1、1专题 6 分段函数【典例解析】1.（必修 1 第 45 页复习参考题 B 组第 4 题）已知函数 4,0;.xf求 1f， 3f，fa的值.【解析】 ()4)5f; (3)(4)21f;当 1时， 0a， 165aaa，当 时， ， 2()()3f.【反思回顾】 （1）知识反思；函数及分段函数的概念，函数求值；（2）解题反思；应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.体现分类思想。【知识背囊】1有些函数在其定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数分
2、段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式（注意分段函数是一个函数，而不是几个函数）；2分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分别画在不同的坐标系中3（1）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式（2）分段函数的值域：求分段函数的值域，
3、应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集（3）分段函数求值：首先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段函数的解析式中求值，直到求出值为止当出现 ()fa的形式时，应从内到外依次求值（4）对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的2【变式训练】变式 1. 若 20()xf，则 2f（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】20， 2(42)ff，故选 C变式 2. 设函数 ，若 ，则实数 a（ ）2,0()xf4faA4
4、或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2【答案】B【解析】由 知， （舍去） ，即 4a或 ，选 .fa 2,;4,aaB变式 3.已知 f（ x）= 210()x， ，使 f（ x）1 成立的 x 的取值范围是（ ）A4，2） B4，2 C（0，2 D（4，2【答案】B变式 4.已知 (31)4,)log,axfx是 (,)上的减函数，那么 a 的取值范围是( )A(0,1) B. (0) C. 1,)73 D. 1,7【答案】C【解析】据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数，要满足 3a10，且 0 a1，及 x1 时(3 a1)14 alog a1，解得 a 的取值范围为 1,)
5、73，故选 C.反思：在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的.变式 5.已知函数 1log(2),0(),axfx是奇函数，则方程 ()2gx的根为（ ）A 32 B 6 C. 6， 32 D 16， 323【答案】B 【解析】因为函数 ()fx为 R上的奇函数，所以 (0)f，即 1log20a，解得 2a.所以 21log,0(),fx.方程 2gx，即 ()fx.当 0时，有 2l()x，整理得 2lo()3，解得 6.综上，方程的根为 6，故选 B.变式 6. 设函数 fx是定义在 R上的奇函数，且 3l
6、g1,0xf，则 8g 【答案】 2【解析】由分段函数的解析式可知： 388lo92gff.变式 7.已知函数 2lo3,1xf ，若 21fa ，则 fa 【答案】 2【解析】当 a 即 0时， 2 1log3,2 （舍） ；当 即 时， 21log4afa 。【高考链接】1.【2015 高考新课标 2 理 5】设函数 21log(),1(),xxf, 2()log1)ff( )A3 B6 C9 D12【答案】C【解析】由已知得 2()1log43f，又 2log1，所以 22log1log62(l)f，故 2()log9f，故选 C2.【2017 山东文 9】设 ,021xf,若 1faf
7、,则 fa （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由 1x时 21fx是增函数可知,若 1a,则 1ffa,所以 01a,由4()+1)fa得 2(1)a,解得 14a,则 (4)21)6ff,故选 C.3.【2014 上海理 18】 ,0,)(2xaxf若 )(f是 xf的最小值，则 a的取值范围为（ ）.(A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 0,2【答案】D【解析】由于当 0x时， 1()fxa在 x时取得最小值 2a，由题意当 x时，2()fxa应该是递减的，则 0，此时最小值为 (0)f，因此 2，解得 02a，选 D4.【2015 高考湖北理
8、6】已知符号函数1,sgn0,.x()f是 R上的增函数，()()1gxfax，则（ ）A snsg B s()sgnx C ()()f D gn()fx【答案】B【解析】因为 ()fx是 R上的增函数，令 xf)(，所以 ag)1(，因为 1，所以 )(xg是 R上的减函数，由符号函数1,0sgn,x知，,0sn()sgn1,xx.5.【2014 福建理 7】已知函数 0,cos2f则下列结论正确的是（ ）A. xf是偶函数 B. xf是增函数 C. xf是周期函数 D. xf的值域为 ,1【答案】D【解析】由于分段函数的左右两边的函数图象不关于 y 轴对称，所以 A 不正确.由于图象左边不
9、单调,所以B 不正确.由于图象 x0 部分的图象不是没有周期性，所以 C 不正确.故选 D.6.【2015 高考山东理 10】设函数 31,2xf则满足 2faf的 取值范围是（ ）5（A） 2,13 （B） 0,1 （C） 2,3 （D） 1, 【答案】C【解析】当 a 时， 2af ，所以， 2faf ，即 符合题意.当 1 时， 31f ,若 2faf ，则 1f ，即： 231,3a ，所以23a适合题意综上， a 的取值范围是 ,3 ,故选 C.7.【2014 四川理 12】设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,)x时，24,10,(),xf，则 ()f .【答案
10、】1【解析】 3()4212ff.8.【2014 年安徽卷】若函数 Rxf是周期为 4 的奇函数，且在 2,0上的解析式为21,sin0)(xxf，则 _649ff .【答案】 65【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是 4，且在 2,0上的解析式为21,sin0)(xxf，所以 )61(49ff )67()43()678()3( ffff57sin43)67(43f.9 【2018 年江苏卷】函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解6析式求结果；由 得函数 的周期为 4，所以 因此
11、10.【2015 高考浙江理 10】已知函数 23,1()lg)xf，则 (3)f ， ()fx的最小值是 【答案】 0， 3-2.【解析】 0)1(ff，当 1x时， 32)(xf，当且仅当 2x时，等号成立，当 x时， ，当且仅当 0时，等号成立，故 )(f最小值为 3.11.【2014 上海理 4】设 ,)()(2axf若 4)2(f，则 a的取值范围为_.【答案】 (,2【解析】由题意，若 a，则 (2)f不合题意，因此 2a，此时 ,)xa时，2()fx，满足 ()4f.12.【2014 年浙江卷理 15】设函数 0,2xxf若 2af，则实数 a的取值范围是_【答案】 2a【解析】
12、由题意 202fa，或 2fa，解得 2fa，当 20a或 20a，解得，解得 13.【2016 高考江苏卷】设 ()fx是定义在 R上且周期为 2 的函数，在区间 1,)上，,10,()25xaf其中 .a 若 59()(ff ，则 (5)fa的值是 .【答案】 【解析】 191123()()()225ffffa，7因此 32(5)3(1)15faff14.【2015 高考福建，理 14】若函数 6,log2,axf （ 0 且 1a ）的值域是 4, ，则实数 a 的取值范围是 【答案】 (1,2【解析】当 x，故 64，要使得函数 ()fx的值域为 4,，只需 1()3logafxx（
13、2）的值域包含于 4,，故 1a，所以 13log2af，所以 3log2a，解得 ，所以实数 a的取值范围是 (215.【2017 课标 3 理 15】设函数 10()2xf， ， ， 则满足 1()2fx的 x 的取值范围是_.【答案】 1,4【解析】：令 12gxffx ，当 0x时， 3ff，当 12时， 112xgxff，当 x时， 1xffx，写成分段函数的形式： 132,012,xxgxff ，函数 gx 在区间 1,0,2 三段区间内均单调递增，且： 0 011,2,4 ，8据此 x 的取值范围是： 1,4 .16.【2016 年高考北京理数】设函数3,()2xaf.若 0a，则 ()fx的最大值为_；若 ()f无最大值，则实数 a的取值范围是_.【答案】 2， ,1).【解析】如图作出函数 3(gx与直线 2yx的图象，它们的交点是 (1,2)A， (0,)O，(1,)B，由 2)，知 1是函数 ()g的极大值点，当 0a时，3,0()2xf，因此 ()fx的最大值是 (1)2f；由图象知当 1a时， f有最大值是 f；只有当 1a时，由 32a，因此()fx无最大值，所求 的范围是 (,1)，故填： 2， (,)
