 66.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮23能 力 提 升1(2018
10、届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形 ABCD 中，AB1，BC ，ACCD，ACCD.当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为3_解析：设 ACCDx，在ABC 中，由余弦定理知AC2AB 2BC 22AB BCcosABC，所以x2132 cosABC42 cosABC.由正弦定理得3 3 ，即 sinACB .在BCD 中，ACsinABC ABsinACB sinABCx由余弦定理知，BD 3 x2 23xcos(2 ACB)，3 x2 23xsinACB将式代入化简得，BD .7 26sin(ABC 4)因为 ABC(0，)，所以 sin 可以取到最大 值 1，所以 |BD|ma
11、x(ABC 4) 1.7 26 6答案： 162(2018 届盐城质检) 如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设AMN，在AMN 中， .MNsin60 AMsin120 因为 MN2，所以 AM sin(120)433在APM 中，cosAMPcos(60)AP2AM 2MP 22AMMPcos AMP sin2(120)163422 sin(120 )cos(60)433 sin2(60) sin(60)cos( 60)4163 1633 1 cos(2120) sin(2120)483 833 sin(2120) cos(2 120)83 3 203 sin(2150) ，(0，120)203 163当且仅当 2 150270，即 60时，AP 2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 .3所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小
