1、10.1 椭圆及其性质高考文数 ( 课标专用 )1.(2018课标全国 ,4,5分 )已知椭圆 C: + =1的一个焦点为 (2,0),则 C的离心率为 ( )A. B. C. D. A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质 .由题意可知 c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,则 a=2 , e= = = ,故选 C.方法总结 求椭圆离心率的常用方法 :(1)求得 a,c的值 ,直接代入 e= 求解 .(2)列出关于 a,b,c的齐次方程 ,结合 b2=a2-c2消去 b,从而转化为关于 e的方程求解 .2.(2018课标全国 ,11,5分
2、)已知 F1,F2是椭圆 C的两个焦点 ,P是 C上的一点 .若 PF1 PF2,且 PF2F1=60,则 C的离心率为 ( )A.1- B.2- C. D. -1答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质 .不妨设椭圆方程为 + =1(ab0).在 Rt F1PF2中 ,因为 PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以 |PF2|=c,|PF1|= c.由椭圆的定义得 |PF1|+|PF2|=2a,即 c+c=2a,所以椭圆的离心率 e= = = -1.故选 D.疑难突破 利用椭圆的定义 |PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到 a与 c的等量关系是求解的关键 ,也是难点的突破口 .3.(
3、2017课标全国 ,12,5分 )设 A,B是椭圆 C: + =1长轴的两个端点 .若 C上存在点 M满足 AMB=120,则 m的取值范围是 ( )A.(0,1 9,+ ) B.(0, 9,+ )C.(0,1 4,+ ) D.(0, 4,+ )答案 A 本题考查圆锥曲线的几何性质 .当 03时 ,椭圆 C的焦点在 y轴上 ,如图 (2),A(0, ),B(0,- ).图 (2)当点 M运动到短轴的端点时 , AMB取最大值 ,此时 AMB 120,则 |OA| 3,即 3,即 m 9.综上 ,m (0,1 9,+ ),故选 A.4.(2017课标全国 ,11,5分 )已知椭圆 C: + =1
4、(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切 ,则 C的离心率为 ( )A. B. C. D. 答案 A 由题意可得 a= ,故 a2=3b2,又 b2=a2-c2,所以 a2=3(a2-c2),所以 = ,所以 e= = .方法总结 求离心率问题的实质就是找出 a、 b、 c之间的关系 ,再利用 a2=b2+c2(椭圆 )或 c2=a2+b2(双曲线 ),转化为 a、 c间的关系 .5.(2016课标全国 ,5,5分 )直线 l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 ,若椭圆中心到 l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( )A. B.
5、 C. D. 答案 B 如图 ,|OB|为椭圆中心到 l的距离 ,则 |OA|OF|=|AF|OB|,即 bc=a ,所以 e= = .故选 B.一题多解 设椭圆的方程为 + =1(ab0),由题意可取直线 l的方程为 y= x+b,椭圆中心到 l的距离为 ,由题意知 = 2b,即 = ,故离心率 e= .易错警示 椭圆中心到直线 l的距离为 2b= ,容易将短轴长误认为 b.6.(2016课标全国 ,12,5分 )已知 O为坐标原点 ,F是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点 ,A,B分别为 C的左 ,右顶点 .P为 C上一点 ,且 PF x轴 .过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,
6、与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点 ,则 C的离心率为 ( )A. B. C. D. 答案 A 解法一 :设点 M(-c,y0),OE的中点为 N,则直线 AM的斜率 k= ,从而直线 AM的方程为 y= (x+a),令 x=0,得点 E的纵坐标 yE= .同理 ,OE的中点 N的纵坐标 yN= .因为 2yN=yE,所以 = ,即 2a-2c=a+c,所以 e= = .故选 A.解法二 :如图 ,设 OE的中点为 N,由题意知 |AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PF y轴 , = = ,= = ,又 = ,即 = , a=3c,故 e=
7、 = .思路分析 解法一 :设出点 M的坐标及 OE的中点为 N,写出 AM的方程 ,然后求出 yE与 yN,利用 2yN=yE求出 .解法二 :由 PF y轴得对应线段成比例 ,结合 |OE|=2|ON|可求出 .7.(2015课标 ,5,5分 ,0.693)已知椭圆 E的中心在坐标原点 ,离心率为 ,E的右焦点与抛物线 C:y2=8x的焦点重合 ,A,B是 C的准线与 E的两个交点 ,则 |AB|= ( )A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 抛物线 C:y2=8x的焦点坐标为 (2,0),准线方程为 x=-2.从而椭圆 E的半焦距 c=2.可设椭圆 E的方程为 + =1(ab0),因
8、为离心率 e= = ,所以 a=4,所以 b2=a2-c2=12.由题意知 |AB|= =2 =6.故选 B.8.(2014课标 ,20,12分 ,0.083)设 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左 ,右焦点 ,M是 C上一点且 MF2与 x轴垂直 .直线 MF1与 C的另一个交点为 N.(1)若直线 MN的斜率为 ,求 C的离心率 ;(2)若直线 MN在 y轴上的截距为 2,且 |MN|=5|F1N|,求 a,b.解析 (1)根据 c= 及题设知 M ,2b2=3ac.将 b2=a2-c2代入 2b2=3ac,解得 = 或 =-2(舍去 ).故 C的离心率为 .(2)由题意
9、,得原点 O为 F1F2的中点 ,MF2 y轴 ,所以直线 MF1与 y轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点 ,故 =4,即 b2=4a. 由 |MN|=5|F1N|得 |DF1|=2|F1N|.代入 C的方程 ,得 + =1. 将 及 c= 代入 得 + =1.解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 .设 N(x1,y1),由题意知 y10)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ( )A.2 B.3 C.4 D.9答案 B 依题意有 25-m2=16, m0, m=3.选 B.2.(2014辽宁 ,15,5分 )已知椭圆 C: + =1,点 M与 C的焦点不重合 .若 M
10、关于 C的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN的中点在 C上 ,则 |AN|+|BN|= .答案 12解析 根据已知条件画出图形 ,如图 .设 MN的中点为 P,F1、 F2为椭圆 C的焦点 ,连接 PF1、 PF2.显然 PF1是 MAN的中位线 ,PF2是 MBN的中位线 , |AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=26=12.评析 本题考查了椭圆的定义和方程 ,考查了数形结合的思想 .连接 PF1、 PF2利用椭圆的定义是求解的关键 .3.(2018天津 ,19,14分 )设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,
11、|AB|= .(1)求椭圆的方程 ;(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q的坐标为 (-x1,-y1).由 BPM的面积是 BPQ面积的 2倍 ,可得 |PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x2= .由方程组 消去 y,可得 x1= .由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方 ,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=- 或 k=- .当 k=- 时 ,x2=-9 )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 + = ,其中 O为原点 ,e为椭圆的离心率 .(1)求椭圆的方程
12、;(2)设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上 ),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点 H.若BF HF,且 MOA= MAO,求直线 l的斜率 .解析 (1)设 F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得 a2-c2=3c2,又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4.所以 ,椭圆的方程为 + =1.(2)设直线 l的斜率为 k(k 0),则直线 l的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组 消去 y,整理得 (4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2,或 x= ,由题意得 xB= ,从而 yB= .由 (1
13、)知 ,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), = .由 BF HF,得 =0,所以 + =0,解得 yH= .因此直线 MH的方程为 y=- x+ .设 M(xM,yM),由方程组 消去 y,解得 xM= .在 MAO中 , MOA= MAO |MA|=|MO|,即 (xM-2)2+ = + ,化简得 xM=1,即 =1,解得 k=- ,或 k= .所以 ,直线 l的斜率为 - 或 .考点二 椭圆的性质1.(2017浙江 ,2,5分 )椭圆 + =1的离心率是 ( )A. B. C. D. 答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质 .由题意得 ,a=3,c= , 离心率
14、e= = .故选 B.易错警示 1.把椭圆和双曲线中的 a,b,c之间的关系式记混 ,而错选 A.2.把离心率记成 e= 或 e= ,而错选 C或 D.2.(2015福建 ,11,5分 )已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0交椭圆 E于 A,B两点 .若 |AF|+|BF|=4,点 M到直线 l的距离不小于 ,则椭圆 E的离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D. 答案 A 直线 l:3x-4y=0过原点 ,从而 A,B两点关于原点对称 ,于是 |AF|+|BF|=2a=4,所以 a=2.不妨令 M(0,b),则由点 M(0,b
15、)到直线 l的距离不小于 ,得 ,即 b 1.所以 e2= = = ,又 0b0).由题意得 解得 c= .所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C的方程为 +y2=1.(2)设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m 2,且 n 0.直线 AM的斜率 kAM= ,故直线 DE的斜率 kDE=- .所以直线 DE的方程为 y=- (x-m).直线 BN的方程为 y= (x-2).联立 解得点 E的纵坐标 yE=- .由点 M在椭圆 C上 ,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.又 S BDE= |BD|yE|= |BD|n|,S BDN= |BD|n|,所以 BDE与
16、 BDN的面积之比为 45.4.(2017天津 ,20,14分 )已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E的坐标为(0,c), EFA的面积为 .(1)求椭圆的离心率 ;(2)设点 Q在线段 AE上 ,|FQ|= c,延长线段 FQ与椭圆交于点 P,点 M,N在 x轴上 ,PM QN,且直线PM与直线 QN间的距离为 c,四边形 PQNM的面积为 3c.(i)求直线 FP的斜率 ;(ii)求椭圆的方程 .解析 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知 ,可得 (c+a)c= .又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0.又因为 0
17、0),则直线 FP的斜率为 .由 (1)知 a=2c,可得直线 AE的方程为 + =1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP的方程联立 ,可解得 x=,y= ,即点 Q的坐标为 .由已知 |FQ|= c,有 + = ,整理得 3m2-4m=0,所以 m= ,即直线 FP的斜率为 .(ii)由 a=2c,可得 b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1.由 (i)得直线 FP的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去 y,整理得 7x2+6cx-13c2=0,解得 x=- (舍去 ),或 x=c.因此可得点 P ,进而可得 |FP|= = ,所以 |PQ|=|FP|-|FQ|= - =
18、c.由已知 ,线段 PQ的长即为 PM与 QN这两条平行直线间的距离 ,故直线 PM和 QN都垂直于直线FP.因为 QN FP,所以 |QN|=|FQ|tan QFN= = ,所以 FQN的面积为 |FQ|QN|= ,同理 FPM的面积等于 ,由四边形 PQNM的面积为 3c,得 - =3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得c=2.所以 ,椭圆的方程为 + =1.方法点拨 1.求离心率常用的方法 :(1)直接求 a,c,利用定义求解 ;(2)构造 a,c的齐次式 ,利用方程思想求出离心率 e的值 .2.求直线斜率的常用方法 :(1)公式法 :k= (x1 x2),其中两点坐标分别为 (x1,
19、y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解 ;(3)直线的方向向量 a=(m,n),则 k= (m 0);(4)点差法 .3.解决四边形或三角形的面积问题时 ,注意弦长公式与整体代换思想的应用 .C组 教师专用题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国 ,9,5分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、 F2,离心率为 ,过 F2的直线 l交 C于 A、 B两点 .若 AF1B的周长为 4 ,则 C的方程为 ( )A. + =1 B. +y2=1C. + =1 D. + =1答案 A 由椭圆的定义可知 AF1B的周长为 4a,所以 4a=4 ,故 a=
20、 ,又由 e= = 得 c=1,所以 b2=a2-c2=2,则 C的方程为 + =1,故选 A.2.(2015浙江 ,15,4分 )椭圆 + =1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x的对称点 Q在椭圆上 ,则椭圆的离心率是 .答案 解析 令 Q的坐标为 (x0,y0),FQ的中点为 M ,由点 M在直线 y= x上得 bx0-cy0+bc=0 .又因为直线 FQ垂直于直线 y= x,所以 =- ,即 cx0+by0-c2=0 ,联立 得点 Q,把点 Q的坐标代入 + =1并化简得 a6=4c6+a4c2,两边同除以 a6得 4e6+e2-1=0,令t=e2,则 0b0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点 ,点 P 在椭圆 E上 .(1)求椭圆 E的方程 ;(2)设不过原点 O且斜率为 的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A,B,线段 AB的中点为 M,直线 OM与椭圆 E交于 C,D,证明 :|MA|MB|=|MC|MD|.
