1、4.3 三角函数的图象和性质高考文数 ( 课标专用 )考点一 三角函数的图象及其变换1.(2016课标全国 ,6,5分 )将函数 y=2sin 的图象向右平移 个周期后 ,所得图象对应的函数为 ( )A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 D 函数 y=2sin 的周期为 ,将其图象向右平移 个单位后 ,得到的图象对应的函数为 y=2sin =2sin ,故选 D.易错警示 在三角函数图象的平移变换中 ,“左加右减 ”是对 x而言的 ,将 x变为 x- ,而不是将2x变为 2x- .2.(2016课标全国 ,14,5分 )
2、函数 y=sin x- cos x的图象可由函数 y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到 .答案 解析 函数 y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数 y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到 .考点二 三角函数的性质及其应用1.(2018课标全国 ,8,5分 )已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( )A. f(x)的最小正周期为 ,最大值为 3B. f(x)的最小正周期为 ,最大值为 4C. f(x)的最小正周期为 2,最大值为 3D. f(x)的最小正周期为 2,最大值为 4答案 B 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质 .f(x)
3、=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3 = + , f(x)的最小正周期 T=,当 cos 2x=1时 ,f(x)取最大值 ,为 4.故选 B.解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式 .2.(2018课标全国 ,10,5分 )若 f(x)=cos x-sin x在 0,a是减函数 ,则 a的最大值是 ( )A. B. C. D.答案 C 本题主要考查三角函数的图象及性质 .f(x)=cos x-sin x= cos .因为 f(x)在 0,a上是减函数 ,所以 解得 00,在函数 y=2sin x与 y=2cos x的图象的交
4、点中 ,距离最短的两个交点的距离为 2 ,则 = .答案 解析 由 消去 y,得 sin x-cos x=0,即 sin =0,解得 x= + ,k Z.取 k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 , ,又两交点的距离为 2 ,所以 +( + )2=(2 )2,解得 = .7.(2016山东 ,17,12分 )设 f(x)=2 sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间 ;(2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 ),再把得到的图象向左平移 个单位 ,得到函数 y=g(x)的图象 ,求 g 的值 .解析 (1
5、)f(x)=2 sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2=2 sin2x-(1-2sin xcos x)= (1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x- cos 2x+ -1=2sin + -1.由 2k- 2x- 2k+ (k Z),得 k- x k+ (k Z).所以 f(x)的单调递增区间是 (k Z).(2)由 (1)知 f(x)=2sin + -1.把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 ),得到 y=2sin + -1的图象 ,再把得到的图象向左平移 个单位 ,得到 y=2sin x+ -1的图象 ,即 g(x)=2sin x
6、+ -1.所以 g =2sin + -1= .方法总结 研究三角函数的单调性 ,首先将函数化为 y=Asin(x+)+h(或 y=Acos(x+)+h)的形式 ,要视 “x+”为一个整体 ,另外注意 A的正负 .8.(2015湖北 ,18,12分 )某同学用 “五点法 ”画函数 f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内的图象时 ,列表并填入了部分数据 ,如下表 :(1)请将上表数据补充完整 ,并直接写出函数 f(x)的解析式 ;(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 个单位长度 ,得到 y=g(x)图象 ,求 y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心 .x+ 0 2x Asin(x+
7、) 0 5 -5 0解析 (1)根据表中已知数据 ,解得 A=5,=2,=- .数据补全如下表 :且函数表达式为 f(x)=5sin .(2)由 (1)知 f(x)=5sin ,因此 ,g(x)=5sin =5sin .令 2x+ =k,k Z,解得 x= - ,k Z.即 y=g(x)图象的对称中心为 ,k Z,其中离原点 O最近的对称中心为 .x+ 0 2x Asin(x+) 0 5 0 -5 0考点二 三角函数的性质及其应用1.(2015四川 ,5,5分 )下列函数中 ,最小正周期为 的奇函数是 ( )A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x
8、+cos x答案 B y=cos =-sin 2x, y=cos 是最小正周期为 的奇函数 ,故选 B.2.(2017山东 ,7,5分 )函数 y= sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ( )A. B. C. D.2答案 C 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质 .y= sin 2x+cos 2x=2sin ,从而最小正周期 T= =.3.(2017天津 ,7,5分 )设函数 f(x)=2sin(x+),x R,其中 0,|2,可知 T= - = ,得 T=3.若不注意已知条件 ,则容易出现 T= ,得 T=,从而造成错误 .4.(2016天津 ,8,5分 )已知函数 f(x)=s
9、in2 + sin x- (0),x R.若 f(x)在区间 (,2)内没有零点 ,则 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 答案 D f(x)= + sin x- = (sin x-cos x)= sin , x (,2),0, x- , f(x)在区间 (,2)内没有零点 , 有以下两种情况 : (2k,2k+),k Z,则有 k Z,得 ,k Z,当 k=0时 , ; (2k+,2k+2),k Z,则有 k Z,得 ,k Z,当 k=-1时 , ,又 0, .综上 , ,故选 D.疑难突破 将函数化简为 f(x)= sin ,将 x- 看作一个整体 ,借助函数 y=sin x的图象得出 f(x)在 (,2)内没有零点时需满足的条件 ,建立不等式组求解 .
