1、难题突破专题二 “ K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“ A”字型、 “X”字型相似外，还有一个“ K”字型相似，也常用于各种相似图形中 “K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口类型 1 “K”字型相似基本图形 1图 Z211 条件：如图 Z21， B， C， E 三点共线， B ACD E90.结论： ABC CED.证明：例题分层分析 (1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了 B E ACD 之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图 Z22，已知点
2、 A(0，4)， B(4，1)， BC x 轴于点 C，点 P 为线段 OC 上一点，且 PA PB，则点 P 的坐标为_图 Z22例题分层分析 (1)根据“ K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设 P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得 x 的值，从而得到点 P 的坐标解题方法点析 “K”字型相似基本图形 1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题类型 2 “K”字型相似基本图形 22 条件：如图 Z23， B， D， C 三点共线， B EDF C .图 Z23结论： BDE CFD.证明
3、：例题分层分析 (1)“K”字型相似基本图形 2 与基本图形 1 有何联系？(2)如何证明 E CDF?【应用】1如图 Z24，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形， CB OA， OC BA， OA7， BC1， AB5，点 P 为 x轴上的一个动点，点 P 不与点 O， A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D.图 Z24(1)直接写出点 B 的坐标：_；(2)当点 P 在线段 OA 上运动时，使得 CPD OAB，且 BD AD32，求点 P 的坐标例题分层分析 (1)过点 B 作 BQ x 轴于点 Q，依题意可得 OQ4， AQ3，已知 AB5，根据勾股定理求
4、出 QB 即可解答(2)根据“ K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2如图 Z25，已知直线 y kx 与抛物线 y x2 交于点 A(3，6)427 223图 Z25(1)求直线 y kx 的函数表达式和线段 OA 的长度(2)若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上(与点 O， A 不重合)，点 D(m，0)是 x 轴正半轴上的动点，且满足 BAE BED AOD.探究： m 在什么范围内时，符合条件的点 E 分别有 1 个、2 个？例题分层分析 (1)利用待定系数法求出直线 y kx 的函数表达式，根据 A 点坐标用勾股定
5、理求出线段 OA 的长度(2)延长 AB 交 x 轴于点 F，由 BAE AOD 可求出点 F 的坐标为_，进而再求得点 B 的坐标为_，然后由两点间距离公式可求得线段 AB 的长为_；由已知条件 BAE BED AOD，可得到“ K”字型相似的基本图形 2，故可得到_，设 OE a，则由对应边的比例关系可以得到_从而得到关于 a 的一元二次方程为_，然后根据根的判别式可以分别得到 a 的值分别为 1 个、2 个时 m 的取值范围解题方法点析 “K”字型相似基本图形 2，根据三个角相等，联想到“ K”字型基本图形 1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题专 题 训 练1201
6、7常州 如图 Z26，已知矩形 ABCD 的顶点 A， D 分别落在 x 轴、 y 轴上，OD2 OA6， AD AB31，则点 C 的坐标是( )A(2，7) B(3，7) C(3，8) D(4，8)图 Z262如图 Z27，在矩形 ABCD 中，把 DA 沿 AF 对折，使得点 D 与 CB 边上的点 E 重合，若 AD10， AB8，则EF_图 Z2732017攀枝花 如图 Z28， D 是等边 ABC 边 AB 上的点， AD2， BD4.现将 ABC 折叠，使得点 C 与点D 重合，折痕为 EF，且点 E， F 分别在边 AC 和 BC 上，则 _CFCE图 Z284如图 Z29，在
7、直角梯形 ABCF 中， CB14， CF4， AB6， CF AB，在边 CB 上找一点 E，使以 E， A， B 为顶点的三角形和以 E， C， F 为顶点的三角形相似，则 CE_图 Z295如图 Z210，在直角梯形 ABCD 中， A90， B120， AD ， AB6.在底边 AB 上取点 E，在射线 DC3上取点 F，使得 DEF120.(1)当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是_；(2)若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是_图 Z21062017绵阳将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图 Z211 所示放置，点 D 在 AB 边上， DEF 绕点 D旋转，腰
8、 DF 和底边 DE 分别交 CAB 的两腰 CA， CB 于 M， N 两点若 CA5， AB6， AD AB13，则 MD 的12MADN最小值为_图 Z2117如图 Z212，在四边形 ABCD 中，已知 AD BC， B90， AB7， AD9， BC12，在线段 BC 上任取一点E，连结 DE，作 EF DE，交直线 AB 于点 F.(1)若点 F 与 B 重合，求 CE 的长；(2)若点 F 在线段 AB 上，且 AF CE，求 CE 的长图 Z2128如图 Z213，在 ABC 中， AB AC，点 P， D 分别是 BC， AC 边上的点，且 APDB.(1)求证： ACCD
9、CPBP；(2)若 AB10， BC12，当 PD AB 时，求 BP 的长图 Z21392017天水 ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， BAC EDF90， DEF 的顶点 E 与 ABC的斜边 BC 的中点重合，将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.(1)如图 Z214，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP AQ 时，求证： BPE CQE.(2)如图 Z214，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当 BP2， CQ9 时 BC 的长图 Z21410在 ABC 中
10、， AB AC， BAC120， P 为 BC 的中点，小明拿着含有 30角的透明直角三角板，使 30角的顶点落在点 P 上，三角板绕点 P 旋转(1)如图 Z215，当三角板的一直角边和斜边分别与 AB， AC 交于点 E， F 时，连结 EF，请说明 BPE CFP.(2)操作：将三角板绕点 P 旋转到图的情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E， F，连结 EF.探究 1： BPE 与 CFP 相似吗？请说明理由；探究 2： BPE 与 PFE 相似吗？请说明理由图 Z215参考答案类型 1 “ K”字型相似基本图形 1例 1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相
11、似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等(2)根据余角的性质还可以得到 A DCE， ACB D，从而可证得 ABC CED.证明：证明过程略应用【例题分层分析】(1)根据“ K”字型相似，可得到 AOP PCB，所以 .AOPC OPCB(2)设 P(x，0)，因为 AO OC4， BC1，所以 OP x， PC4 x，所以 ，解得 x2，从而得到点 P 的坐44 x x1标为(2，0)答案 (2，0) 解析 PA PB， APO BPC90. AO x 轴， APO PAO90， PAO BPC.又 BC
12、x 轴， AO x 轴， BCP POA90， BCP POA， .AOPC OPCB点 A(0，4)， B(4，1)， AO4， BC1， OC4.设 P(x，0)，则 OP x， PC4 x， ，解得 x2，点 P 的坐标为(2，0)44 x x1类型 2 “ K”字型相似基本图形 2例 2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形 1 是三个直角相等，而基本图形 2 是基本图形 1 的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“ K”，因此称之为“ K”字型相似图形(2) B EDF C ，由外角性质可知 EDC B E E.又 EDC EDF FDC CDF， E
13、CDF.证明： B EDF C ，由外角性质可知 EDC B E E.又 EDC EDF FDC FDC， E FDC.又 B C， BDE CFD.应用 1【例题分层分析】(1)过点 B 作 BQ x 轴于点 Q，易求得 BQ4，故得到点 B 的坐标为(4，4)(2)由“ K”字型相似可得到 POC DAP，所以 ，OCAP OPAD设 OP x， OC AB5， AD AB2， AP7 x，25所以 ，解得 x2 或 x5，57 x x2所以点 P 的坐标为(2，0)或(5，0)解：(1)过点 B 作 BQ x 轴于点 Q. AB OC， AQ(71)23，在 Rt BQA 中， BA5，
14、由勾股定理，得 BQ 4，AB2 AQ2点 B 的坐标为(4，4)(2) CPA OCP COP，即 CPD DPA COP OCP，而 CPD OAB COP， OCP APD， OCP APD， .OCAP OPAD ， AD2.BDAD 32设 OP x， OC AB5， AP7 x， ，57 x x2解得 x2 或 x5，点 P 的坐标为(2，0)或(5，0)应用 2【例题分层分析】(1)直线 y kx 的函数表达式为 y2 x， OA 3 .32 62 5(2)点 F 的坐标为( ，0)，点 B 的坐标为(6，2)，152AB5.根据“ K”字型相似的基本图形 2，可得到 ABE O
15、ED，设 OE a，则 AE3 a(0 a3 )，5 5由 ABE OED 得 ，AEAB ODOE ， a23 a5 m0，3 5 a5 ma 5依题意知 m0，当 0，即(3 )220 m0， m 时，符合条件的点 E 有 1 个；594当 0，即(3 )220 m0，0 m 时，符合条件的点 E 有 2 个594解：(1)把点 A(3，6)的坐标代入 y kx，得 63 k， k2， y2 x， OA 3 .32 62 5(2)如图，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作 FC OA 于点 C，过点 A 作 AR x 轴于点 R. AOD BAE， AF OF， OC AC OA
16、.12 32 5 ARO FCO90， AOR FOC， AOR FOC， ， OF ，OFOC AOOR 3 53 5 32 5 5 152点 F 的坐标为 .(152， 0)设直线 AF 的函数表达式为 y ax b(a0)，把点 A(3，6)， F 的坐标代入，解得(152， 0)a ， b10， y x10，43 43由 解得 (舍去)，y 43x 10，y 427x2 223， ) x1 3，y1 6) x2 6，y2 2， ) B(6，2)， AB5. BAE BED， ABE BAE DEO BED， ABE DEO. BAE EOD， ABE OED.设 OE a，则 AE3
17、a(0 a3 )，5 5由 ABE OED 得 ，AEAB ODOE即 ， a23 a5 m0.3 5 a5 ma 5依题意得 m0，当 0，即(3 )220 m0， m 时，符合条件的点 E 有 1 个；594当 0，即(3 )220 m0，0 m 时，符合条件的点 E 有 2 个594专题训练1A 2.5 3.5442 或 12 或 解析 两个三角形相似，可能是 EFC EAB，也可能是 EFC AEB，所以应分两种情况讨285论，进而求 CE 的值即可5(1)6 (2)2 或 5 解析 (1)过点 E 作 EG DF，由 E 是 AB 的中点，得出 DG3，从而得出 DEG60，由 DE
18、F120，得 FEG60，由 tan FEG ，即可求出 GF 的长，进而得出 DF 的长FGGE(2)过点 B 作 BH DC，延长 AB，过点 C 作 CM AB 于点 M，则 BH AD ，再由锐角三角函数的定义求出 CH 及 BC3的长，设 AE x，则 BE6 x，利用勾股定理用 x 表示出 DE 及 EC 的长，再判断出 EDC BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于 x 的方程，求出 x 的值即可62 解析 先求出 AD2， BD4，由“ K”字型相似可得 AMD 和 BDN 相似，根据相似三角形对应边成比3例可得 ，求出 MADN4 MD，再将所求代数式整理得出完全平方
19、的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即MABD MDDN可7解：(1)当点 F 和 B 重合时， EF DE， DE BC. B90， AB BC， AB DE. AD BC，四边形 ABED 是平行四边形， AD EF9， CE BC EF1293.(2)过点 D 作 DM BC 于点 M， B90， AB BC， DM AB. AD BC，四边形 ABMD 是矩形， AD BM9， AB DM7， CM1293.设 AF CE a，则 BF7 a， EM a3， BE12 a，可证 FBE EMD， ，即 ，BFEM BEDM 7 aa 3 12 a7解得 a5 或 a17.点 F 在线
20、段 AB 上， AF CE AB7， CE5.8解：(1)证明： APC PAB B， APD B， DPC PAB，又 AB AC， ABP PCD， ABP PCD， ，ABCP BPCD ， ACCD CPBP.ACCP BPCD(2) PD AB， DPC B， PAB B，又 B C， PAB C.又 PBA ABC， PBA ABC， ，BPAB ABBC BP .AB2BC 10212 2539解：(1)证明： ABC 是等腰直角三角形， B C45， AB AC， AP AQ， BP CQ， E 是 BC 的中点， BE CE，在 BPE 和 CQE 中， BE CE， B C
21、，BP CQ， ) BPE CQE(SAS)；(2) ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， B C DEF45， BEQ EQC C，即 BEP DEF EQC C， BEP45 EQC45， BEP EQC， BPE CEQ， ，BPCE BECQ BP2， CQ9， BE CE， BE218， BE CE3 ， BC6 .2 210解：(1)在 ABC 中， BAC120， AB AC， B C30. B BPE BEP180， BPE BEP150.又 BPE EPF CPF180， EPF30， BPE CPF150， BEP CPF， BPE CFP(两角对应相等的两个三角形相似)(2) BPE CFP，理由同(1) BPE 与 PFE 相似理由：由 BPE CFP，得 CP BE PF PE，而 CP BP，因此 BP BE PF PE.又 EBP EPF， BPE PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
