1、2015-2016 学年校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1一元二次方程 x22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( )Am1 Bm=1 Cm1 Dm12用下列同一种图形，不能密铺的是( )A三角形 B正五边形 C四边形 D正六边形3如图所示，在O 中， ，A=30 ，则B=( )A150 B75 C60 D154在 RtABC 中， C=90， sinA= ，则 tanB 的值为( )A B C D5一个圆锥的侧面展开图是半径为 6 的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A1.5 B2 C2.5 D36如图，ABC 中，AB=AC=
2、18 ，BC=12 ，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在 ABC 内，顶点D，G 分别在 AB，AC 上，AD=AG，DG=6 ，则点 F 到 BC 的距离为( )A1 B2 C12 6 D6 67如图，已知O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45 ，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，设 OP=x，则 x 的取值范围是( )AOx B x C 1x1 Dx8如图，直线 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，圆心 P 的坐标为（1，0） ，圆 P 与 y 轴相切于点 O若将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P 与该直线相交时，横
3、坐标为整数的点 P 的个数是( )A2 B3 C4 D5二、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）9一元二次方程（a+1）x 2ax+a21=0 的一个根为 0，则 a=_10已知扇形的半径为 3cm，此扇形的弧长是 2cm，则此扇形的圆心角等于 _度，扇形的面积是_ （结果保留 ）11如图，边长为 1 的小正方形网格中，O 的圆心在格点上，则 AED 的余弦值 是_12如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为_m 13若 、 是方程 x22x3=0 的两个实数根，则 2+2=
4、_14如图，网格的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点ABC 的三个顶点都在格点上，那么ABC 的外接圆半径是_15如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若AB=2 cm，BCD=2230，则圆 O 的半径为_cm16如图，在 RtABC 中， C=90，A=30，BC=1 ，点 D 在 AC 上，将ADB 沿直线BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 ADED，那么线段 DE 的长为_17如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把B 沿 AE折叠，使点 B 落在点 B处当CEB 为直角三角形时，BE
5、 的长为_三、解答题（共 9 小题，满分 0 分）18计算：（1） 2sin60+| |；（2） （2） 3+ 0| |+tan26019解方程：（1）x 2+2x3=0； （2）3x（x2） =2x（x2） 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，4） ，B （2，1） ，C（5，2） （1）请画出ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1（2）将A 1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点 A2，B 2，C 2，请画出A 2B2C2（3）求A 1B1C1 与 A2B2C2 的面积比，即 ： =_（不写解答过程，直接写出结果） 21电动
6、自行车已成为市民日常出行的首选工具据某市品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份的统计，该品牌电动车一月份销售 150 辆，三月销售 216 辆（1）求该电动车销售量的月平均增 长率；（2）若 13 月份每月销售量的增长率相同，该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价2800 元，则该经销商 1 月至 3 月共盈利多少元？22如图，AB 是 O 的直径，C 是O 上的一点，过点 A 作 ADCD 于点 D，交O 于点 E，且 = （1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 tanC AB= ，BC=3，求 DE 的长23如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航
7、行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60，测得 B 的方位角为南偏东 45，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据： 1.41， 2.45）24如图 1，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过 C 点的切线，垂足为 D，AB 的延长线交直线 CD 于点 E（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 AB=4，B 为 OE 的中点，CFAB，垂足为点 F，求 CF 的长；（3）如图 2，连接 OD 交 AC 于点 G，若 = ，求 sinE 的值25如果三角形有一边上
8、的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在 RtABC 中，C=90，tanA= ，求证：ABC 是“ 好玩三角形”；（3）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=2，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相同速度分别沿折线 ABBC 和 ADDC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s当 =45时，若APQ 是“好玩三角形”，试求 的值26如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F （点 F 在
9、点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA交于点 G（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长；（3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1一元二次方程 x22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( )Am1 Bm=1 Cm1 Dm1【考点】根的判别式 【分析】根据根的判别式，令 0，建立关于 m 的不等式，解答即可【解答】解：方程 x22x+m=0 总有实数根，0，即 44m0，4m4，m1故选：D【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的
10、关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3） 0方程没有实数根2用下列同一种图形，不能密铺的是( )A三角形 B正五边形 C四边形 D正六边形【考点】平面镶嵌（密铺） 【分析】先求出任意多边形的内角和，正多边形的每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断【解答】解：正三角形的每个内角是 60，能整除 360，能密铺；正五边形每个内角是 1803605=108，不能整除 360，不能密铺利用排除法可知应选 B故选 B【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除 3603如图所示，在O 中， ，
11、A=30 ，则B=( )A150 B75 C60 D15【考点】圆心角、弧、弦的关系 【分析】先根据等弧所对的弦相等求得 AB=AC，从而判定ABC 是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出B=C；最后由三角形的内角和定理求角 B 的度数即可【解答】解：在 O 中， ，AB=AC，ABC 是等腰三角形，B=C；又A=30，B= =75（三角形内角和定理） 故选 B【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质解题的关键是根据等弧对等弦推知ABC 是等腰三角形4在 RtABC 中， C=90， sinA= ，则 tanB 的值为( )A B C D【考点】互余两角三角
12、函数的关系 【专题】计算题【分析】根据题意作出直角ABC，然后根据 sinA= ，设一条直角边 BC 为 5x，斜边 AB为 13x，根据勾股定理求出另一条直角边 AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出tanB【解答】解：sinA= ，设 BC=5x，AB=13x，则 AC= =12x，故 tanB= = 故选：D【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用5一个圆锥的侧面展开图是半径为 6 的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A1.5 B2 C2.5 D3【考点】圆锥的计算 【专题】计算题【分析】半径为 6 的半圆的弧长是 6，圆锥
13、的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是 6，然后利用弧长公式计算【解答】解：设圆锥的底面半径是 r，半径为 6 的半圆的弧长是 6，则得到 2r=6，解得：r=3，这个圆锥的底面半径是 3故选：D【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键6如图，ABC 中，AB=AC=18 ，BC=12 ，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在 ABC 内，顶点D，G 分别在 AB，AC 上，AD=AG，DG=6
14、，则点 F 到 BC 的距离为( )A1 B2 C12 6 D6 6【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质 【专题】几何图形问题【分析】首先过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 G F 交 BC 于点 H，易证得ADGABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案【解答】解：过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H，AB=AC，AD=AG，AD：AB=AG：AC，BAC=DAG，ADGABC，ADG=B，DGBC，四边形 DEFG 是正方形，FGDG，FHBC，AN DG，AB
15、=AC=18，BC=12 ，BM= BC=6，AM= =12 ， ， ，AN=6 ，MN=AMAN=6 ，FH=MNGF=6 6故选：D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7如图，已知O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45 ，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，设 OP=x，则 x 的取值范围是( )AO x B x C 1x1 Dx【考点】直线与圆的位置关系 【专题】综合题；压轴题【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切
16、或相交相切时，设切点为 C，连接OC根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径 1，求得斜边是 所以 x 的取值范围是0x 【解答】解：设切点为 C，连接 OC，则圆的半径 OC=1，OCPC，AOB=45， OAPC，OPC=45，PC=OC=1，OP= ，同理，原点左侧的距离也是 ，且线段是正数所以 x 的取值范围是 0x故选 A【点评】此题注意求出相切的时候的 X 值，即可分析出 X 的取值范围8如图，直线 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，圆心 P 的坐标为（1，0） ，圆 P 与 y 轴相切于点 O若将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P 的
17、个数是( )A2 B3 C4 D5【考点】直线与圆的位置关系；一次函数综合题 【专题】压轴题【分析】根据直线与坐标轴的交点，得出 A，B 的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标【解答】解：直线 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，圆心 P 的坐标为（1，0） ，A 点的坐标为：0= x+ ，x=3，A （3，0） ，B 点的坐标为：（0， ） ，AB=2 ，将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P 与该直线相切于 C1 时， P1C1=1，根据AP 1C1ABO， = = ，AP1=2，P1 的坐标为：（1，0） ，将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P
18、与该直线相切于 C2 时， P2C2=1，根据AP 2C2ABO， = = ，AP2=2，P2 的坐标为：（ 5，0） ，从1 到5，整数点有 2，3，4，故横坐标为整数的点 P 的个数是 3 个故选：B【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键二、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）9一元二次方程（a+1）x 2ax+a21=0 的一个根为 0，则 a=1【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题；待定系数法【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 a+10 且 a21=0，然后解不等式
19、和方程即可得到 a 的值【解答】解：一元二次方程（a+1）x 2ax+a21=0 的一个根为 0，a+10 且 a21=0，a=1故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫一元二次方程，其一般式为 ax2+bx+c=0（a 0） 也考查了一元二次方程的解的定义10已知扇形的半径为 3cm，此扇形的弧长是 2cm，则此扇形的圆心角等于 120 度，扇形的面积是 3cm2 （结果保留 ）【考点】扇形面积的计算；弧长的计算 【专题】计算题【分析】设扇形的圆心角的度数是 n，根据弧长公式即可列方程求得 n 的值，然后利用扇形的面积公式即可求
20、得扇形的面积【解答】解：设扇形的圆心角的度数是 n，则=2，解得：n=120，扇形的面积是： =3（cm 2） 故答案是：120，3cm 2【点评】本题考查弧长公式和扇形的面积公式，正确记忆公式是关键11如图，边长为 1 的小正方形网格中，O 的圆心在格点上，则 AED 的余弦值是 【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】网格型【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到ABC=AED ，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义求出 cosABC 的值，即为 cosAED 的值【解答】解：AED 与 ABC 都对 ，AED=ABC，在 RtABC 中，AB=2 ，AC=1，根据
21、勾股定理得：BC= ，则 cosAED=cosABC= = 故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键12如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 9m【考点】相似三角形的应用 【专题】几何图形问题【分析】根据OCD 和OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：由题意得，CDAB，OCDOAB， = ，即 = ，解得 AB=9故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是
22、解题的关键13若 、 是方程 x22x3=0 的两个实数根，则 2+2=10【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系求得 +=2，=3，则将所求的代数式变形为（+）22，将其整体代入即可求值【解答】解：， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，+=2， =3，2+2=（+） 22=222（3）=10故答案是：10【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14如图，网格的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点ABC 的三个顶点都在格点上，那么ABC 的外接圆半径是 【考点】三角形的外接圆与外心 【专题】压轴题；网格型【分
23、析】根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径= = 【解答】解：由图可知：ABC 的外接圆半径= = 【点评】此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径15如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若AB=2 cm，BCD=2230，则圆 O 的半径为 2cm【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 【专题】计算题【分析】连接 OB，如图，根据圆周角定理得到BOD=2 BCD=45，再根据垂径定理，由CD 是直径，弦 ABCD 得到 BE= AB= ，然后判断OBE 为等腰直角三角形
24、，则 OB=BE=2【解答】解：连接 OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，CD 是直径，弦 ABCD，AE=BE= AB= 2 = ，在OBE 中，BOE=45 ，OBE 为等腰直角三角形，OB= BE= =2，即圆 O 的半径为 2cm答案为 2【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质16如图，在 RtABC 中， C=90，A=30，BC=1 ，点 D 在 AC 上，将ADB 沿直线BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 ADED，那么线段 DE 的长为 【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】
25、压轴题【分析】由在 RtABC 中， C=90，A=30，BC=1 ， 利用三角函数，即可求得 AC 的长，又由ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，ADED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得EDB 与 CDB 的度数，继而可得 BCD 是等腰直角三角形，求得 CD 的长，继而可求得答案【解答】解：在 RtABC 中， C=90，A=30，BC=1，AC= = = ，将 ADB 沿直 线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB= =135，CDB=EDBCDE=13590=45，C=90，CBD=
26、CDB=45，CD=BC=1，DE=AD=ACCD= 1故答案为： 1【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系17如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把B 沿 AE折叠，使点 B 落在点 B处当CEB 为直角三角形时，BE 的长为 或 3【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得ABE= B=90，而当CEB 为直
27、角三角形时，只能得到EBC=90，所以点 A、B、C 共线，即B 沿 AE 折叠，使点B 落在对角线 AC 上的点 B处，则 EB=EB，AB=AB =3，可计算出 CB=2，设 BE=x，则EB=x，CE=4x，然后在 RtCEB中运用勾股定理可计算出 x当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时 ABEB为正方形【解答】解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示连结 AC，在 RtABC 中，AB=3 ，BC= 4，AC= =5，B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处，ABE=B=90，当CEB 为直角三角形时，只能得到EBC=90，点 A、
28、 B、C 共线，即 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处，EB=EB，AB=AB =3，CB=53=2，设 BE=x，则 EB=x，CE=4x，在 RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4x） 2，解得 x= ，BE= ；当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时 ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE 的长为 或 3故答案为： 或 3【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解三、解 答题（共 9 小题，满分 0 分）18计算：（1） 2s
29、in60+| |；（2） （2） 3+ 0| |+tan260【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题【分析】 （1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可；（2）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：（1）原式=3 2 + =3；（2）原式= 8+ +3=5【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键19解方程：（1）x 2+2x3=0； （2）3x（x2） =2x（x2） 【考点】
30、解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）将3 分解成 13，从而得出两个一元一次方程，求解即可（2）先移项，然后对等式的左边利用提取公因式法对其因式分解【解答】解：（1）移项，得 x2+2x3=0，（x1） （ x+3）=0，x1=0 或 x+3=0，解得 x1=1，x 2=3（2）由原方程，得（3x2x ） （x 2） =0，即 x（x 2）=0，x=0 或 x2=0，解得 x1=0，x 2=2【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，此种方法比较简单，一定要掌握20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，4） ，B （2，1） ，C（5，2） （1）
31、请画出ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1（2）将A 1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点 A2，B 2，C 2，请画出A 2B2C2（3）求A 1B1C1 与 A2B2C2 的面积比，即 ： =1：4（不写解答过程，直接写出结果） 【考点】作图-位似变换；作图 -轴对称变换 【专题】作图题【分析】 （1）根据关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将A 1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得出各点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A 1B1C1 即为所求；（2）如图
32、所示：A 2B2C2 即为所求；（3）将A 1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以 2，得到对应的点 A2，B 2，C 2，A1B1C1 与A 2B2C2 的相似比为：1：2， ： =1：4故答案为：1：4【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点位置是解题关键21电动自行车已成为市民日常出行的首选工具据某市品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份的统计，该品牌电动车一月份销售 150 辆，三月销售 216 辆（1）求该电动车销售量的月平均增长率；（2）若 13 月份每月销售量的增长率相同，该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价2800 元，则该经销商 1 月至 3
33、月共盈利多少元？【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】 （1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x等量关系为：1 月份的销售量（1+ 增长率） 2=3 月份的销售量，把相关数值代入求解即可（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x，根据题意列方程：150（1+x） 2=216，解得 x1=220%（不合题意，舍去） ，x 2=20%答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20%（2）二月份的销量是：150（1+20%）=180（辆） 所以该经销商 1 至 3 月共盈利：（28002300）
34、（150+180+216 ）=500546=273000（元） 【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键22如图，AB 是 O 的直径，C 是O 上的一点，过点 A 作 ADCD 于点 D，交O 于点 E，且 = （1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 tanCAB= ，BC=3，求 DE 的长【考点】切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题【分析】 （1）连接 OC，由 = ，根据圆周角定理得1=2，而 1=OCA，则2=OCA，则可判断 OCAD，由于 ADCD
35、，所以 OCCD，然后根据切线的判定定理得到 CD 是O 的切线；（2）连接 BE 交 OC 于 F，由 AB 是O 的直径得ACB=90 ，在 RtACB 中，根据正切的定义得 AC=4，再利用勾股定理计算出 AB=5，然后证明 RtABCRtACD，利用相似比先计算出 AD= ，再计算出 CD= ；根据垂径定理的推论由 = 得OCBE，BF=EF，于是可判断四边形 DEFC 为矩形，所以 EF=CD= ，则 BE=2EF= ，然后在 RtABE 中，利用勾股定理计算出 AE= ，再利用 DE=ADAE 求解【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， = ，1=2，OC=OA，1=OCA，2=
36、OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：连接 BE 交 OC 于 F，如图，AB 是O 的直径，ACB=90，在 RtACB中，tanCAB= = ，而 BC=3，AC=4，AB= =5，1=2，RtABCRtACD， = ，即 = ，解得 AD= ， = ，即 = ，解得 CD= ， = ，OCBE，BF=EF，四边形 DEFC 为矩形，EF=CD= ，BE=2EF= ，AB 为直径，BEA=90，在 RtABE 中，AE= = = ，DE=ADAE= = 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和相似三角
37、形的判定与性质23如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60，测得 B 的方位角为南偏东 45，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据： 1.41， 2.45）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【专题】几何图形问题【分析】先过点 C 作 CPAB 于 P，根据 已知条件求出PCB= PBC=45， CAP=60，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 RtPCB 中，根据勾股定理求出 BP=CP 的值，
38、再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据 AB=AP+PB，即可求出答案【解答】解：过点 C 作 CPAB 于 P，BCF=45，ACE=60 ，ABEF ，PCB=PBC=45，CAP=60 ，轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时，BC=90，BC2=BP2+CP2，BP=CP=45 ，CAP=60，tan60= = ，AP=15 ，AB=AP+PB=15 +45 =152.45+451.41100（km） 答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离约 100km【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根 据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题
39、的关键24如图 1，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过 C 点的切线，垂足为 D，AB 的延长线交直线 CD 于点 E（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 AB=4，B 为 OE 的中点，CFAB，垂足为点 F，求 CF 的长；（3）如图 2，连接 OD 交 AC 于点 G，若 = ，求 sinE 的值【考点】圆的综合题；平行线的性质；含 30 度角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义 【专题】几何综合 题【分析】 （1）连结 OC，如图 1，根据切线的性质得 OCDE，而 ADDE，根据平行线的性质得 OCAD，所以 2=3，加上1=3，则 1=2，所
40、以 AC 平分 DAB；（2）如图 1，由 B 为 OE 的中点，AB 为直径得到 OB=BE=2，OC=2，在 RtOCE 中，由于 OE=2OC，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得OEC=30 ，则COE=60，由CFAB 得OFC=90，所以OCF=30，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得OF= OC=1，CF= OF= ；（3）连结 OC，如图 2，先证明OCG DAG，利用相似的性质得 = = ，再证明ECOEDA，利用相似比得到 = = ，设O 的半径为 R，OE=x，代入求得 OE=3R；最后在 RtOCE 中，根据正弦的定义求解【解答】 （1）证明：连结 OC，如
41、图 1，DE 与O 切于点 C，OCDE，ADDE，OCAD，2=3，OA=OC，1=3，1=2，即 AC 平分 DAB；（2）解：如图 1，直径 AB=4，B 为 OE 的中点，OB=BE=2，OC=2，在 RtOCE 中，OE=2OC ，OEC=30，COE=60，CFAB，OFC=90，OCF=30，OF= OC=1，CF= OF= ；（3）解：连结 OC，如图 2，OCAD，OCGDAG， = = ，OCAD，ECOEDA， = = ，设 O 的半径为 R，OE=x， = ，解得 OE=3R，在 RtOCE 中，sin E= = = 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平
42、行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含 30 度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算25如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在 RtABC 中，C=90，tanA= ，求证：ABC 是“ 好玩三角形”；（3）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=2，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相同速度分别沿折线 ABBC 和 ADDC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s当 =45时，若APQ 是“好玩三角形”，试求 的值【考点】四边形综合题 【分析】 （1）先画一条线段 AB，再确
43、定 AB 的中点 O，以点 O 为圆心，AB 为半径画圆，在圆 O 上取一点 C，连接 AC、BC，则 ABC 是所求作的三角形；（2）取 AC 的中点 D，连接 BD，设 BC= x，根据条件可以求出 AC=2x，由三角函数可以求出 BD=2x，从而得出 AC=BD，从而得出结论；（3）当 =45时，分情况讨论，P 点在 AB 上时，APQ 是等腰直角三角形，不可能是“ 好玩三角形”，当 P 在 BC 上时，延长 AB 交 QP 的延长线于点 F，可以求出分情况讨论，就可以求出 = ，再分情况讨论就可以求出当 AE=PQ 时， 的值，当 AP=QM 时，可以求出 的值【解答】解：（1）如图
44、1，作一条线段 AB，作线段 AB 的中点 O，以点 O 为圆心，AB 为半径画圆，在圆 O 上取一点 C，连接 AC、BC ，ABC 是所求作的三角形（点 E、F 除外） ；（2）如图 2，取 AC 的中点 D，连接 BD，C=90，tanA= ， = ，设 BC= x，则 AC=2x，D 是 AC 的中点，CD= AC=xBD= = =2x，AC=BDABC 是“好玩三角形” ；（3）如图 3，当 =45，点 P 在 AB 上时，ABC=2=90，APQ 是等腰直角三角形，不可能是 “好玩三角形”，当 P 在 BC 上时，连接 AC 交 PQ 于点 E，延长 AB 交 QP 的延长线于点
45、F，如图 4，PC=CQ，CAB=ACP，AEF= CEP，AEFCEP， = = = PE=CE， = 当底边 PQ 与它的中线 AE 相等时，即 AE=PQ 时，= =2， = ，当腰 AP 与它的中线 QM 相等，即 AP=QM 时，作 QNAP 于 N，如图 4MN=AN= MPQN= MN，tanAPQ= = = ，tanAPE= = = ， = + 【点评】本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键26如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F （点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA交于点 G（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长；（3）当AGE 是等
