1、6.3 等比数列高考文数 ( 课标专用 )1.(2015课标 ,9,5分 ,0.677)已知等比数列 an满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2= ( )A.2 B.1 C. D. A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 C 解法一 :设 an的公比为 q,则 an= .由 a3a5=4(a4-1)得 =4 ,即 (q3-8)2=0,解得 q3=8,q=2,因此 a2= .解法二 :设 an的公比为 q,由等比数列的性质可知 a3a5= , =4(a4-1),即 (a4-2)2=0,得 a4=2,则 q3= = =8,得 q=2,则 a2=a1q= 2= ,故选 C.2.(2015
2、课标 ,13,5分 ,0.646)在数列 an中 ,a1=2,an+1=2an,Sn为 an的前 n项和 .若 Sn=126,则 n= .答案 6解析 由已知得 an为等比数列 ,公比 q=2,由首项 a1=2,Sn=126得 =126,解得 2n+1=128, n=6.3.(2018课标全国 ,17,12分 )已知数列 an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn= .(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列 bn是否为等比数列 ,并说明理由 ;(3)求 an的通项公式 .解析 (1)由条件可得 an+1= an.将 n=1代入得 ,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4
3、.将 n=2代入得 ,a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2的等比数列 .由条件可得 = ,即 bn+1=2bn,又 b1=1,所以 bn是首项为 1,公比为 2的等比数列 .(3)由 (2)可得 =2n-1,所以 an=n2n-1.方法规律 等比数列的判定方法 :证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法 ,通项公式法及前 n项和公式法只用于选择题、填空题中的判定 .若证明某数列不是等比数列 ,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可 .4.(2018课标全国 ,17,12分 )等比数列 an中 ,a1=1,a5=4a3.(1)
4、求 an的通项公式 ;(2)记 Sn为 an的前 n项和 .若 Sm=63,求 m.解析 本题考查等比数列的通项公式、前 n项和公式 .(1)设 an的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去 )或 q=-2或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .由 Sm=63得 (-2)m=-188,此方程没有正整数解 .若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63得 2m=64,解得 m=6.综上 ,m=6.解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 :(1)求通项 .求出等比数列的两
5、个基本量 a1和 q后 ,通项便可求出 .(2)求特定项 .利用通项公式或者等比数列的性质求解 .(3)求公比 .利用等比数列的定义和性质建立方程 (组 )求解 .(4)求前 n项和 .直接将基本量代入等比数列的前 n项和公式求解或利用等比数列的性质求解 .思路分析 (1) 根据已知 ,建立含有 q的方程 求得 q并加以检验 代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前 n项和公式与已知建立等量关系即可求解 .易错警示 解方程时 ,注意对根的检验 .求解等比数列的公比时 ,要结合题意进行讨论、取值 ,避免错解 .5.(2017课标全国 ,17,12分 )已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,等
6、比数列 bn的前 n项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若 a3+b3=5,求 bn的通项公式 ;(2)若 T3=21,求 S3.解析 本题考查了等差、等比数列 .设 an的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由 a2+b2=2得 d+q=3.(1)由 a3+b3=5得 2d+q2=6.联立 和 解得 (舍去 ),或 因此 bn的通项公式为 bn=2n-1.(2)由 b1=1,T3=21得 q2+q-20=0.解得 q=-5或 q=4.当 q=-5时 ,由 得 d=8,则 S3=21.当 q=4时 ,由 得 d=-1,则 S3=-6
7、.6.(2016课标全国 ,17,12分 )已知 an是公差为 3的等差数列 ,数列 bn满足 b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求 an的通项公式 ;(2)求 bn的前 n项和 .解析 (1)由已知 ,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得 a1=2, (3分 )所以数列 an是首项为 2,公差为 3的等差数列 ,通项公式为 an=3n-1. (5分 )(2)由 (1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1= , (7分 )因此 bn是首项为 1,公比为 的等比数列 . (9分 )记 bn的前 n项和为 Sn,则 Sn= = - . (12分 )思路分析
8、 (1)令 n=1,可得 a1=2,结合 an是公差为 3的等差数列 ,可得 an的通项公式 ;(2)由 (1)可得数列 bn是等比数列 ,代入公式可求其前 n项和 .评析 本题主要考查了等差数列及等比数列的定义 ,能准确写出 an的表达式是关键 .B组 自主命题 省 (区、市 )卷题组考点一 等比数列及其性质1.(2018北京 ,5,5分 )“十二平均律 ”是通用的音律体系 ,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 ,为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 ,依次得到十三个单音 ,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单
9、音的频率为 f,则第八个单音的频率为 ( )A. f B. f C. f D. f答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式 ,数学的实际应用 .由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f,公比为 的等比数列 ,设此数列为 an,则 a8=f,即第八个单音的频率为 f,故选 D.易错警示 本题是以数学文化为背景的实际应用问题 ,忽略以下几点容易造成失分 : 读不懂题意 ,不能正确转化为数学问题 . 对要用到的公式记忆错误 . 在求解过程中计算错误 .2.(2015浙江 ,10,6分 )已知 an是等差数列 ,公差 d不为零 .若 a2,a3,a7成等比数列 ,且 2a1+a2=1,则 a1
10、=,d= .答案 ;-1解析 a2,a3,a7成等比数列 , =a2a7,即 (a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得 d=- a1 , 2a1+a2=1, 3a1+d=1 ,由 可得 a1= ,d=-1.3.(2015广东 ,13,5分 )若三个正数 a,b,c成等比数列 ,其中 a=5+2 ,c=5-2 ,则 b= .答案 1解析 a,b,c成等比数列 , b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1,又 b0, b=1.4.(2014广东 ,13,5分 )等比数列 an的各项均为正数 ,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
11、答案 5解析 由等比数列的性质知 a1a5=a2a4= =4 a3=2,所以 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2 =5log22=5.5.(2014北京 ,15,13分 )已知 an是等差数列 ,满足 a1=3,a4=12,数列 bn满足 b1=4,b4=20,且 bn-an为等比数列 .(1)求数列 an和 bn的通项公式 ;(2)求数列 bn的前 n项和 .解析 (1)设等差数列 an的公差为 d,由题意得d= = =3.所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2, ).设等比数列 bn-an的公比为 q,
12、由题意得q3= = =8,解得 q=2.所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而 bn=3n+2n-1(n=1,2, ).(2)由 (1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2, ).数列 3n的前 n项和为 n(n+1),数列 2n-1的前 n项和为 1 =2n-1.所以数列 bn的前 n项和为 n(n+1)+2n-1.考点二 等比数列的前 n项和1.(2017江苏 ,9,5分 )等比数列 an的各项均为实数 ,其前 n项和为 Sn.已知 S3= ,S6= ,则 a8= .答案 32解析 本题考查等比数列及等比数列的前 n项和 .设等比数列 an的公比为 q.当 q=1时 ,S
13、3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意 , q 1,由题设可得 解得 a8=a1q7= 27=32.2.(2016北京 ,15,13分 )已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求 an的通项公式 ;(2)设 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 .解析 (1)等比数列 bn的公比 q= = =3, (1分 )所以 b1= =1,b4=b3q=27. (3分 )设等差数列 an的公差为 d.因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2. (5分 )所以 an=2n-1(n=1,2,3, ).
14、(6分 )(2)由 (1)知 ,an=2n-1,bn=3n-1.因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. (8分 )从而数列 cn的前 n项和Sn=1+3+ +(2n-1)+1+3+ +3n-1= + =n2+ . (13分 )评析 本题考查了等差、等比数列的通项公式和前 n项和公式 ,属容易题 .3.(2015四川 ,16,12分 )设数列 an(n=1,2,3, )的前 n项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列 .(1)求数列 an的通项公式 ;(2)设数列 的前 n项和为 Tn,求 Tn.解析 (1)由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1
15、=2an-2an-1(n 2),即 an=2an-1(n 2).从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为 a1,a2+1,a3成等差数列 ,即 a1+a3=2(a2+1).所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2.所以 ,数列 an是首项为 2,公比为 2的等比数列 .故 an=2n.(2)由 (1)得 = .所以 Tn= + + + = =1- .评析 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n项和等基础知识 ,考查运算求解能力 .C组 教师专用题组1.(2013课标 ,6,5分 ,0.704)设首项为 1,公比为 的等比数列 an的前 n项和为 Sn,则
16、 ( )A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案 D 解法一 :因为 a1=1,公比 q= ,所以 an= ,Sn= =3 1- =3-2 =3-2an,故选 D.解法二 :采用特殊值法 .当 n=2时 ,S2=a1+a2= ,且 2a2-1 ,3a2-2 ,4-3a2 ,3-2a2= ,所以选 D.2.(2012课标全国 ,14,5分 )等比数列 an的前 n项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= .答案 -2解析 由 S3+3S2=0得 4a1+4a2+a3=0,有 4+4q+q2=0,解得 q=-2.3.(2011全国 ,17,
17、10分 )设等比数列 an的前 n项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an和 Sn.解析 设 an的公比为 q,由题设得解得 或 当 a1=3,q=2时 ,an=32n-1,Sn=3(2n-1);当 a1=2,q=3时 ,an=23n-1,Sn=3n-1.4.(2010全国 ,18,12分 )已知 an是各项均为正数的等比数列 ,且 a1+a2=2 ,a3+a4+a5=64.(1)求 an的通项公式 ;(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n项和 Tn.解析 (1)设公比为 q,则 an=a1qn-1,由已知有化简得 又 a10,故 q=2,a1=1,所以 an=2n-1.(
18、2)由 (1)知 bn= = + +2=4n-1+ +2.因此 Tn=(1+4+ +4n-1)+ +2n= + +2n= (4n-41-n)+2n+1.5.(2015重庆 ,16,13分 )已知等差数列 an满足 a3=2,前 3项和 S3= .(1)求 an的通项公式 ;(2)设等比数列 bn满足 b1=a1,b4=a15,求 bn的前 n项和 Tn.解析 (1)设 an的公差为 d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+ d= ,化简得 a1+2d=2,a1+d= ,解得 a1=1,d= ,故通项公式 an=1+ ,即 an= .(2)由 (1)得 b1=1,b4=a15= =8.设 bn
19、的公比为 q,则 q3= =8,从而 q=2,故 bn的前 n项和 Tn= = =2n-1.评析 本题考查等差、等比数列的基本量计算 ,考查运算求解能力 .6.(2014重庆 ,16,13分 )已知 an是首项为 1,公差为 2的等差数列 ,Sn表示 an的前 n项和 .(1)求 an及 Sn;(2)设 bn是首项为 2的等比数列 ,公比 q满足 q2-(a4+1)q+S4=0.求 bn的通项公式及其前 n项和 Tn.解析 (1)因为 an是首项 a1=1,公差 d=2的等差数列 ,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1.故 Sn=1+3+ +(2n-1)= = =n2.(2)由 (1)得
20、a4=7,S4=16.因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0,所以 (q-4)2=0,从而 q=4.又因为 b1=2,bn是公比 q=4的等比数列 ,所以 bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而 bn的前 n项和 Tn= = (4n-1).7.(2014福建 ,17,12分 )在等比数列 an中 ,a2=3,a5=81.(1)求 an;(2)设 bn=log3an,求数列 bn的前 n项和 Sn.解析 (1)设 an的公比为 q,依题意得 解得 因此 ,an=3n-1.(2)因为 bn=log3an=n-1,所以数列 bn的前 n项和 Sn= = .考点一 等
21、比数列及其性质1.(2018安徽马鞍山第二次教学质量监测 ,5)已知等比数列 an满足 a1=1,a3a5=4(a4-1),则 a7的值为 ( )A.2 B.4 C. D.6三年模拟A组 2016201 8年 高考模拟 基础题 组答案 B 根据等比数列的性质可得 a3a5= , =4(a4-1),即 (a4-2)2=0,解得 a4=2,又 a1=1,a1a7=4, a7=4,故选 B.2.(2018山东菏泽第一次模拟 ,6)等比数列 an中 ,a2,a16是方程 x2+6x+2=0的两个实数根 ,则 的值为 ( )A.2 B.- 或 C. D.- 答案 B a2,a16是方程 x2+6x+2=
22、0的根 , a2+a16=-6,a2a16=2, a20,q0, =a9= = .故选 B.3.(2017安徽淮北二模 ,3)5个数依次组成等比数列 ,且公比为 -2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为 ( )A.- B.-2 C.- D.- 答案 C 由题意可设这 5个数分别为 a,-2a,4a,-8a,16a,a 0,故奇数项和与偶数项和的比值为 =- ,故选 C.4.(2016福建厦门一中期中 ,4)已知数列 an为等比数列 ,且 a1a13+2 =4,则 tan(a2a12)的值为 ( )A. B.- C. D.- 答案 A 数列 an为等比数列 , a1a13= =a2a12.再由 a
23、1a13+2 =4,可得 a2a12= , tan(a2a12)=tan =tan = .5.(2018天津滨海新区七所重点学校联考 ,11)等比数列 an中 ,各项都是正数 ,且 a1, a3,2a2成等差数列 ,则 = .答案 -1解析 设 an的公比为 q.由题意得 a1+2a2=a3,则 a1(1+2q)=a1q2,q2-2q-1=0,所以 q= =1+ (舍负 ),则 = = -1.考点二 等比数列的前 n项和1.(2018安徽安庆二模 ,2)设等比数列 an的公比 q=3,前 n项和为 Sn,则 的值为 ( )A. B. C. D.9答案 A = = = ,所以选 A.2.(201
24、8山西太原模拟考试 (二 ),4)已知公比 q 1的等比数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,S3=3a3,则 S5= ( )A.1 B.5 C. D. 答案 D 由题意得 =3a1q2,解得 q=- 或 q=1(舍 ),所以 S5= = = ,选 D.3.(2017广东深圳一模 ,4)已知等比数列 an的前 n项和 Sn=a3n-1+b,则 = ( )A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 A 等比数列 an的前 n项和 Sn=a3n-1+b, a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a, 等比数列 an中 , =a1a3,
25、(2a)2=(a+b)6a,解得 =-3.故选 A.4.(2017湖南三湘名校联盟三模 ,7)在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中 ,有一道数学名题叫 “宝塔装灯 ”,内容为 “远望巍巍塔七层 ,红灯点点倍加增 ;共灯三百八十一 ,请问顶层几盏灯 ?”(“倍加增 ”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2的等比数列递增 )根据此诗 ,可以得出塔的顶层和底层共有 ( )A.3 盏灯 B.192 盏灯 C.195 盏灯 D.200 盏灯答案 C 由题意设顶层的灯盏数为 a1,则有 S7= =381,解得 a1=3, a7=a126=326=192, a1+a7=195.故选 C.5.(201
26、7湖北六校联合体 4月模拟 ,10)在数列 an中 ,a1=1,an+1=2an,则 Sn= - + - + + - 等于 ( )A. (2n-1) B. (1-24n)C. (4n-1) D. (1-2n)答案 B 在数列 an中 ,由 an+1=2an,得 =2,所以 an是等比数列 ,又 a1=1,所以 an= ,则 Sn= - + - + + - =1-4+16-64+ +42n-2-42n-1= = (1-42n)= (1-24n).故选 B.6.(2018华大新高考联盟 4月教学质量检测 ,14)设等比数列 an的前 n项和为 Sn,若 a3a11=2 ,且 S4+S12=S8,则
27、 = .答案 解析 an是等比数列 ,a3a11=2 , =2 , q4=2, S4+S12=S8, + = , 1-q4+1-q12=(1-q8),将 q4=2代入计算可得 = .B组 20162018 年高考模拟 综合题组(时间 :45分钟 分值 :75分 )一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 )1.(2018湖南长沙长郡中学月考 ,11)已知递减的等比数列 an的各项均为正数 ,且满足则数列 an的公比 q的值为 ( )A. B. C. D. 答案 B 因为数列 an是等比数列 ,所以得到 + + = = = ,化简得到 a1a3= = ,a2= .由 a1+a2+a3= = +a2+a2q q+ = q= 或 q=3(舍去 ).故答案为 B.
