1、1专题 04 平面向量1平面向量的有关概念问题名称 定义 表示方法 注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量 AB或 a；模 |或 |平面向量是自由向量零向量 长度等于 0 的向量，方向是任意的 记作 0零向量方向是任意的单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 e表示非零向量 a的单位向量是 |a平行向量 方向相同或相反的非零向量共线向量 平行向量又叫共线向量a与 b共线可记为 0与任一向量平行或共线相等向量 长度相等且方向相同的向量 ab两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 02平面向量的线性运算(1)
2、应用平行四边形法则与三角形法则进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这两个向量的加法则可以使用三角形法则，如 ABC.(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为 ba，其中0a， 为确定的常数.3平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯一线性表示任意向量的原理，数学表达式为 cab，此处 ,a要不共线， ,要唯一确定.通常把不共线的 ,ab称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面内的任意一个向量.2
3、(2)当基底单位正交时（即垂直且模为 1） ，可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量， (,)xya，也可以利用向量的起点、终点坐标的确定来表示向量，如若 12(,)(,)AxyB，则21(,)ABxy.(3)向量的坐标化线性运算：设 12(,)(,)xyab，则 12(,)xyab， 1；若 ，则 10.4平面向量数量积的运算及其坐标化运算(1)掌握向量数量积运算的定义 cosab，理解其几何意义： a在 b方向上的投影： cosa.注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为 0.(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如 ()abc； 2；若 ，则 0b等，并作简单的应用.
4、(3)掌握向量数量积的坐标化运算：设 12(,)(,)xya，则 12xya； 21xya；若 ab，则 120xy； 122cos,xyb.5平面向量的应用(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向量坐标化的角度进行处理，注意对模 2xya的使用，同时注意对等式含义的表述，如 21xy表示向量的终点在以 (0,)为圆心，半径为 1的圆上等 .也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数量积公式进行转化.(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，并利用三角恒等变换化简为 sin()yAx的形式，然后利用整体代换来考查函数的相关性质等.一、平面
5、向量的概念及线性运算【例 1】如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，若 ,ABDab，则AF等于3A a b B a b12 14 14 12C a b D a b12 14 14 12【答案】A【解析】 111()()224FAEBAAab.故选 A【名师点睛】 （1）对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性（2）平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角
6、形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素【例 2】已知 为 ABC 内一点，且 ， ，若 , , 三点共线，则 的值为 A 14 B 13C 2 D 2【答案】B【解析】设线段 的中点为 ，则 ， 因为，所以 ，则 ，由 三点共线，得 14t，解得 13t.故选 B,【名师点睛】 （1）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线4（2）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O， ,AB不共线，满足OPxAyB(x， yR)，则 P， A， B 共线 x y=1.二、平面向量基本定理及坐标
7、表示【例 3】如图，在 C 中， N为线段 C上靠近 的三等分点，点 P在 BN上且21mABP，则实数 m的值为A1 B 12 C 9 D 5【答案】D【解析】设 10133BPNABACBAC， 1A又 22211PmBCmABCmABC，231m，解得615， 1选 D【名师点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【例 4】已知向量 (2,3)(,)xab，若 2ab与 3共线，则 xA 43 B 45C 34 D 34【答案】B【解析】依题意，得 2(,
8、1)xab， 23(,12)xab，因为 2ab与 3共线，则 44，解得 4x，故选 B【名师点睛】 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的三、平面向量的数量积【例 5】已知 ABC 是边长为 1的等边三角形，点 D在边 BC上，且 2DC，则 ABD的值为A 31 B 23 C 4 D 1【答案】B【解析】 AB 是边长为 1的等边三角形，且 22,3BCB， 23DA113，故选 B【名师点睛
9、】两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 【例 6】在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (2,3),5(1,2)ABC，则向量 A与 CB的夹角的余弦值为A 10 B 0C 5 D 25【答案】B【解析】依题意， (3,1)(4,)CAB，6故 ,CAB的夹角的余弦值为 3410cos,|5CAB，故选 B【名师点睛】两向量夹角的范围为0，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为 .在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围四、平面向量的应用【例 7】已知非零向量 12(
10、,)ABa， 23(,)ABa， 34(,)ABa， ， 1(,)nnABa*()nN是一组平行向量，且数列 n满足 6， 865，则数列 的前 项和为_.【答案】 12n【解析】 非零向量 12(,)ABa， 23(,)ABa， 34(,)ABa， ， 1(,)nnABa*()nN是一组平行向量， 1nn ， 12nn， 数列 是等比数列，设公比为 q， 632a， 4865a， 486514qa，3， ,2q1a，故数列 n的前 项和为12n.【名师点睛】向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一
11、些垂直、平行、夹角与距离问题【例 8】 G 是 ABC 的重心， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，若 3aGAbBcC0，则角A90 B60C45 D30【答案】D【解析】因为 G 是 ABC 的重心，所以有 GAC0.又 3abc0，所以 a b c111 ，33设 c ，则有 a b1，37由余弦定理可得，cos A ，所以 A30，故选 D. 1 3 123 32【名师点睛】若点 G 是 BC 的重心，则 GBC0或 1()3PGABPC=(其中 P 为平面内任意一点)反之，若 A0，则点 G 是 A 的重心1已知向量 210,ab，则向量 a在向量 b上的投影是A2
12、B1 C1 D2【答案】D【解析】向量 a在向量 b上的投影是 1ab，选 D2已知向量 和 的夹角为 120，且 ,4，则 2ab等于A 4 B 0 C D 1【答案】D【解析】向量 a和 b的夹角为 120，且 ,4ab， 2 12 2，故选 D3已知正方形 ABCD中，点 E， F分别是 C， B的中点，那么 EFA 1+2B 12A C BD【答案】D【解析】因为点 E是 CD的中点，所以 12ECAB， 点 F是 C的中点，8所以 12CFBAD， 所以 12E，故选 D 4已知向量 2,1,mab，且 ab，则实数 mA 3 B 1 C 4 D 2【答案】A【解析】 2,mab,根
13、据 得 20,解得 3m,故选 A5已知向量 ,c满足 |,|1ab()cab，若 |ab，则 |c的最小值为A23B 57C 5 D3【答案】C【解析】因为 |ab，所以 0ab，所以2 2|(1)()c，又因为 |,|ab所以224|41515c，所以25|c，故选 C.6在 ABC 中， 103ABC，点 G是 ABC 的重心，则 AG的最小值是A 23 B 63C D 59【答案】B【解析】设 BC的中点为 D，因为点 G是 A 的重心，所以 21133AGABCA，再令 ,cb，则 cos06BCbbc，219222 299，63AG，当且仅当 6bc时取等号，故选 B7已知抛物线
14、2:(0)Cypx的焦点 F到准线的距离为 2， 12(,)(,)AxyB，其中12120,x，且 12|,|Ax， OFS （ 为坐标原点） ，则OABurA 8 B 4C 2 D 1【答案】B【解析】依题意，抛物线 2:4Cyx，准线方程为 x，故 ,A在抛物线 C 上.因为 12|OFABS ，所以 128y，则 121212()46xyur，故选 B8已知向量 ,ab的夹角为 3，且 |ab，若 2Aurab， Curab，点 D是线段 BC的中点，则 |ADr_.【答案】 72【解析】依题意，知 1()2ABCurur，则 1|2ADBCrur，则 21|4ADur 2 7|3|(9
15、6)44abba，故 7|.109已知两个不共线向量 OAB、的夹角为 ， M、 N 分别为线段 OA、 OB 的中点，点 C 在直线 MN 上，且Cxyx， R，则 2xy的最小值为_ 【答案】 18【解析】因为 ,MN三点共线，所以 112ttttOCNOAB，所以 2ttxy， 12xy，2表示原点与直线 0上的点的距离的平方，它的最小值为2108，故填181 （2018 新课标全国文科）已知向量 a， b满足 |1， ab，则 (2)abA4 B3C2 D0【答案】B【解析】向量 a， b满足 |1， ab，则2()13abab.故选 B.2 （2017 新课标全国文科）设非零向量 ，
16、 满足 +=，则A a b B abC D 【答案】A【解析】由 +=ab平方得 222abab，即 0a，则 b，故选 A.3 （2018 天津文科）在如图的平面图形中，已知 1,1OMNO,2,BMACN则 B的值为11A 15 B 9 C 6 D0【答案】C【解析】如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则 ，, , 由题意可知： ， ，结合数量积的运算法则可得：.本题选择 C 选项.124 （2018 北京文科）设向量 a=（1,0） ， b=（1, m）,若 ()ab，则 m=_.【答案】 1【解析】 ， ，=(,0)(1,)=(+1,)由 得： ， ，即 .=15 （2018 新课标全国文科）已知向量 (1,2)a， (,)b， (,)c若 2cabA，则_【答案】12【解析】向量 (,)a， (2,)b， ab. (1,)c， A， 14，解得 12.6 （2017 天津文科）在 BC 中， 60A ， 3B， AC若 2BDC， AE()BR，且 DE，则 的值为_【答案】31【解析】由题可得1232cos603,3ABCADBC，则1()3DE 3()4941B
