（全国版）2019版高考物理一轮复习 第5章 天体运动（课件+学案+练习）（打包12套）.zip

能力训练 • 紧跟高考第 19课时 万有引力定律及其应用119 万有引力定律及其应用1．(2018·重庆永川中学月考)(多选)下列说法正确的是( )A．关于公式 ＝ k 中的常量 k，它是一个与中心天体有关的常量r3T2B．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案 AC解析 公式 ＝ k 中的 k 是一个与中心天体有关的常量，A 正确；开普勒定律不仅适用r3T2于太阳系，对其他恒星系也适用，B 错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由 ＝ k 可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C 正确；发现万有引力定r3T2律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D 错误。2．(2017·西安模拟)(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能 1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用 m 表示它的质量， h 表示它近月点的高度， ω 表示它在近月点的角速度， a 表示它在近月点的加速度， R 表示月球的半径， g 表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能 1 号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )A． ma B． mR2g R＋ h 2C． m(R＋ h)ω 2 D． mR2ω 2R＋ h答案 AB解析 “智能 1 号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得 F＝ ma，A 正确；由万有引力定律得 F＝ G ，又月球表面上， G ＝ mg，解Mm R＋ h 2 MmR2得 F＝ m ，B 正确；由于“智能 1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R2g R＋ h 2R＋ h，C、D 错误。3．(2017·南通质检)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 h 的圆形轨道上运行，运行周期为 T。已知引力常量为 G，月球的半径为 R。利用以上数据估算月球质量的表达式为( )A. B.4π 2R3GT2 4π 2 R＋ hGT22C. D.4π 2 R＋ h 2GT2 4π 2 R＋ h 3GT2答案 D解析 “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 G ＝ mMm R＋ h 2，解得月球的质量为 M＝ ，D 正确。4π 2 R＋ hT2 4π 2 R＋ h 3GT24.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径 r 与周期 T 的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为 G)( )A. B. C. D.4π 2aGb 4π 2bGa Ga4π 2b Gb4π 2a答案 A解析 由 ＝ m ·r 可得 ＝ ，结合题图图线可得， ＝ ，故GMmr2 4π 2T2 r3T2 GM4π 2 ab GM4π 2M＝ ，A 正确。4π 2aGb5．(2017·湖北黄冈中学模考)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星开始时不自转，若该星球某时刻开始自转，角速度为 ω 时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的 。已知引力常量为 G，则该星球密度 ρ 为( )23A. B. C. D.9ω 28π G 3ω 22π G 9ω 24π G ω 23π G答案 C解析 星球不自转时万有引力等于重力，即 G ＝ mg；自转角速度为 ω 时 F 向MmR2＝ G － mg＝ mω 2R，星球的密度 ρ ＝ ＝ ，联立解得 ρ ＝ ，C 正确。MmR2 23 MV M43π R3 9ω 24π G6．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )3A. B. C. D.mv2GN mv4GN Nv2Gm Nv4Gm答案 B解析 设行星的质量为 M、半径为 R，行星表面的重力加速度为 g，卫星的质量为 m′，由万有引力提供向心力，得 G ＝Mm′R2m′ ；v2R在行星表面万有引力等于重力，即 G ＝ m′ g；Mm′R2由已知条件 N＝ mg 得 g＝ ；Nm联立以上三式可得 R＝ ， M＝ ，故 B 正确。mv2N mv4GN7．(2017·文登模拟)如图所示， “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 θ 弧度。已知万有引力常量为 G，则月球的质量是( )A. B. C. D.l2Gθ 3t θ 3Gl2t l3Gθ t2 t2Gθ l3答案 C解析 因为每经过时间 t 通过的弧长为 l，故“嫦娥三号”的线速度为 v＝ ，角速度为ltω ＝ ， “嫦娥三号”的运行半径为 R＝ ＝ ，则根据万有引力提供向心力得：θ t vω lθ＝ ，则月球的质量 M＝ ＝ ，C 正确。GMmR2 mv2R Rv2G l3Gθ t28．(2017·商丘模拟)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面 P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为 ρ ，天然气的密度远小于 ρ ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k1)。已知引力常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是( )4A. B.kgdGρ kgd2GρC. D. 1－ k gdGρ  1－ k gd2Gρ答案 D解析 分析可得如果将该球形空腔填满密度为 ρ 的岩石，则地面质量为 m 的物体的重力为 mg，没有填满时重力是 kmg，故空腔填满后增加的引力为(1－ k)mg；由万有引力定律，有：(1－ k)mg＝ G ，解得： V＝ ，D 正确。ρ Vmd2  1－ k gd2Gρ9．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星与太阳的质量120比约为( )A. B．1 C．5 D．10110答案 B解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有 G ＝ m r 可得Mmr2 4π 2T2M＝ ，则 ＝ 3× 2＝ 3× 2≈1，B 正确。4π 2r3GT2 M1M2 (r1r2) (T2T1) (120) (3654)10．(2017·安徽安庆统测)“嫦娥四号”探测器由轨道器、返回器和着陆器等多个部分组成。探测器预计在 2018 年发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品。某同学从网上得到地球和月球的半径之比为 4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比为 6∶1，则可判断地球和月球的密度之比为( )A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1答案 B解析 在地球表面，重力等于万有引力，故 mg＝ G ，解得 M＝ ，故密度 ρ ＝ ＝MmR2 gR2G MV5＝ ，同理，月球的密度 ρ 0＝ ，故地球和月球的密度之比gR2G43π R3 3g4π GR 3g04π GR0＝ ＝6× ＝ ，B 正确。ρρ 0 gR0g0R 14 3211．(2017·河南商丘二模)(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是 G1；在南极附近测得该物体的重力为 G2。已知地球自转的周期为 T，引力常量为 G，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( )A．地球的密度为3π G1GT2 G2－ G1B．地球的密度为3π G2GT2 G2－ G1C．当地球的自转周期为 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2－ G1G2D．当地球的自转周期为 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2－ G1G1答案 BC解析 在两极物体受到的重力等于地球对其的引力，故有 G ＝ G2①，在赤道引力与支MmR2持力的合力提供向心力，故有 G － G1＝ m R②，地球的密度 ρ ＝ ＝ ③，联立以上MmR2 4π 2T2 MV M43π R3三式解得 ρ ＝ ，故 A 错误、B 正确；在赤道上万有引力完全充当向心力时，3π G2GT2 G2－ G1放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力，即 G ＝ m R，联立①、②式解得 T1＝MmR2 4π 2T21T，故 C 正确，D 错误。G2－ G1G212．(2017·贵州遵义中学模拟)(多选)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L。已知月球半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是( )A．月球表面的重力加速度 g 月 ＝2hv20L2B．月球的平均密度 ρ ＝3hv202π GL2RC．月球的第一宇宙速度 v＝v0L 2hD．月球的质量 M 月 ＝hR2v20GL2答案 AB解析 平抛运动的时间 t＝ ，再根据 h＝ g 月 t2，得 g 月 ＝ ＝ ，故 A 正确；在Lv0 12 2ht2 2hv20L26月球表面 G ＝ mg 月 ，得 M 月 ＝ ＝ ，月球的体积 V 月 ＝ ，月球的平均密度M月 mR2 g月 R2G 2hR2v20GL2 4π R33ρ ＝ ＝ ，故 B 正确、D 错误；月球的第一宇宙速度 v1＝ ＝ M月V月 3hv202π GL2R g月 R＝ ，故 C 错误。2hv20RL2 v0L 2hR13．(2017·宁夏银川一中模拟)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为 M、自转周期为 T，引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是 F0。①若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧测力计读数为 F1，求比值 的表达式，并就F1F0h＝1.0% R 的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为 F2，求比值 的表达式。F2F0(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r、太阳半径为 RS和地球的半径 R 三者均减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的 1 年为标准，则“设想地球”的 1 年将变为多长？答案 (1)① ＝ 0.98 ② ＝1－F1F0 R2 R＋ h 2 F2F0 4π 2R3GMT2(2)“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同解析 (1)设物体的质量为 m，①在北极地面 F0＝ ，在北极上空高出地面 h 处 F1＝ ，所以GMmR2 GMm R＋ h 2＝ ，当 h＝1.0% R 时， ＝ ≈0.98。F1F0 R2 R＋ h 2 F1F0 1 1＋ 0.01 2②在赤道表面，物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的拉力，则有 G － F2＝ m R，联立 F0＝ 可得 ＝1－ 。MmR2 4π 2T2 GMmR2 F2F0 4π 2R3GMT2(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳的质量为 MS，太阳的半径为 RS，太阳的密度为 ρ ，地球质量为 M，地球公转周期为 TE，则G ＝ M r， MS＝ ρ · π R ，联立解得 TE＝ ＝ ，其中， ρ 为太阳的密MSMr2 4π 2T2E 43 3S 4π 2r3GMS 3πGρ (rRS)3度。由上式可知，地球公转周期 TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径和太阳半径之比有关，分析可得， “设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同。 第 19课时 万有引力定律及其应用考 点能力训练 • 紧跟高考第 5章 天体运动第 20课时 天体运动与人造卫星120 天体运动与人造卫星1．(2017·南平质检)某星球直径为 d，宇航员在该星球表面以初速度 v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为 h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )A. B．2 v0v02 dhC. D. v02 hd v02 dh答案 D解析 物体做竖直上抛运动，根据公式 v ＝2 gh 知星球表面的重力加速度为： g＝ 。20v202h根据万有引力提供向心力可得： G ＝ m ，解得 v＝ ；又 G ＝ mg，解得： v＝ Mm(d2)2v2d2 2GMdMm(d2)2 v02，故选 D。dh2．(2017·山东实验中学一诊)地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a1，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为 r，向心加速度为 a2。已知引力常量为 G，地球半径为 R。下列说法正确的是( )A．地球质量 M＝ B．地球质量 M＝a1R2G a2r2GC． a1、 a2的关系是 a1a2 D．加速度之比 ＝a1a2 r2R2答案 B解析 根据 G ＝ ma2得，地球的质量 M＝ ，在赤道上有 G ＝ mg＋ ma1，故 A 错误，Mmr2 a2r2G MmR2B 正确；地球赤道上的物体与同步卫星的角速度相等，根据 a＝ ω 2r 知， ＝ ， a1a1a3 B． a3a2a1C． a3a1a2 D． a1a2a3答案 D解析 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有 G＝ m1a1，即 a1＝ ，对于东方红二号，有 G ＝ m2a2，即 a2＝Mm1 R＋ h1 2 GM R＋ h1 2 Mm2 R＋ h2 2，由于 h2h1，故 a1a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红GM R＋ h2 2二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据 a＝ ω 2r，故a2a3，所以 a1a2a3，D 正确，A、B、C 错误。12．(2017·湖北七市州一模)(多选)“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球6软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。 “玉兔号”在地球表面的重力为 G1，在月球表面的重力为 G2；地球与月球均为球体，其半径分别为 R1、 R2；地球表面重力加速度为 g1，则( )A．月球表面的重力加速度为G1g1G2B．月球与地球的质量之比为G2R2G1R21C．月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率之比为 G1R1G2R2D． “嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为 2π G1R2G2g1答案 BD解析 “玉兔号”的质量 m＝ ，月球表面的重力加速度 g2＝ ＝ ，故 A 错误；根G1g1 G2m G2g1G1据 mg＝ G ，得 M＝ ，故 ＝ ＝ ，故 B 正确；根据 v＝ ＝ ，得 ＝ MmR2 gR2G M月M地 g2R2g1R21 G2R2G1R21 GMR gR v月v地＝ ，故 C 错误；根据周期公式 T＝ 和 GM＝ gR2，所以“嫦娥三号”绕月g2R2g1R1 G2R2G1R1 4π 2R3GM球表面做匀速圆周运动的周期 T＝ ＝2π ，故 D 正确。4π 2R32g2R2 G1R2G2g113．(2017·重庆一中摸底)(多选)宇宙飞船以周期 T 绕地球做匀速圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历类似“日全食”的过程，如图所示。已知地球的半径为 R，地球质量为M，引力常量为 G，地球自转周期为 T0，太阳光可看成平行光，宇航员在 A 点测出的张角为α ，则( )7A．飞船绕地球运动的线速度为2π RTsinα 2B．一天内飞船经历“日全食”的次数为TT0C．飞船每次在“日全食”过程所需的时间为α T2πD．飞船的周期为 T＝ 2π Rsinα 2RGMsinα 2答案 ACD解析 飞船绕地球做匀速圆周运动，由于线速度为 v＝ ，又由几何关系知2π rTsin ＝ ，得 r＝ ，故 v＝ ，故 A 正确；地球自转一圈时间为 T0，飞船绕地球α 2 Rr Rsinα 2 2π RTsinα 2一圈时间为 T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间 T 就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为 n＝ ，故 B 错误；由几何关系知每次在“日全食”过程的时间T0T内飞船转过 α 角，所需的时间为 t＝ ，故 C 正确；万有引力提供向心力，则 ＝ mα T2π GMmr22r，得 T＝ 2π r ＝ ，故 D 正确。(2πT) rGM 2π Rsinα 2 RGMsinα 2 第 5章 天体运动第 20课时 天体运动与人造卫星考 点能力训练 • 紧跟高考第 5章 天体运动第 21课时 卫星的变轨与追及问题以及双星与多星问题121 卫星的变轨与追及问题以及双星与多星问题1．(2017·聊城模拟)(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 M，万有引力常量为 G，则( )A．甲星所受合外力为5GM24R2B．乙星所受合外力为GM2R2C．甲星和丙星的线速度相同D．甲星和丙星的角速度相同答案 AD解析 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力， F 甲＝ ＋ ＝ ，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星GM2R2 GM2 2R 2 5GM24R2所受合力为 0，B 错误；由于甲、丙位于同一直线上，甲、丙的角速度相同，由 v＝ ωR 可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故 C 错误、D 正确。2．(2017·枣庄模拟)(多选)我国将于 2020 年前发射月球登陆器。月球登陆器返回时，先由月球表面发射，后绕月球在近月圆轨道上飞行，经轨道调整后与在较高圆轨道上运行的轨道舱对接，对接完成后再经加速脱离月球飞回地球。下列关于此过程的描述，正确的是( )A．登陆器在近月圆轨道上运行的速度必须大于月球第一宇宙速度B．登陆器与轨道舱对接后的运行周期小于对接前登陆器的运行周期C．登陆器与轨道舱对接后必须加速到等于或大于月球第二宇宙速度才可以返回地球D．登陆器在近月圆轨道上飞行的速度大于轨道舱的运行速度答案 CD解析 登陆器在近月圆轨道上飞行的速度等于月球第一宇宙速度，A 项错误；由于登陆器运动的周期为 T＝2π ，对接后的轨道半径和月球质量未发生变化，故周期不变，Br3GM2项错误；登陆器与轨道舱对接后当速度达到或大于月球第二宇宙速度时才能摆脱月球的引力返回地球，C 项正确；由开普勒第二定律可知越靠近月球的轨道上登陆器的速度越大，轨道舱的运行轨道高度大于登陆器在近月圆轨道上的高度，D 项正确。3．(2017·河南洛阳一模)“神舟十一号”飞船经历多次变轨，到达与“天宫二号”相同的圆轨道，终于与“天宫二号”自动交会对接成功。已知“天宫二号”距离地面 393 公里。景海鹏、陈冬在太空飞行 33 天，创造了中国航天员太空驻留时间的新纪录。地球同步卫星即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星，卫星距离地球表面的高度约为 36000 km，运行周期与地球自转一周的时间相等，即 23 时 56 分 4 秒。探空火箭在 3000 km 高空仍发现有稀薄大气。由以上信息可知( )A． “神舟十一号”飞船变轨前发动机点火瞬间，飞船速度的变化量小于其所喷出气体速度的变化量B． “神舟十一号”飞船在点火后的变轨过程中机械能守恒C．仅由题中已知量可以求出“天宫二号”在对接轨道的运行周期D． “神舟十一号”飞船在返回地球的过程中速率逐渐减小答案 A解析 “神舟十一号”飞船变轨前发动机点火瞬闻，根据系统动量守恒，设飞船质量为M，喷出的气体质量为 m，则 MΔ v1＝ mΔ v2，因为 Mm，即 Δ v1ω 0，用 t 表示所需时间，则 ωt － ω 0t＝2π，所以 t＝ ＝ ，D 正2πω － ω 0 2πgR2r3－ ω 0确。8．(2018·江西南昌一中模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，下列说法中错误的是( )5A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a2C．四颗星表面的重力加速度均为GmR2D．四颗星的周期均为 2π a2a 4＋ 2 Gm答案 B解析 分析可得：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力的合力作用下(合力方向指向对角线的交点)，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 a，故 A 正确、B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 G ＝ m′ g，解22 mm′R2得 g＝ ，故 C 正确；由万有引力的合力提供向心力得 ＋ ＝ m · ，解GmR2 Gm2 2a 2 2Gm2a2 4π 2T2 2a2得 T＝2π a ，故 D 正确。2a 4＋ 2 Gm9．(2016·天津高考)我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，A 错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞6船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，D 错误。10．(2017·甘肃河西五市联考)(多选)2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分，搭载月球车和着陆器的“嫦娥三号”月球探测器从西昌卫星发射中心升空，飞行约 18 min 后， “嫦娥三号”进入如图所示的地月转移轨道 AB， A 为入口点， B 为出口点， “嫦娥三号”在 B 点经过近月制动，进入距离月面 h＝100 公里的环月圆轨道，其运行的周期为 T；然后择机在月球虹湾地区实行软着陆，展开月面巡视勘察。若以 R 表示月球半径，忽略月球自转及地球对它的影响。下列说法正确的是( )A． “嫦娥三号”在环绕地球近地圆轨道运行的速度为 7.9 km/sB． “嫦娥三号”在环绕地球近地圆轨道运行时，处于完全失重状态，故不受重力C．月球表面的重力加速度大小为4π 2 R＋ h 3T2R2D．月球的第一宇宙速度为2π R R＋ h 3T答案 AC解析 “嫦娥三号”在环绕地球近地圆轨道运行的速度为第一宇宙速度，即 7.9 km/s，故 A 正确；“嫦娥三号”在环绕地球近地圆轨道运行时，处于完全失重状态，但仍受重力，故 B 错误；“嫦娥三号”在 B 点经过近月制动，进入距离月面 h＝100 公里的环月圆轨道，根据万有引力提供向心力，有 ＝ ，忽略月球自转及地球对GMm R＋ h 2 m·4π 2 R＋ hT2它的影响，在月球表面重力等于万有引力，有 ＝ mg0，由以上两式可得月球表面的重力加GMmR2速度为 g0＝ ，故 C 正确；月球的第一宇宙速度就是近月卫星的运行速度，根4π 2 R＋ h 3R2T2据重力提供向心力有 mg0＝ ，解得 v＝ ，故 D 错误。mv2R 2πT  R＋ h 3R11．(2018·河南南阳一中月考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学中称为“行星冲日” ，假定有两个地外行星 A 和 B，地球公转周期 T0＝1 年，公转轨道半径为 r0， A 行星公转周期 TA＝2 年， B 行星公转轨道半径 rB＝4 r0，则下列说法错误的是( )A． A 星公转周期比 B 星公转周期小B． A 星公转线速度比 B 星公转线速度大7C．相邻两次 A 星冲日间隔比相邻两次 B 星冲日间隔时间长D．相邻两次 A、 B 两星同时冲日时间间隔为 2 年答案 D解析 根据开普勒第三定律，有 ＝ ，得 TB＝8 年，已知 TA＝2 年，所以 A 星公转周r30T20 r3BT2B期比 B 星公转周期小，故 A 正确；根据 T＝2π 可知， B 星周期大，则 B 星轨道半径大，r3GM由 v＝ 可知， B 星的线速度小，所以 A 星公转线速度比 B 星公转线速度大，故 B 正确；GMr如果相邻两次冲日时间间隔为 t，有 2π＝ t，则可知相邻两次冲日， A 星时间间(2πT0－ 2πT星 )隔为 2 年， B 星时间间隔为 年，相邻两次 A、 B 两星同时冲日时间间隔为 8 年，故 C 正确，87D 错误。12．(2014·全国卷Ⅰ)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日” 。据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列说法中正确的是( )地球 火星 木星 土星 天王星 海王星轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30A．各地外行星每年都会出现冲日现象B．在 2015 年内一定会出现木星冲日C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短答案 BD解析 设地球的运转周期为 T0、角速度为 ω 0、轨道半径为 r0，则其他行星的轨道半径为 r＝ kr0、角速度为 ω ，根据万有引力提供向心力得＝ mω r0GMmr20 20＝ m′ ω 2rGMm′r2联立解得 ω ＝ ω 01k3各行星要再次冲日需满足 ω 0t－ ωt ＝2π即 t＝ T0，其中 k＝1.5、5.2、9.5、19、30。kkkk－ 18根据上式结合 k 值并由数学知识可知行星冲日的时间间隔一定大于 1 年，并且 k 值越大时间间隔越短，所以 B、D 正确，A、C 错误。13．(2017·吉林长春调研)2016 年 2 月 12 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦 100 年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图” 。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由 a、 b 两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 a 星的周期为 T， a、 b 两颗星的距离为 l， a、 b 两颗星的轨道半径之差为 Δ r(a 星的轨道半径大于 b 星的轨道半径)，则( )A． b 星的周期为 Tl－ Δ rl＋ Δ rB． a 星的线速度大小为π  l＋ Δ rTC． a、 b 两颗星的半径之比为ll－ Δ rD． a、 b 两颗星的质量之比为l＋ Δ rl－ Δ r答案 B解析 a、 b 两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期 T 相同，A 错误；由ra－ rb＝Δ r， ra＋ rb＝ l，得 ra＝ ， rb＝ ，所以 ＝ ，C 错误； a 星的线l＋ Δ r2 l－ Δ r2 rarb l＋ Δ rl－ Δ r速度 v＝ ＝ ，B 正确；由 maω 2ra＝ mbω 2rb，得 ＝ ＝ ，D 错误。2π raT π  l＋ Δ rT mamb rbra l－ Δ rl＋ Δ r14．(2017·四川成都石室中学诊断)宇宙空间有一些星系与其他星体的距离非常遥远，可以忽略其他星系对它们的作用。如图所示，今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体 A、 B、 C 位于边长为 a 的正三角形的三个顶点上，以外接圆为轨道做匀速圆周运动，第四颗星体 D 位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为 m，引力常量为 G，则下列说法正确的是( )A．星体 A 运行的向心力为(3＋ )3Gm2a2B．星体 A 运行的向心力为(3＋2 )3Gm2a2C．星体 B 运行的周期为 2π a a 1＋ 33 Gm9D．星体 B 运行的周期为 2π a a 3＋ 3 Gm答案 A解析 每颗星做匀速圆周运动，靠另外三颗星的万有引力的合力提供向心力，故星体 A的向心力 Fn＝ FABcos30°＋ FAD＋ FACcos30°＝ × ＋ ＋ × ＝(3＋ ) ，Gm2a2 32 Gm2(23×32a)2 Gm2a2 32 3Gm2a2故 A 正确、B 错误；对星体 B，万有引力提供向心力，故 Fn＝ m ，联立解得4π 2T2(23×32a)T＝2π a ，故 C、D 错误。a3 1＋ 3 Gm 第 5章 天体运动第 21课时 卫星的变轨与追及问题以及双星与多星问题考 点1第 19课时 万有引力定律及其应用考点 1 开普勒行星运动定律开普勒行星运动三大定律[例 1] (2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析 本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 错误；由开普勒第三定律可知， ＝ ＝ k，得 ＝ ，C 正确；由于火星R3火T2火 R3木T2木 T2火T2木 R3火R3木2和木星在不同的轨道上，因此 D错误。答案 C在利用开普勒第三定律解题时，应注意 ＝ k中的 k是一个与行星质量无关的常量，a3T2但不是恒量。在不同的星系中， k值不相同， k值是由中心天体决定的。在以后的计算中，我们都把行星的轨道近似看成圆，把卫星的运行轨道也近似看成圆，这样表达式 ＝ k中R3T2的 R则是轨道圆的半径。1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A 错误、B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，C 错误；牛顿发现了万有引力定律，D 错误。2．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P为近日点， Q为远日点， M、 N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P经 M、 Q到 N的运动过程中( )A．从 P到 M所用的时间等于T04B．从 Q到 N阶段，机械能逐渐变大C．从 P到 Q阶段，速率逐渐变小D．从 M到 N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案 CD解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，3A错误；从 Q到 N阶段，机械能守恒，B 错误；从 P到 Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从 M到 N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确。3．(人教版必修 2 P36·T4改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转半径的 18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是 1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？答案 2062 年解析 将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期 T1＝1 年，半径为 r1；设哈雷彗星的周期为 T2，轨道半长轴为 a2，则根据开普勒第三定律 ＝ k，有： ＝ 。因为 a2＝18 r1，所以可知哈雷彗星的周期a3T2 r31T21 a32T2为 T2＝ · ≈76.4 年，则下次为 2062年。a32T1r31考点 2 万有引力定律的理解和应用1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与两物体的质量 m1和 m2的乘积成 正比，与它们之间距离 r的平方成 反比。(2)表达式： F＝ G ，其中 G为引力常量， G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2。 卡文迪m1m2r2许第一个通过实验精确测量出 G值。(3)适用条件：严格地说，公式只适用于 质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中 r是两球心间的距离。对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力， r为 球心到质点的距离。2．万有引力理论的主要成就：(1)发现未知天体，(2)计算天体质量。[例 2] 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O为球心，以 O为原点建立坐标轴 Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在 x轴上各位置受到的引力大小用 F表示，则 F随 x的变化关系图正确的是( )4解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心 x处时，受到地球的万有引力即为半径等于 x的球体对质点的万有引力，所以 F＝ G＝ G x。当质点在地球球面或球面以外，离球心 x处时，受到地球的万ρ ·4π x33 ·mx2 4π ρ m3有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力 F＝ G 。Mmx2当 xR时， F与 x成正比，当 x≥ R后， F与 x的平方成反比。所以 A正确。答案 A(1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。(2)在匀质球体内部距球心 r外，质点受到的万有引力就等于半径为 r的球体的引力。(3)万有引力定律的表达式 F＝ G 适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物m1m2r2体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。1．对于万有引力定律的数学表达式 F＝ G ，下列说法中正确的是( )m1m2r2A．牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量 G的大小B． r趋近于 0时，万有引力趋于无穷大C． m1、 m2受到的万有引力总是大小相等D． m1、 m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力答案 C解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量 G的5大小，A 错误；万有引力定律的表达式 F＝ G ，适用于两个质点之间的计算。当 r→0 时，m1m2r2两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B 错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C 正确、D 错误。2．(人教版必修 2 P41·T3 改编)两艘轮船，质量都是 1.0×104 t，相距 10 km它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？( g取值为 10 N/kg)答案 6.67×10 －5 N 6.67×10 －13解析 轮船之间的引力 F＝ G ＝6.67×10 －11m1m2r2× N＝6.67×10 －5 N1.0×107×1.0×10710×1032轮船重力 G＝ mg＝1.0×10 8 N引力与重力的比值 ＝6.67×10 －13 。FG3．如图所示，在半径为 R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为 R且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为 M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为 d、质量为 m的小球(可视为质点)间的万有引力。答案 GMm7d2－ 8dR＋ 2R28d2(d－ R2)2解析 可以用“补偿法”进行等效计算。设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体质量为 M′，与小球间的万有引力为 F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为 F，则有 F1＝ F＋ F2。设挖出空穴前铅球的体积为 V，挖出的球形实体体积为V′，则 M′＝ M＝ M＝ ，根据万有引力定律可得 F1＝ G ， F2＝ ＝ GV′V43π (R2)343π R3 M8 Mmd2 GM′ m(d－ R2)2，故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力 F＝ F1－ F2＝ G － G ＝Mm8(d－ R2)2 Mmd2Mm8(d－ R2)26。GMm7d2－ 8dR＋ 2R28d2(d－ R2)2考点 3 计算天体质量与密度1．万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。运用万有引力定律不仅可以计算太阳和地球的质量，还可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。2．根据质量与密度的关系 M＝ ρ · π R3可知，在已知天体半径 R和天体质量 M的条43件下，可以计算天体的密度。3．下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法7[例 3] (2013·大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km的圆形轨道上运行，运行周期为 127 min。已知引力常量 G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )A．8.1×10 10 kg B．7.4×10 13 kgC．5.4×10 19 kg D．7.4×10 22 kg解析 由 G ＝ m· ·r得 M＝ ，又 r＝ R 月 ＋ h，代入数据得月球质量Mmr2 4π 2T2 4π 2r3GT2M≈7.4×10 22 kg，D 正确。答案 D1．天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。2．自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。(人教版必修 2 P43·T3改编)经测定月地距离为 3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为 2.36×106 s，试计算地球质量。( G＝6.67×10 －11 N·m2/kg2)答案 6.01×10 24 kg解析 月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力8F＝ G ， F＝ m 2rM地 mr2 (2πT)G ＝ m 2r， M 地 ＝ ≈6.01×10 24 kg。M地 mr2 (2πT) 4π 2r3GT2考点 4 天体表面的重力加速度问题1．物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力在地球表面上的物体所受的万有引力 F可以分解成物体所受的重力 G和随地球自转而做圆周运动的向心力 F′，如图所示。其中 F＝ G ，而 F′＝ mω 2r。除赤道和两极点外，MmR2重力与万有引力的大小、方向皆不同。(1)物体在赤道上时， F、 G、 F′三力同向，此时 F′达最大值，重力达最小值，则：Gmin＝ F－ F′＝ G － mω 2R。MmR2(2)物体在两极的极点时， F′＝0， F＝ G，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为 Gmax＝ G 。MmR22．不考虑地球自转时，重力等于万有引力(1)设在地球表面附近的重力加速度为 g，则mg＝ G ，得 g＝ 。MmR2 GMR2(2)设在地球上空距离地面高度为 h处的重力加速度为 g′，则mg′＝ ，得 g′＝GMmR＋ h2 GMR＋ h2所以 ＝ 。gg′ R＋ h2R29[例 4] 设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布均匀的球体，半径为 R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为 F1＝ F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2＝ 。假设第三次在F02赤道平面内深度为 的隧道底部，示数为 F3；第四次在距行星表面高度为 R处绕行星做匀R2速圆周运动的人造卫星中，示数为 F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )A． F3＝ 、 F4＝ B． F3＝ 、 F4＝0F04 F04 F04C． F3＝ 、 F4＝0 D． F3＝4 F0、 F4＝15F04 F04解析 设该行星的质量为 M，则质量为 m的物体在极点处受到的万有引力：F1＝ ＝ F0。GMmR2在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2＝ ，则：F02Fn2＝ F1－ F2＝ F0＝ mω 2·R。12由于球体的体积公式为： V＝4π r33所以半径 以内的部分的质量为：R2M′＝ ·M＝ M(R2)3R3 18物体在 处受到的万有引力：R2F3′＝ ＝ F1＝ F0GM′ m(R2)2 12 12物体需要的向心力： Fn3＝ mω 2· ＝ mω 2R＝ F0，R2 12 14所以在赤道平面内深度为 的隧道底部，示数为：R2F3＝ F3′－ Fn3＝ F0－ F0＝ F0。12 14 14第四次在距行星表面高度为 R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为 0，故 B正确。答案 B(1)F1和 F2不同时需考虑行星的自转， F＝ mg， m不变， g不同。10(2)F2， F3不同是因 R不同， g不同。(3)F4和 F1、 F2、 F3不同是其物体所受万有引力全部提供向心力。1．(多选)假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( )A．放在赤道地面上物体的万有引力不变B．放在两极地面上的物体的重力不变C．放在赤道地面上物体的重力减小D．放在两极地面上物体的重力增加答案 ABC解析 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B 正确、D 错误；而对于放在赤道地面上的物体，F 万 ＝ G 重 ＋ mω 2R，由于 ω 增大，则 G 重 减小，C 正确。2．(2015·重庆高考)宇航员王亚平在“天宫 1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A．0 B. C. D.GMR＋ h2 GMmR＋ h2 GMh2答案 B解析 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即 GMmR＋ h2＝ mg，得 g＝ ，B 正确。GMR＋ h23．(2015·海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2∶ 。已知该行星质量约7为地球的 7倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为( )A. R B. R C．2 R D. R12 72 72答案 C解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 x＝ v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h＝ gt2，所以 x＝ v0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以 ＝12 2hg g行g地＝ ，根据公式 G ＝ mg可得 g＝ ，故 ＝ ＝ ，解得 R 行 ＝2 R，故 C正确。x2地x2行 74 MmR2 GMR2 g行g地M行R2行M地R2地 74111．(2018·重庆永川中学月考)(多选)下列说法正确的是( )A．关于公式 ＝ k中的常量 k，它是一个与中心天体有关的常量r3T2B．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案 AC解析 公式 ＝ k中的 k是一个与中心天体有关的常量，A 正确；开普勒定律不仅适用r3T2于太阳系，对其他恒星系也适用，B 错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由 ＝ k可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C 正确；发现万有引力r3T2定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D 错误。2．(2017·西安模拟)(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能 1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用 m表示它的质量， h表示它近月点的高度， ω 表示它在近月点的角速度， a表示它在近月点的加速度， R表示月球的半径， g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能 1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )A． ma B． mR2gR＋ h2C． m(R＋ h)ω 2 D． mR2ω 2R＋ h答案 AB解析 “智能 1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得 F＝ ma，A 正确；由万有引力定律得 F＝ G ，又月球表面上， G ＝ mg，解MmR＋ h2 MmR2得 F＝ m ，B 正确；由于“智能 1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R2gR＋ h2R＋ h，C、D 错误。3．(2017·南通质检)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 h的圆形轨道上运行，运行周期为 T。已知引力常量为 G，月球的半径为 R。利用以上数据估算月球质量的表达式为( )A. B.4π 2R3GT2 4π 2R＋ hGT2C. D.4π 2R＋ h2GT2 4π 2R＋ h3GT2答案 D12解析 “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 G ＝ mMmR＋ h2，解得月球的质量为 M＝ ，D 正确。4π 2R＋ hT2 4π 2R＋ h3GT24.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径 r与周期 T的关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为 G)( )A. B. C. D.4π 2aGb 4π 2bGa Ga4π 2b Gb4π 2a答案 A解析 由 ＝ m ·r可得 ＝ ，结合题图图线可得， ＝ ，故GMmr2 4π 2T2 r3T2 GM4π 2 ab GM4π 2M＝ ，A 正确。4π 2aGb5．(2017·湖北黄冈中学模考)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星开始时不自转，若该星球某时刻开始自转，角速度为 ω 时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的 。已知引力常量为 G，则该星球密度 ρ 为( )23A. B. C. D.9ω 28π G 3ω 22π G 9ω 24π G ω 23π G答案 C解析 星球不自转时万有引力等于重力，即 G ＝ mg；自转角速度为 ω 时 F 向 ＝ G －MmR2 MmR2mg＝ mω 2R，星球的密度 ρ ＝ ＝ ，联立解得 ρ ＝ ，C 正确。23 MV M43π R3 9ω 24π G6．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )A. B. C. D.mv2GN mv4GN Nv2Gm Nv4Gm答案 B13解析 设行星的质量为 M、半径为 R，行星表面的重力加速度为 g，卫星的质量为m′，由万有引力提供向心力，得 G ＝Mm′R2m′ ；v2R在行星表面万有引力等于重力，即 G ＝ m′ g；Mm′R2由已知条件 N＝ mg得 g＝ ；Nm联立以上三式可得 R＝ ， M＝ ，故 B正确。mv2N mv4GN7．(2017·文登模拟)如图所示， “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 θ 弧度。已知万有引力常量为 G，则月球的质量是( )A. B. C. D.l2Gθ 3t θ 3Gl2t l3Gθ t2 t2Gθ l3答案 C解析 因为每经过时间 t通过的弧长为 l，故“嫦娥三号”的线速度为 v＝ ，角速度lt为 ω ＝ ， “嫦娥三号”的运行半径为 R＝ ＝ ，则根据万有引力提供向心力得： ＝θt vω lθ GMmR2，则月球的质量 M＝ ＝ ，C 正确。mv2R Rv2G l3Gθ t28．(2017·商丘模拟)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面 P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为 ρ ，天然气的密度远小于 ρ ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P点处的重力加速度大小为 kg(k1)。已知引力常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是( )14A. B.kgdGρ kgd2GρC. D.1－ kgdGρ 1－ kgd2Gρ答案 D解析 分析可得如果将该球形空腔填满密度为 ρ 的岩石，则地面质量为 m的物体的重力为 mg，没有填满时重力是 kmg，故空腔填满后增加的引力为(1－ k)mg；由万有引力定律，有：(1－ k)mg＝ G ，解得： V＝ ，D 正确。ρ Vmd2 1－ kgd2Gρ9．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星与太阳的质120量比约为( )A. B．1 C．5 D．10110答案 B解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有 G ＝ m r可Mmr2 4π 2T2得 M＝ ，则 ＝ 3× 2＝ 3× 2≈1，B 正确。4π 2r3GT2 M1M2 (r1r2) (T2T1) (120) (3654)10．(2017·安徽安庆统测)“嫦娥四号”探测器由轨道器、返回器和着陆器等多个部分组成。探测器预计在 2018年发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg月球样品。某同学从网上得到地球和月球的半径之比为 4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比为 6∶1，则可判断地球和月球的密度之比为( )A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1答案 B解析 在地球表面，重力等于万有引力，故 mg＝ G ，解得 M＝ ，故密度 ρ ＝ ＝MmR2 gR2G MV15＝ ，同理，月球的密度 ρ 0＝ ，故地球和月球的密度之比 ＝ ＝6×gR2G43π R3 3g4π GR 3g04π GR0 ρρ 0 gR0g0R＝ ，B 正确。14 3211．(2017·河南商丘二模)(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是 G1；在南极附近测得该物体的重力为 G2。已知地球自转的周期为 T，引力常量为 G，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( )A．地球的密度为3π G1GT2G2－ G1B．地球的密度为3π G2GT2G2－ G1C．当地球的自转周期为 T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2－ G1G2D．当地球的自转周期为 T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2－ G1G1答案 BC解析 在两极物体受到的重力等于地球对其的引力，故有 G ＝ G2①，在赤道引力与MmR2支持力的合力提供向心力，故有 G － G1＝ m R②，地球的密度 ρ ＝ ＝ ③，联立MmR2 4π 2T2 MV M43π R3以上三式解得 ρ ＝ ，故 A错误、B 正确；在赤道上万有引力完全充当向心力时，3π G2GT2G2－ G1放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力，即 G ＝ m R，联立①、②式解得 T1＝MmR2 4π 2T21T，故 C正确，D 错误。G2－ G1G212．(2017·贵州遵义中学模拟)(多选)若宇航员在月球表面附近自高 h处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L。已知月球半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是( )A．月球表面的重力加速度 g 月 ＝2hv20L2B．月球的平均密度 ρ ＝3hv202π GL2RC．月球的第一宇宙速度 v＝v0L 2hD．月球的质量 M 月 ＝hR2v20GL2答案 AB16解析 平抛运动的时间 t＝ ，再根据 h＝ g 月 t2，得 g 月 ＝ ＝ ，故 A正确；在Lv0 12 2ht2 2hv20L2月球表面 G ＝ mg 月 ，得 M 月 ＝ ＝ ，月球的体积 V 月 ＝ ，月球的平均密M月 mR2 g月 R2G 2hR2v20GL2 4π R33度 ρ ＝ ＝ ，故 B正确、D 错误；月球的第一宇宙速度 v1＝ ＝ ＝M月V月 3hv202π GL2R g月 R 2hv20RL2 v0L，故 C错误。2hR13．(2017·宁夏银川一中模拟)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为 M、自转周期为 T，引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。①若在北极上空高出地面 h处称量，弹簧测力计读数为 F1，求比值 的表达式，并就F1F0h＝1.0% R的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为 F2，求比值 的表达式。F2F0(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r、太阳半径为 RS和地球的半径 R三者均减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的 1年为标准，则“设想地球”的 1年将变为多长？答案 (1)① ＝ 0.98 ② ＝1－F1F0 R2R＋ h2 F2F0 4π 2R3GMT2(2)“设想地球”的 1年与现实地球的 1年时间相同解析 (1)设物体的质量为 m，①在北极地面 F0＝ ，在北极上空高出地面 h处 F1＝ ，所以 ＝ ，当GMmR2 GMmR＋ h2 F1F0 R2R＋ h2h＝1.0% R时， ＝ ≈0.98。F1F0 11＋ 0.012②在赤道表面，物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的拉力，则有 G － F2＝ m R，联立 F0＝ 可得 ＝1－ 。MmR2 4π 2T2 GMmR2 F2F0 4π 2R3GMT2(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳的质量为 MS，太阳的半径为 RS，太阳的密度为 ρ ，地球质量为 M，地球公转周期为 TE，则G ＝ M r， MS＝ ρ · π R ，联立解得 TE＝ ＝ ，其中， ρ 为太阳的密MSMr2 4π 2T2E 43 3S 4π 2r3GMS 3πGρ (rRS)3度。由上式可知，地球公转周期 TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径和太阳半径之比有关，分析可得， “设想地球”的 1年与现实地球的 1年时间相同。