（全国版）2019版高考数学一轮复习 第6章 不等式（课件+学案+练习）（打包16套）.zip

板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 1讲 不等关系与不等式板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1．[2018·金版创新]设 c0，则下列各式成立的是( )A． c2c B． c c(12)C．2 c c(12) (12)答案 D解析 c0时，2 c1， c c.(12) (12)2．[2018·宁波模拟]若 a B. 1a1b 1a－ b1aC．| a||b| D． a2b2答案 B解析 ∵ a ，故 A对．∵ a ，故 B1a1b 1a 1a－ b错．∵ a－ b0，即|－ a||－ b|，∴| a||b|，故 C对．∵ a－ b0，∴(－ a)2(－ b)2，即 a2b2，故 D对．故选 B.3．若 x， y满足－ b0，下列各数小于 1的是( )A．2 a－ b B.(ab) C. a－ b D. a－ b(ab) (ba)答案 D解析 解法一：(特殊值法)取 a＝2， b＝1，代入验证．解法二： y＝ ax(a0且 a≠1)．当 a1， x0时， y1；当 00时，0b0，∴ a－ b0， 1,00 D． ab答案 A解析 由 ab⇒ 0，即 a， b同号时，若 ab，则 b，则 .1a1b6．设 0log a，B 不对；1212ab0⇒a2ab，D 不对．故选 C.7．若 a＝2 0.6， b＝log π 3， c＝log 2sin ，则( )2π5A． abc B． bacC． cab D． bca答案 A解析 因为 a＝2 0.620＝1，又 logπ 1bc.故选 A.2π58．已知有三个条件：① ac2bc2；② ；③ a2b2，其中能成为 ab的充分条件的是acbc________．答案 ①解析 由 ac2bc2，可知 c20，即 ab，故“ ac2bc2”是“ ab”的充分条件；②当 cb的充分条件．9．已知 a， b， c∈R，有以下命题：3①若 b，则 a·2cb·2c.1a1b cacb ac2bc2其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．答案 ②③解析 ①若 c≤0，则命题不成立．②由 0知命题正确．10．[2018·临沂模拟]若 xy， ab，则在① a－ xb－ y，② a＋ xb＋ y，③ axby，④ x－ by－ a，⑤ 这五个式子中，恒成立的所有aybx不等式的序号是________．答案 ②④解析 令 x＝－2， y＝－3， a＝3， b＝2，符合题设条件 xy， ab，∵ a－ x＝3－(－2)＝5， b－ y＝2－(－3)＝5，∴ a－ x＝ b－ y，因此①不成立．又∵ ax＝－6， by＝－6，∴ ax＝ by，因此③也不正确．又∵ ＝ ＝－1， ＝ ＝－1，ay 3－ 3 bx 2－ 2∴ ＝ ，因此⑤不正确．ay bx由不等式的性质可推出②④成立．[B级 知能提升]1．已知 a1， a2∈(0,1)，记 M＝ a1a2， N＝ a1＋ a2－1，则 M与 N的大小关系是( )A． MN C． M＝ N D．不确定答案 B解析 M－ N＝ a1a2－( a1＋ a2－1)＝ a1a2－ a1－ a2＋1＝( a1－1)( a2－1)，又∵ a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴ a1－10，即 M－ N0，∴ MN.2．已知 a， b∈R，下列四个条件中，使 1成立的必要不充分条件是( )abA． ab－1 B． ab＋1C．| a||b| D．ln aln b答案 C解析 由 1⇔ －10⇔ 0⇔(a－ b)b0⇔ab0或 a|b|，但由| a||b|ab ab a－ bb不能得到 ab0或 a1，故| a||b|是使 1成立的必要不充分条件．ab ab3．[2018·金版创新]设 α ∈ ， T1＝cos(1＋ α )， T2＝cos(1－ α )，则 T1与 T2的(0，12)大小关系为________．4答案 T1b0， c .e a－ c 2 e b－ d 2证明 ∵ c－ d0.又∵ ab0，∴ a－ cb－ d0，∴( a－ c)2(b－ d)20，∴0 .e a－ c 2 e b－ d 25．[2018·昆明模拟]设 f(x)＝ ax2＋ bx，若 1≤ f(－1)≤2，2≤ f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．解 解法一：设 f(－2)＝ mf(－1)＋ nf(1)(m， n为待定系数)，则 4a－2 b＝ m(a－ b)＋ n(a＋ b)，即 4a－2 b＝( m＋ n)a＋( n－ m)b.于是得Error! 解得Error!∴ f(－2)＝3 f(－1)＋ f(1)．又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，故 5≤ f(－2)≤10.解法二：由Error!得Error!∴ f(－2)＝4 a－2 b＝3 f(－1)＋ f(1)．又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，故 5≤ f(－2)≤10.1第 1 讲 不等关系与不等式板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－ b0⇔ab； a－ b＝0⇔ a＝ b； a－ b0，则有 ab1⇔ab； ＝1⇔ a＝ b； b⇔bb， bc⇒ac；3．可加性： ab⇔a＋ cb＋ c； ab， cd⇒a＋ cb＋ d；4．可乘性： ab， c0⇒acbc； ab， cb0， cd0⇒acbd；5．可乘方性： ab0⇒anbn(n∈N， n≥2)；6．可开方性： ab0⇒ (n∈N， n≥2)．nanb[必会结论]1． ab， ab0⇒ b0,0 .acbd4．0b0， m0，则 (b－ m0)； ； 0)．bab＋ ma＋ m bab－ ma－ m aba＋ mb＋ m aba－ mb－ m[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)两个实数 a， b 之间，有且只有 ab， a＝ b， a1，则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )2(5)ab0， cd0⇒ .( )adbc(6)若 ab0，则 ab⇔ N B． M＝ N C． M0，所以 MN.(x＋12) 343．[课本改编]若 ab0， c B. D. － 0，又 ab0，故由不等式性质，得－ － 0，所以 b，则下列不等式一定成立的是( )A． a＋ cb－ c B．( a－ b)c20C． a3b3 D． a2b2答案 C解析 对于 A，由于不知道 c 的正负，故无法判断 a＋ c 与 b－ c 的大小关系，所以错误；对于 B，当 c＝0 时，( a－ b)c20 不成立，所以错误；对于 D，需要保证 ab0，才能得到 a2b2，所以错误．故选 C.5．[2018·浙江模拟]设 a， b 是实数，则“ a＋ b0”是“ ab0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D解析 若 a＋ b0，取 a＝3， b＝－2，则 ab0 不成立；反之，若 a＝－2， b＝－3，则a＋ b0 也不成立，因此“ a＋ b0”是“ ab0”的既不充分也不必要条件．选 D.6．已知－1b， c≠0，则 acbcB．若 ab，则 ac2bc2C．若 ac2bc2，则 abD．若 ab，则 bc2，∴ c≠0，∴ c20，∴一定有 ab.故选项 C 正确；对于选项 D，当 a0， b0a；②0 ab；③ a0b；④ ab0，能推出 b， ab0⇒ ac B． c(b－ a)0答案 A解析 由 c0.由 bc 得 abac 一定成立．(2)若 |b|；③ a0，所以 a＋ bq D． p≥ q答案 B解析 (作差法) p－ q＝ ＋ － a－ bb2a a2b＝ ＋ ＝( b2－ a2)·b2－ a2a a2－ b2b (1a－ 1b)＝ ＝ ，b2－ a2b－ aab b－ a2b＋ aab因为 a0.若 a＝ b，则 p－ q＝0，故 p＝ q；若 a≠ b，则 p－ q0，∴ abab2.∵ a－ ab2＝ a(1－ b2)0， b0，且 a≠ b，试比较 aabb与( ab) 的大小． 解 ∵ a0， b0，∴ ＝ a b ＝ a b ＝ ， (ab) 若 ab0，则 1， a－ b0.ab由指数函数的性质 1；(ab) 若 ba0，则 01.(ab) ∴ 1，∴ aabb(ab) . 命题角度 3 放缩法例 4 (1)[2018·九江模拟]已知 a＝3 ， b＝log ， c＝log 2 ，则( ) 1312 13A． abc B． bcaC． cba D． bac6答案 A解析 ∵ a＝3 1,0bc.故选 A.13(2)设 x0， P＝2 x＋2 － x， Q＝(sin x＋cos x)2，则( )A． PQ B． P0，所以2x·2－ xP2；又(sin x＋cos x)2＝1＋sin2 x，而 sin2x≤1，所以 Q≤2.于是 PQ.故选 A.触类旁通比较大小的常用方法(1)作差法；(2)作商法；(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．考向 不等式性质的应用例 5 已知－10， y0，且x2y≤ ≤ ，16≤ ≤81，由性质 6，得 2≤ ≤27，故 的最大值是 27.18 1xy2 13 x4y2 x3y4 x3y4解法二：设 ＝ m(xy2)n，x3y4 (x2y)则 x3y－4 ＝ x2m＋ ny2n－ m，所以Error!即Error!又∵16 ≤ 2≤81， ≤( xy2)－1 ≤ ，(x2y) 18 13∴2≤ ≤27，故 的最大值为 27.x3y4 x3y4核心规律1.用同向不等式求差的范围．Error!⇒Error!⇒a－ db⇒acbc 或 ab⇒ ，当 ab≤0 时不成立．1a1b 1a1b3.ab⇒anbn对于正数 a， b 才成立．4. 1⇔ab，对于正数 a， b 才成立．ab5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如： ab， bc⇒ac，其中 ac 不能推出Error!板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 8——巧用特殊值判断不等式问题[2016·山东高考]已知实数 x， y 满足 axln ( y2＋1)B．sin xsinyC． x3y3D. 1x2＋ 1 1y2＋ 1解题视点 (1)采用边选边排除的思想；(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．解析 解法一：因为实数 x， y 满足 axy.对于 A，取 x＝1， y＝－3，不成立；对于 B，取 x＝π， y＝－π，不成立；对于 C，由于 f(x)＝ x3在 R 上单调递增，故 x3y3成立；对于 D，取 x＝2， y＝－1，不成立．故选 C.解法二：根据指数函数的性质得 xy，此时 x2， y2的大小不确定，故选项 A，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项 B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项 C 中的不等式成立．答案 C答题启示 1当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法 .2在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.跟踪训练[2018·烟台模拟]若 0；③ a－ b－ ；④ln a2ln b2中，正确的不等式是( )1a＋ b1ab 1a 1bA．①④ B．②③ C．①③ D．②④答案 C9解析 解法一：因为 b－ 成立，排除 A.选 C.1a 1b解法二：由 0，所以 0，1a＋ b 1ab故有 b－ ，故③正确，排除 A.选 C.1a 1b板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·金版创新]设 c0，则下列各式成立的是( )A． c2c B． c c(12)C．2 c c(12) (12)答案 D解析 c0 时，2 c1， c c.(12) (12)2．[2018·宁波模拟]若 a B. 1a1b 1a－ b1aC．| a||b| D． a2b2答案 B解析 ∵ a ，故 A 对．∵ a ，故 B1a1b 1a 1a－ b错．∵ a－ b0，即|－ a||－ b|，∴| a||b|，故 C对．∵ a－ b0，∴(－ a)2(－ b)2，即 a2b2，故 D 对．故选 B.3．若 x， y 满足－ b0，下列各数小于 1 的是( )A．2 a－ b B.(ab)12C. a－ b D. a－ b(ab) (ba)答案 D解析 解法一：(特殊值法)取 a＝2， b＝1，代入验证．解法二： y＝ ax(a0 且 a≠1)．当 a1， x0 时， y1；当 00 时，0b0，∴ a－ b0， 1,00 D． ab答案 A解析 由 ab⇒ 0，即 a， b 同号时，若 ab，则 b，则 .1a1b6．设 0log a，B 不对；1212ab0⇒a2ab，D 不对．故选 C.7．若 a＝2 0.6， b＝log π 3， c＝log 2sin ，则( )2π5A． abc B． bacC． cab D． bca答案 A解析 因为 a＝2 0.620＝1，又 logπ 1bc.故选 A.2π58．已知有三个条件：① ac2bc2；② ；③ a2b2，其中能成为 ab 的充分条件的是acbc________．答案 ①解析 由 ac2bc2，可知 c20，即 ab，故“ ac2bc2”是“ ab”的充分条件；②当cb 的充分条件．9．已知 a， b， c∈R，有以下命题：①若 b，则 a·2cb·2c.1a1b cacb ac2bc2其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．答案 ②③解析 ①若 c≤0，则命题不成立．②由 0 知命题正确．10．[2018·临沂模拟]若 xy， ab，则在① a－ xb－ y，② a＋ xb＋ y，③ axby，④ x－ by－ a，⑤ 这五个式子中，恒成立的所有aybx不等式的序号是________．答案 ②④解析 令 x＝－2， y＝－3， a＝3， b＝2，符合题设条件 xy， ab，∵ a－ x＝3－(－2)＝5， b－ y＝2－(－3)＝5，∴ a－ x＝ b－ y，因此①不成立．又∵ ax＝－6， by＝－6，∴ ax＝ by，因此③也不正确．又∵ ＝ ＝－1， ＝ ＝－1，ay 3－ 3 bx 2－ 2∴ ＝ ，因此⑤不正确．ay bx由不等式的性质可推出②④成立．[B 级 知能提升]121．已知 a1， a2∈(0,1)，记 M＝ a1a2， N＝ a1＋ a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )A． MN C． M＝ N D．不确定答案 B解析 M－ N＝ a1a2－( a1＋ a2－1)＝ a1a2－ a1－ a2＋1＝( a1－1)( a2－1)，又∵ a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴ a1－10，即 M－ N0，∴ MN.2．已知 a， b∈R，下列四个条件中，使 1 成立的必要不充分条件是( )abA． ab－1 B． ab＋1C．| a||b| D．ln aln b答案 C解析 由 1⇔ －10⇔ 0⇔(a－ b)b0⇔ab0 或 a|b|，但由| a||b|ab ab a－ bb不能得到 ab0 或 a1，故| a||b|是使 1 成立的必要不充分条件．ab ab3．[2018·金版创新]设 α ∈ ， T1＝cos(1＋ α )， T2＝cos(1－ α )，则 T1与 T2的(0，12)大小关系为________．答案 T1b0， c .ea－ c2 eb－ d2证明 ∵ c－ d0.又∵ ab0，∴ a－ cb－ d0，∴( a－ c)2(b－ d)20，∴0 .ea－ c2 eb－ d25．[2018·昆明模拟]设 f(x)＝ ax2＋ bx，若 1≤ f(－1)≤2，2≤ f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．解 解法一：设 f(－2)＝ mf(－1)＋ nf(1)(m， n 为待定系数)，则 4a－2 b＝ m(a－ b)＋ n(a＋ b)，即 4a－2 b＝( m＋ n)a＋( n－ m)b.于是得Error!解得Error!∴ f(－2)＝3 f(－1)＋ f(1)．又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，故 5≤ f(－2)≤10.解法二：由Error!得Error!∴ f(－2)＝4 a－2 b＝3 f(－1)＋ f(1)．13又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，故 5≤ f(－2)≤10. 第 6章 不等式第 1讲 不等关系与不等式板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 2 讲 一元二次不等式及其解法板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·潍坊模拟]函数 f(x)＝ 的定义域是( )1ln  － x2＋ 4x－ 3A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知Error!即Error!故函数 f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．关于 x 的不等式 x2＋ px－20 的解集是(－∞，－1)∪ ，ax－ 1x＋ 1 (12， ＋ ∞ )则 a 的值为( )A．－1 B. C．1 D．212答案 D解析 由题意可得 a≠0 且不等式等价于 a(x＋1)Error! x－Error!0，由解集的特点可得 a0 且 ＝ ，故 a＝2.故选 D.1a 124．[2018·福建模拟]若集合 A＝{ x|ax2－ ax＋12x＋ 1 2x＋ 1 1－ xx＋ 10，∴ x1.6．不等式(2 x－1)(1－| x|)1 或 x1 或－112 12答案 B解析 原不等式等价于Error!或Error!∴Error! 或Error!∴ x1 或－10)的解集为( x1， x2)，且x2－ x1＝15，则 a＝( )A. B. C. D.52 72 154 152答案 A解析 由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax－8 a2＝0 的两根，则 x1＋ x2＝2 a， x1x2＝－8 a2.故( x2－ x1)2＝( x1＋ x2)2－4 x1x2＝(2 a)2－4×(－8 a2)＝36 a2＝15 2，得 a＝ .故选 A.528．[2018·青岛模拟]不等式 2x2－3| x|－350 的解集为________．答案 { x|x5}解析 2 x2－3| x|－350⇔2| x|2－3| x|－350⇔(| x|－5)(2| x|＋7)0⇔| x|5 或|x|5 或 x0 的解集为 ，则不等式－ cx2＋2 x－ a0 的(－13， 12)解集为________．答案 (－2,3)解析 依题意知，Error!∴解得 a＝－12， c＝2，∴不等式－ cx2＋2 x－ a0，即为－2 x2＋2 x＋120，即x2－ x－60 且g(1)0，即Error!解得 x3.[B 级 知能提升]1．[2018·保定模拟]若不等式 x2＋ ax－20 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) [－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235]答案 A3解析 由 Δ ＝ a2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足 f(5)0，即 a－ .2352．[2018·辽宁模拟]若不等式 2kx2＋ kx－ 0，∴当 x＝－1 时， f(x)min＝ ，1－ a由题意，得 ＝ ，∴ a＝ .1－ a22 12∴ x2－ x－ 2－ 0.(1)求 f(x)在[0,1]内的值域；(2)若 ax2＋ bx＋ c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．解 (1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时， f(x)0，所以－3,2 是方程 ax2＋( b－8) x－ a－ ab＝0 的两根，可得Error!所以a＝－3， b＝5， f(x)＝－3 x2－3 x＋18＝－3 2＋18.75，(x＋12)函数图象关于 x＝－ 对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上 f(x)为减函数，所12以函数的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 化为－3 x2＋5 x＋ c≤0，因为二次函数y＝－3 x2＋5 x＋ c 的图象开口向下，要使－3 x2＋5 x＋ c≤0 的解集为 R，只需Error!即 25＋12 c≤0⇒ c≤－ ，所以实数 c 的取值范围为 .2512 (－ ∞ ， － 2512]1第 2 讲 一元二次不等式及其解法板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋ bx＋ c0(a0)或 ax2＋ bx＋ c0)．2．计算相应的判别式．3．当 Δ ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．考点 2 三个二次之间的关系判别式Δ ＝ b2－4 ac Δ 0 Δ ＝0 Δ 0)的图象一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0(a0)的根有两相异实根x1， x2(x10 {x|xx2或 {x|x≠ x1} R2(a0)的解集 x0)的解集 {x|x10(a≠0)恒成立的充要条件是： a0 且 b2－4 ac0.( )(2)若不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集是(－∞， x1)∪( x2，＋∞)，则方程 ax2＋ bx＋ c＝0的两个根是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a2}答案 A解析 因为( x－1)(2－ x)≥0，所以( x－2)( x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤ x≤2.故选 A.3．[2018·辽阳统考]不等式 ≤0 的解集是( )x－ 2x＋ 1A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]答案 D解析 ≤0⇔( x＋1)( x－2)≤0，且 x≠－1，即 x∈( －1,2]．故选 D.x－ 2x＋ 14．若不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为(－4,1)，则不等式 b(x2－1)＋ a(x＋3)＋ c0 的解集为( )A. B．(－∞，1)∪(－43， 1) (43， ＋ ∞ )C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析 由不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为(－4,1)，知 a0，3即 3x2＋ x－41；②当 01 时，其解为 0，其解为 x1.(x－1a) 1a综上所述 a＝0 时，不等式解集为{ x|x1}；01 时，不等式解集为Error!；a0.解 (1)将原不等式移项通分得 ≥0，3x－ 4x－ 5等价于Error!所以原不等式的解集为Error!.(2)原不等式化为( x－ a)(x－ a2)0，①当 a2－ a0，即 a1 或 aa2或 xa；③当 a2－ a＝0，即 a＝0 或 a＝1 时，原不等式的解为 x≠ a.综上①②③得 a1 或 aa2或 xa}；当 a＝0 或 a＝1 时，不等式解集为{ x|x≠ a}．考向 一元二次不等式恒成立问题例 2 [2018·正定模拟]已知函数 f(x)＝ mx2－ mx－1.(1)若对于 x∈R， f(x)0，∴ m0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)答案 A6解析 不等式 x2－4 x－2－ a0 在区间(1,4)内有解等价于 a0 时的情形．2． f(x)0 的解集即为函数 y＝ f(x)的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．满分策略1．对于不等式 ax2＋ bx＋ c0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的情形．2．当 Δ 0(a≠0)的解集为 R 还是∅由 a 确定，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 7板块三 启智培优·破译高考数学思想系列 7——转化与化归思想在不等式中的应用[2018·江苏模拟]已知函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b(a， b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式 f(x)0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．答案 a14解析 不等式可变形为 a ＝ x－ x，2x－ 14x (12) (14)令 x＝ t，则 t0.(12)∴ y＝ x－ x＝ t－ t2＝－ 2＋ ，因此当 t＝ 时， y 取最大值 ，故实数 a 的取(12) (14) (t－ 12) 14 12 14值范围是 a .14板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·潍坊模拟]函数 f(x)＝ 的定义域是 ( )1ln － x2＋ 4x－ 3A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)答案 D8解析 由题意知Error!即Error!故函数 f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．关于 x 的不等式 x2＋ px－20 的解集是(－∞，－1)ax－ 1x＋ 1∪ ，则 a 的值为( )(12， ＋ ∞ )A．－1 B. C．1 D．212答案 D解析 由题意可得 a≠0 且不等式等价于 a(x＋1)Error! x－Error! 0，由解集的特点可得a0 且 ＝ ，故 a＝2.故选 D.1a 124．[2018·福建模拟]若集合 A＝{ x|ax2－ ax＋12x＋ 1 2x＋ 1 1－ xx＋ 10，∴ x1.6．不等式(2 x－1)(1－| x|)1 或 x1 或－112 12答案 B解析 原不等式等价于Error!或Error!∴Error!或Error!∴ x1 或－10)的解集为( x1， x2)，且x2－ x1＝15，则 a＝( )A. B. C. D.52 72 154 152答案 A解析 由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax－8 a2＝0 的两根，则 x1＋ x2＝2 a， x1x2＝－8 a2.故( x2－ x1)2＝( x1＋ x2)2－4 x1x2＝(2 a)2－4×(－8 a2)＝36 a2＝15 2，得 a＝ .故选 A.528．[2018·青岛模拟]不等式 2x2－3| x|－350 的解集为________．答案 { x|x5}解析 2 x2－3| x|－350⇔2| x|2－3| x|－350⇔(| x|－5)(2| x|＋7)0⇔| x|5 或|x|5 或 x0 的解集为 ，则不等式－ cx2＋2 x－ a0 的(－13， 12)解集为________．答案 (－2,3)解析 依题意知，Error!∴解得 a＝－12， c＝2，∴不等式－ cx2＋2 x－ a0，即为－2 x2＋2 x＋120，即x2－ x－60 且g(1)0，即Error! 解得 x3.[B 级 知能提升]1．[2018·保定模拟]若不等式 x2＋ ax－20 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) [－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235]答案 A解析 由 Δ ＝ a2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足 f(5)0，即 a－ .2352．[2018·辽宁模拟]若不等式 2kx2＋ kx－ 0，∴当 x＝－1 时， f(x)min＝ ，1－ a由题意，得 ＝ ，∴ a＝ .1－ a22 12∴ x2－ x－ 2－ 0.(1)求 f(x)在[0,1]内的值域；(2)若 ax2＋ bx＋ c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．解 (1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时， f(x)0，所以－3,2 是方程 ax2＋( b－8) x－ a－ ab＝0 的两根，可得Error!所以 a＝－3， b＝5，f(x)＝－3 x2－3 x＋18＝－3 2＋18.75，(x＋12)11函数图象关于 x＝－ 对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上 f(x)为减函数，12所以函数的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 化为－3 x2＋5 x＋ c≤0，因为二次函数y＝－3 x2＋5 x＋ c 的图象开口向下，要使－3 x2＋5 x＋ c≤0 的解集为 R，只需Error!即 25＋12 c≤0⇒ c≤－ ，所以实数 c 的取值范围为 .2512 (－ ∞ ， － 2512] 第 6章 不等式第 2讲 一元二次不等式及其解法板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 3 讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·北京高考]若 x， y 满足Error!则 x＋2 y 的最大值为( )A．1 B．3 C．5 D．9答案 D解析 作出可行域如图阴影部分所示．设 z＝ x＋2 y，则 y＝－ x＋ z.12 12作出直线 l0： y＝－ x，并平移该直线，可知当直线 y＝－ x＋ z 过点 C 时， z 取得最12 12 12大值．由Error! 得Error!故 C(3,3)．∴ zmax＝3＋2×3＝9.故选 D.2．[2017·浙江高考]若 x， y 满足约束条件Error!则 z＝ x＋2 y 的取值范围是( )A．[0,6] B．[0,4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)答案 D2解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线 y＝－ x＋ 过点 A(2,1)时， z 取得最小值，即 zmin＝2＋2×1＝4.12 z2所以 z＝ x＋2 y 的取值范围是[4，＋∞)．故选 D.3．[2018·陕西黄陵中学模拟]已知变量 x， y 满足约束条件Error!目标函数 z＝ x＋2 y的最大值为 10，则实数 a 的值等于( )A．4 B. C．2 D．883答案 A解析 由不等式组可得可行域如图中阴影部分所示，当直线 z＝ x＋2 y 经过点A(a， a－1)时， z 取得最大值，由已知得 a＋2( a－1)＝10，解得 a＝4.故选 A.4.[2018·开封模拟]设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝ x2＋ y2的取值范围为( )A．[2,8] B．[4,13]C．[2,13] D.[52， 13]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得 zmin＝| OA|2＝ 2＝2， zmax＝| OB|2＝3 2＋2 2＝13.故 z 的取值范围(|0＋ 0－ 2|12＋ 12)为[2,13]．35．[2015·陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A．12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元答案 D解析 设该企业每天生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利 z 元．则由题意知Error!利润函数 z＝3 x＋4 y.画出可行域如图所示，当直线 3x＋4 y－ z＝0 过点 B 时，目标函数取得最大值．由Error!解得Error!故利润函数的最大值为 z＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选 D.6．某校今年计划招聘女教师 a 名，男教师 b 名，若 a， b 满足不等式组Error!设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x＝( )A．10 B．12 C．13 D．16答案 C解析 画出约束条件所表示的区域，即可行域，如图阴影部分所示，作直线4l： b＋ a＝0，平移直线 l，再由 a， b∈N，可知当 a＝6， b＝7 时， x＝ a＋ b＝13.故选 C.7．[2017·全国卷Ⅰ]设 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x－2 y 的最小值为________．答案 －5解析 作出可行域如图阴影部分所示．由 z＝3 x－2 y，得 y＝ x－ .32 z2作出直线 l0： y＝ x，并平移 l0，知当直线 y＝ x－ 过点 A 时， z 取得最小值．32 32 z2由Error! 得 A(－1,1)，∴ zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.8．[2018·辽宁模拟]设变量 x， y 满足Error!则 2x＋3 y 的最大值为________．答案 55解析 不等式组表示的区域如图所示，令 z＝2 x＋3 y，目标函数变为 y＝－ x＋ ，因此23 z3截距越大， z 的取值越大，故当直线 z＝2 x＋3 y 经过点 A 时， z 最大，由于Error!⇒Error!故点 A 的坐标为(5,15)，代入 z＝2 x＋3 y，得到 zmax＝55，即 2x＋3 y 的最大值为 55.9．已知变量 x， y 满足约束条件Error!且有无穷多个点( x， y)使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值，求 m 的值．5解 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若 m＝0，则 z＝ x，目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若 m≠0，则目标函数 z＝ x＋ my 可看作斜率为－ 的动直线 y＝－ x＋ ，1m 1m zm若 m0，数形结合知使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值的最优解不可能有无穷1m多个；若 m0，则－ 0，数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时，有无穷多个点( x， y)，1m在线段 AB 上，使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值，即－ ＝－1，则 m＝1.1m综上可知， m＝1.10．变量 x， y 满足Error!(1)设 z＝ ，求 z 的最小值；yx(2)设 z＝ x2＋ y2，求 z 的取值范围；(3)设 z＝ x2＋ y2＋6 x－4 y＋13，求 z 的取值范围．解 由约束条件Error!作出( x， y)的可行域如图所示．由Error!解得 A .(1，225)6由Error!解得 C(1,1)．由Error! 解得 B(5,2)．(1)因为 z＝ ＝ ，yx y－ 0x－ 0所以 z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．观察图形可知 zmin＝ kOB＝ .25(2)z＝ x2＋ y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， dmin＝| OC|＝ ， dmax＝| OB|＝ .所以 2≤ z≤29.2 29(3)z＝ x2＋ y2＋6 x－4 y＋13＝( x＋3) 2＋( y－2) 2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， dmin＝1－(－3)＝4， dmax＝ ＝8.所以 16≤ z≤64. － 3－ 5 2＋  2－ 2 2[B 级 知能提升]1．[2018·南昌调研]设变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝| x－3 y|的最大值为( )A．10 B．8 C．6 D．4答案 B解析 不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线 x－3 y＝0 过点 A 时， m＝ x－3 y 取最大值；当平移直线 x－3 y＝0 过点 C 时， m＝ x－3 y 取最小值．由题意可得 A(－2，－2)， C(－2,2)，所以 mmax＝－2－3×(－2)＝4， mmin＝－2－3×2＝－8，所以－8≤ m≤4，所以| m|≤8，即 zmax＝8.2．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为( )43A．－3 B．1 C. D．343答案 B7解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求 A， B， C， D 的坐标分别为 A(2,0)，B(1－ m,1＋ m)，C ，(2－ 4m3 ， 2＋ 2m3 )D(－2 m,0)． S△ ABC＝ S△ ADB－ S△ ADC＝ |AD|·|yB－ yC|＝ (2＋2 m)12 12＝(1＋ m)· ＝ ，解得 m＝1 或 m＝－3(舍去)．(1＋ m－2＋ 2m3 ) (1＋ m－ 23 ) 433．实数 x， y 满足不等式组Error!则 z＝| x＋2 y－4|的最大值为________．答案 21解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． z＝| x＋2 y－4|＝· ，即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x＋2 y－4＝0 的距离的 倍．|x＋ 2y－ 4|5 5 5由Error! 得 B 点坐标为(7,9)，显然点 B 到直线 x＋2 y－4＝0 的距离最大，此时 zmax＝21.4．[2018·德州检测]若 x， y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z＝ x－ y＋ 的最值；12 12(2)若目标函数 z＝ ax＋2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围．8解 (1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)， B(0,1)， C(1,0)．平移初始直线 x－ y＋ ＝0，可知 z＝ x－ y＋ 过 A(3,4)时取最小值－2，过 C(1,0)时12 12 12 12取最大值 1.所以 z 的最大值为 1，最小值为－2.(2)直线 ax＋2 y＝ z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1－ 2，解得－4 a2.a2故所求 a 的取值范围为(－4,2)．5．[2017·天津高考]电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x， y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用 x， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知， x， y 满足的数学关系式为Error!即 Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分中的整数点．9图 1图 2(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z＝60 x＋25 y.考虑 z＝60 x＋25 y，将它变形为 y＝－ x＋ ，这是斜率为－ ，随 z 变化的一族平行125 z25 125直线. 为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时， z 的值最大．z25 z25又因为 x， y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z＝60 x＋25 y 经过可行域上的点M 时，截距 最大，即 z 最大．z25解方程组Error!得Error! 则点 M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时，才能使总收视人次最多．