1、1专题 26 平面向量的概念及运算本专题特别注意:1.向量加减的几何意义2. 向量共线的问题3. 零向量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题 5.基本定理的两条路径法表示向量6.向量共线与三点共线的区别与联系7.向量的模与夹角的运算及应用问题8.平行与垂直问题【学习目标】1理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;理解向量的几何表示2掌握向量的加法、减法的运算,并理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时,在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时,应充分利用平
2、面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内,以便运用平行四边形法则和三角形法则,涉及到线段比时,一方面考虑平行线定理,另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.高考模拟:一、单选题21已知平面向量 ,则 ( )A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】分析:首先根据向量的数乘以及向量的减法运算,求得
3、对应向量的坐标,利用模的坐标公式求得结果.详解:因为平面向量 , ,则向量 ,所以 ,故选 C.点睛:该题考查的是有关向量的模的问题,在解题的过程中,需要应用向量的数乘以及减法运算公式,求得对应向量的坐标,之后应用模的坐标运算式求得结果.2设 为向量,则“ ”是“ ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析:“ ”可得 ,由“ ”可得向量夹角为 或 ,利用充分不必要的定义可得结果.点睛:判断充要条件应注意:首先弄清条件 和结论 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除
4、借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3已知向量 ,且 ,则 ( )A. B. C. D. 5【答案】B【解析】分析:首先应用向量共线时坐标所满足的关系,求得 ,从而可以求得 ,之后应用3向量的模的坐标公式求得结果. 点睛:该题考查的是有关向量模的求解问题,在解题的过程中,需要利用向量共线坐标所满足的条件,求得相关的参数的值,之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标,接着应用向量的模的坐标公式求得结果.4已知四个命题:如果向量 a与 b共线,则 ab或 ; 3x是 的必要不充分条件;命题 p
5、: 0,2, 203x的否定 p: 0,2x, 30x;“指数函数 xya是增函数,而 1xy是指数函数,所以 1y是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】错,如果向量 a与 b共线,则 ,abR ; 3x是 的必要不充分条件;正确,由 3x可以得到 3x,但由 x不能得到,如 4 ;命题 p: 0,2x, 20x的 否定 p: 0,2x, 30x;正确“指数函数 xya是增函数,而 12xy是指数函数,所以 12xy是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.,正确.故选 D.5两个单位向量 ,
6、 的夹角为 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D4【解析】两个单位向量 , 的夹角为 , 则 代入得到 .故答案为: .6已知 , 是两个单位向量,则 的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】A点睛:本题的难点在于解题思路的找寻,对于这个最值,一般利用函数的思想,先建立 的三角函数,进而研究函数 的最值.7若向量 、 满足 、 , ,则 与 的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:因为, ,所以, ,即 ,所以 ,又 ,故 与 的夹角为 ,选 .考点:平面向量的数量积、模、夹角.8已知向量 , 满足 , ,若 且 ( , ) ,则 的最5小值为( )
7、A. 1 B. C. D. 【答案】D点睛:本题考查向量的基本运算,向量模的求法,基本不等式的应用,考查计算能力解题时二次函数的配方是解题的关键9已知 是互相垂直的两个单位向量, , ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 本题选择 B 选项.10设平面向量 1,23ia满足 1ia,且 20a,则 123a的最大值为( )A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C【解析】设 12ca, 120,且 ,i, c 1233321aca,当且仅当 c与 3a共线同向时等号成立,的最大值为 选 C点睛:由于向量 120a,且 12a,因此向量 12a确定,这是解题的基础也是关键然后在此基础上
8、根据6向量模的三角不等式可得 123a的范围,解题时要注意等号成立的条件11四边形 ABCD中, ,且 ADBA,则四边形 BCD是( )A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形【答案】C12下列命题正确个数为的是( ) 对于任意向量 a、 b、 c,若 a b, c,则 a 若向量 与 同向,且 ,则 bc 向量 AB与 CD是共线向量,则 A、 B、 C、 D 四点一定共线A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 0 个【答案】D【解析】 对于,若 b,则不能得出 acA,错;对于,向量不能比较大小,所以错;对于, abc表示与 共线的向量, 表示与 共线的向量,所以
9、abc与 不一定相等,错;对于, AB与 CD是共线向量,等价于 BCD, A、 B、 C、 D 四点不一定共线,所以错,正确个数为 0个,选 D. 点睛:本题主要考查向量中的有关概念,属于易错题。解答本题的关键是熟练掌握向量中的相关概念、性质等。13如图,以 AB为直径在正方形 ABCD内部作半圆 O, P为半圆上与 ,AB不重合的一动点,下面关于PCP的说法正确的是( )A. 无最大值,但有最小值7B. 既有最大值,又有最小值C. 有最大值,但无最小值D. 既无最大值,又无最小值【答案】A【解析】设正方形的边长为 2,如图建立平面直角坐标系,点睛:本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建
10、系的方法,引入三角函数来解决使得思路清晰,计算 简便,遇见正方形,圆,等边三角形,直角三角形等特殊图形常用建系的方法.14下列命题正确的是( )A. a与 b, 与共 c线,则 a与 c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量 与 不共线,则 与 b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C815已知向量 OA与 B的夹角为 , 2OA, 1B, OPtA, 1QtOB, PQ在 0t时取最小值,当 014t 时, cos的取值范围为( )A. 1,2 B. ,2 C. 1,4 D. ,24【答案】D【解析】解:建立如图所示的平面直角坐标系
11、,则由题意有: ,0cos,inAB ,由向量关系可得: 2,011OPtAtOQtBtt,则: 221cossinQ,整理可得: 2544tt ,满足题意时: 0cs3ocos5t ,据此可得三角不等式: 11244 ,解得: 1cos2 ,即 cos 的取值范围是 ,2 . 本题选择 D 选项.9点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用16下列命题中: 存在唯一的实数 ,使得 ; 为单位向量,且 ,则 ; ; 与 共线, 与 共线,则 与 共线; 若正确命题的序号是( )A. B
12、. C. D. 【答案】B【解析】分析:逐一分析判断即得正确答案.点睛:(1)本题主要考查平面向量的基本概念和性质定理, 意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和辨别能力. (2)本题的几个命题是典型的易错题,要理解掌握.如: 存在唯一的实数 ,使得 ; 与 共10线, 与 共线,则 与 共线;若 .17给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 0a( 为实数) ,则 必为零. ,为实数,若 ab,则 与 共线.其中正确的命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A18对于非零向量 ,abc,下列命题正确的是( )A
13、. 若 12120R,则 120B. 若 /,则 在上的投影为 aC. 若 ab,则 2bD. 若 c,则 a 【答案】C【解析】A.:若 12120,bR, , 0ab时,不一定有 120,故 A 错误B: /ab可得 在上的投影为 或 ,故 B 错误;C:由 ,可得 a从而有 2,故 C 正确D:由 0,cbcab不一定成立,故 D 错误故选 C19设 ,ab都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 0ab成立的是( )11A. abB. a/bC. 2abD. ab【答案】D20在以下关于向量的命题中,不正确的是( )A. 若向量 ,axy,向量 ,byx 0,则 abB. 若四边形 AB
14、CD 为菱形,则 ABDCA且C. 点 G是 ABC 的重心,则 0GD. ABC 中, 和 的夹角等于【答案】D【解析】 ABC 中, AB和 C的夹角等于 A的补角,D 的说法是错误的.本题选择 D 选项. 二、填空题21已知向量 , ,其中 ,且 与 共线,则当 取最小值时, 为_【答 案】【解析】由向量共线的充要条件得则当且仅当 时,取等号,此时 ,则22已知向量 ,若 ( 为实数) ,则 _.12【答案】23若 1,12APBP,则 _.【答案】 5【解析】如图所示,由 2可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三 等分点,则 32ABP结合题意可得: 351,.24如图所示,已知
15、 OAB,由射线 和射线 OB及线段 A构成如图所示的阴影区(不含边界).(1)若 D为 AB中点, O_(用 A,OB表示)(2)已知下列四个向量: 12OM; 2314M; 3AB; 5AB.对于点 1, 2, 3, 4,落在阴影区域内(不含边界)的点有_(把所有符合条件点都填13上)【答案】 12OAB12,M25已知向量 1,2a, ab, 25,则 b_.【答案】 5【解析】由 ,得 14,由 2ab,平方得 225ab,因为 ,所以 0,有 205,解得26已知 3a, 4b, a,若向量 c满足 0abc,则 的取值范围是_【答案】 ,14【解析】易知 5ab,由 0acb得 2
16、()cos,5cos,cababab,所以 0c或 cos,,由此可得 的取值范围是 0,5.27在平面直角坐标系中,已知 O为坐标原点, 1,A, ,cos6B, 1,0C,若动点1cos,in3DR,则 23BOCD的最大值为_.【答案】 27点睛:本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用,综合了圆上点与定点之间的距离最大值,先给出动点的轨迹方程,再表示出向量的坐标结果,依据其几何意义计算求得结果,本题方法不唯一,还可以直接计算含有三角函 数的最值28已知向量 ,ab的夹角为 23,若 1,7ab,则_。【答案】3【解析】由题意可得: 2 22 21cos73b,整理可得: 2160,30
17、bb,15据此可得: 3b.29已知 2TM, 4TN,且 52MT,若点 P 满足 2TMNP,则 T的取值范围为_【答案】 3,730在锐角 中, , ,则 _【答案】3【解析】由题设可得 ,即 ,也即 ,则 ,故 ,应填答案 。.31如图,在 中, 为线段 上的一点, ,且 ,则 _, _.【答案】 【解析】由题意,结合图形,根据平面向量的运算法则,由 ,得 ,即,所以 , .32若 与 为非零向量,且 时,则 必与 或 中之一的方向相同;若 为单位向量,且 ,则 ; ;若 与 共线, 与 共线,则 与 必共线;若平面内有四个点 ,则必有 .上述命题正确的有_.(填序号)【答案】16点睛
18、:此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是平面向量的基础知识点.在此问题中,针对每个命题的条件与结论,逐一对照平面向量相关的知识,进行运算、判断,抓住零向量方向的特殊性,进行验证,从而问题可得解.33设 为单位向量,若 为平面内的某个向量,则 ;若 与 平行,则 ;若 与 平行且 ,则 .上述命题中,假命题个数是_【答案】 【解析】向量是既有大小又有方向的量, 与 模相同,但方向不一定相同,故为假命题;若 与 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 ,故也是假命题,故答案为 34如图, F为线段 BC的中点, 2EF, 35DA
19、,设 Ca, ABb,试用 a, b表示AE, D, .【答案】 45ADab, 415Bab【解析】 【试题分析】依据题设条件运用向量的三角形法则进行求解:解:因为 CB, 233ECFa,所以 1AEab.因为 12F,所以 845ADb,所以 41BDa.35已知 1,3A, ,1,则与向量 B共线的单位向量为_17【答案 】 34,5或 ,5【解析】由题意可得: ,4AB 设所求向量为: ,nxy ,由题意可得: 2154xy,求解方程组可得:与向量 AB共线的单位向量为 3,或 ,.36如下图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 M 是线段 OD 的
20、中点,设 bADaB,,则 AM= (结果用 表示),ab【答案】 ba431【解析】考点:向量的运算37已知 , ,函数 ,那么下列四个命题中正确命题的序号是 . fx是周期 函数,其最小正周期为 2;当 8时, fx有最小值 ; 73,是函数 f的一个单调递增区间;点 ,28是函数 fx的一个对称中心.【答案】18【解析】试题分析: 1cos23112insin2cos2sincosin24xxxx 函数 f的周期为 , 为错误的;当 i4时, fx取得最小值 ,此时22,4xkZ,即 ,8xkZ,当 0k时, 8, 为正确的;令 2k 3,解得 58xZ, 函数 fx的增区间为5,8kk
21、,当 1时,函数 f的增区间为 73,8, 为正确的;令 24 Z,解得 82xkZ, 函数 fx的对称中心为 ,2kZ,当 0k时,得点 ,28是函数 f的一个对称中心, 为正确的;综上所述,是正确的命题.故答案为. 考点:命题的真假;三角函数的性质.38 (5 分) (2011天津)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则的最小值为 【答案】5【解析】试题分析:根据题意,利用解析法求解,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0) ,设 P(0,b) (
22、0ba) ,求出 ,根据向量模的计算公式,即可求得,利用完全平方式非负,即可求得其最小值 解:如图,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0)设 P(0,b) (0ba)则 =(2,b) , =(1,ab) , =(5,3a4b)19 = 5故答案为 5点评:此题是个基础题考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力39设 是由一平面内的 个向量组成的集合若 ,且 的模不小于 中除 外的所有向量和的模则称 是 的极大向量.有下列命题:若 中每个向量的方向都相同,则 中必存在一
23、个极大向量;给定平面内两个不共线向量 ,在该平面内总存在唯一的平面向量 ,使得 中的每个元素都是极大向量;若 中的每个元素都是极大向量,且 中无公共元素,则 中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是_【答案】【解析】 (1)若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;(2)由题得 围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;(3)3 个向量都是极大向量,等价于 3 个向量之和为 0,故 中的中的每个元素都是极大向量时,W 1W 2中的每一个元素也都是极大向量,故正确故填.40如图,在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,则以 A
24、,B,C,D,E,F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量是_【答案】 ,BAFECD20【解析】如图,在平行四边形 ABCD中, EF, 分别是 ADBC, 的中点,则以 ABCDEF, , , , , 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量是 ,.即答案为 ,BAFE.41如图,在 平面斜坐标系 xOy中, 135xy,斜坐标定义:如果 12OPxey(其中 1e, 2分别是x轴, y轴的单位向量) ,则 ,叫做 P 的斜坐标.(1)已知 P 得斜坐标为 1,2,则 OP_(2)在此坐标系内,已知 0,AB,动点 P 满足 AB,则 P 的轨迹方程是_【答案】 1 yx点睛:本题给出了一个新情景,考查了学生运用新情景的能力,本题解答中只要明确试题的本质是向量的一个变形应用,即可得到求解,此类问题的解答中认真读题,读懂信息,转化为数学知识的运算是解答的关键.