1、方法技巧专题七 角平分线训练1与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质(2)角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于 90与第三角一半的和；三角形两外角的平分线的夹角等于 90与第三角一半的差；三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半(3)三角形的内心及其性质(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系2与角平分线有关的图形或辅助线(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形(3)过角平分线上的点作边的垂线一、选择题12017台州 如图 F71，点 P 是 AOB 平分线 OC 上一点， PD OB，垂足为 D.若 PD2，则点 P 到
2、边 OA 的距离是( )A1 B2 C. D43图 F71 图 F7222017眉山 如图 F72，在 ABC 中， A66，点 I 是内心，则 BIC 的大小为( )A114 B122 C123 D1323如图 F73，半圆 O 的直径 AB10 cm，弦 AC6 cm， AD 平分 BAC，则 AD 的长为( )A4 cm B3 cm C5 cm D4 cm5 5 5图 F734如图 F74，在直角梯形 ABCD 中， DC AB， DAB90， AC BC， AC BC， ABC 的平分线分别交 AD， AC于点 E， F，则 的值是( )BFEF图 F74A. 1 B22 2C. 1
3、D.2 252017滨州 如图 F75，点 P 为定角 AOB 的平分线上的一个定点，且 MPN 与 AOB 互补若 MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA， OB 相交于 M、 N 两点，则以下结论：(1) PM PN 恒成立(2) OM ON 的值不变(3)四边形 PMON 的面积不变(4) MN 的长不变，其中正确的个数为( )图 F75A4 B3 C2 D1二、填空题62015常德 如图 F76，在 ABC 中， B40，三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E，则 AEC_度图 F76 图 F7772016宁夏 如图 F77，在平行四边形 ABCD 中， B
4、AD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE3，若平行四边形 ABCD 的周长是 16，则 EC 等于_82017十堰 如图 F78， ABC 内接于 O， ACB90， ACB 的角平分线交 O 于 D，若 AC6， BD5 ，则 BC 的长为_2图 F7892015巴中 如图 F79，在 ABC 中， AB5， AC3， AD， AE 分别为 ABC 的中线和角平分线，过点 C 作CH AE 于点 H，并延长交 AB 于点 F，连结 DH，则线段 DH 的长为_图 F7910如图 F710，在 ABCD 中， AB AD， AE， BE， CM， DM 分别为 DAB， ABC， B
5、CD， CDA 的平分线， AE 与DM 相交于点 F， BE 与 CM 相交于点 N，连结 EM.若 ABCD 的周长为 42 cm， FM3 cm， EF4 cm，则EM_ cm， AB_ cm.图 F710三、解答题112017盐城 如图 F711，矩形 ABCD 中， ABD， CDB 的平分线 BE， DF 分别交边 AD， BC 于点 E， F.(1)求证：四边形 BEDF 为平行四边形；(2)当 ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由图 F711122017临沂 如图 F712， BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D， ABC 的平分线交 AD 于点 E
6、.(1)求证： DE DB；(2)若 BAC90， BD4，求 ABC 外接圆的半径图 F712132016滨州 如图 F713， BD 是 ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交 AB， BD， BC 于点 E， F， G，连结 ED， DG.(1)请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由；(2)若 ABC30， C45， ED2 ，点 H 是 BD 上的一个动点，求 HG HC 的最小值10图 F713参考答案1B 2C 解析 因为点 I 是内心，所以 IBC ABC， ICB ACB，因此 BIC180( IBC ICB)12 12180 ( ABC ACB)180 (180 A)1
7、80 (18066)123.12 12 123A 解析 连结 BC， OD 相交于点 E，连结 BD， BC 8 cm， BE4 cm， OE3 cm， DE2 cm， BD2 5cm， AD4 cm.54C 解析 如图，过点 F 作 FG AD 于点 G.依题意可知 ABC 是等腰直角三角形， AFG 也是等腰直角三角形设 FG1，则 AG1， AF .2 BE 平分 ABC， ABE22.5. AEB90 ABE67.5， AFE CAB ABE67.5. AEB AFE， AE AF ， EG 1.2 2 FG AD， DAB90， FG AB. 1.故选 C.BFEF AGEG 12
8、1 25B 解析 结论(1)，过点 P 分别作 OA、 OB 的垂线段，由于 PEO PFO90，因此 AOB 与 EPF 互补，由已知“ MPN 与 AOB 互补” ，可得 MPN EPF，可得 MPE NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等” ，可证 PE PF，即可证得 Rt PME Rt PNF，因此对于结论(1)， “PM PN”由全等即可证得是成立的；结论(2)，也可以由全等得到 ME NF，即可证得 OM ON OE OF，由于 OE OF 保持不变，因此 OM ON 的值也保持不变；结论(3)，由“ Rt PME Rt PNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形 PM
9、ON 的面积与四边形 PEOF 的面积始终相等，因此结论(3)是正确的；结论(4)，连结 EF，对于 PMN 与 PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边 MN 与 EF 不可能相等所以 MN 的长是变化的670 7.288 解析 连结 DA，因为 ACB90，所以 AB 为直径，所以 ADB90，因为 CD 平分 ACB，所以BD AD，在 ABD 中， AB 10，在 ABC 中， BC 8.AD2 BD2 （ 5 2） 2 （ 5 2） 2 AB2 AC2 102 6291105 13 解析 四边形 EFMN 有三个角是直角，四
10、边形 EFMN 是矩形， EM5.易知 ADF CBN，AFD AEB. ，即 3AF4 DF.设 AF4 k，则 DF3 k， AD5 k， AB5( k1) AD AB21，AFAF 4 DFDF 3 ADAB5 k5( k1)21，解得 k1.6. AB13.11解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， AB CD， BC AD. ABD CDB. BE 平分 ABD， DF 平分 CDB， EBD ABD， FDB CDB.12 12 EBD FDB. BE DF.又 BC AD，四边形 BEDF 是平行四边形(2)当 ABE30时，四边形 BEDF 是菱形理由如下： BE 平分 A
11、BD， ABE30， ABD60， DBE30.四边形 ABCD 是矩形， A90， ADB90 ABD906030. DBE ADB. DE BE.四边形 BEDF 是平行四边形，四边形 BEDF 是菱形12解：(1)证明： AD 平分 BAC， BAD CAD.又 CBD CAD， BAD CBD. BE 平分 ABC， CBE ABE， DBE CBE CBD ABE BAD.又 BED ABE BAD， DBE BED， BD DE.(2)如图，连结 CD. BAC90， BC 是直径， BDC90. AD 平分 BAC， BD4， BD CD4， BC 4 ，BD2 CD2 2 AB
12、C 外接圆的半径为 2 .213解：(1)四边形 EBGD 是菱形理由： EG 垂直平分 BD， EB ED， GB GD， EBD EDB， EBD DBC， EDF GBF，在 EFD 和 GFB 中， EDF GBF，DF BF， EFD GFB， ) EFD GFB， ED BG， BE ED DG GB，四边形 EBGD 是菱形(2)作 EM BC 于 M， DN BC 于 N，连结 EC 交 BD 于点 H，此时 HG HC 最小，在 Rt EBM 中， EMB90， EBM30，EB ED2 ，10 EM BE .12 10 DE BC， EM BC， DN BC， EM DN， EM DN ， MN DE2 ，10 10在 Rt DNC 中， DNC90， DCN45， NDC NCD45， DN NC ， MC3 .在 Rt EMC 中， EMC90， EM ， MC3 ，10 10 10 10 EC 10.EM2 MC2 （ 10） 2 （ 3 10） 2 HG HC EH HC EC， HG HC 的最小值为 10.
