2018年秋八年级数学上册 第十二章 全等三角形备课资料（打包6套）（新版）新人教版.zip

1第十二章 12.1 全等三角形知识点 1：全等形与全等三角形的概念 定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.能够完全重合的两个三 角形叫做全等三角形,重合的顶点叫做对应点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形是最简单的全等形.关键提醒:1. 全等三角形是特殊的全等形,全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样,叠合在一起是否重合 ,与它们的位置没有关系.2. “全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3. 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等,所以 两个全等的三角形都能通过 适当的平移、翻折、旋转等变换后重合 .知识点 2：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等.由全等三角形的定义还容易知道全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的中线相等、对应角的平分线相等、对应边上的高相等.关键提醒:1. 全等三角形的周长相等,面积相等,但周长相等或面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.2. 要正确区分对应边与对边、对应角与对角的概念.一般地,对应边、对应角是就两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是就同一个三角形的边和角而言的,对边是指角的对边,对角是指边的对角 .考点 1：全等 三角形的对应边和对应角判定【例 1】如图所示,△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°到△DBE,且∠ABC=90°.(1)△ABC 和△DB E 是否全等?若全等,指出对应边和对应角;(2)直线 AC、DE 有怎样的位置关系?2解:(1)因为△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°后与△DBE 重合,所以△ABC≌△DBE.对应边:AB 与 DB,BC 与 BE,AC 与 DE;对应角:∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与∠E.(2)延长 AC 交 DE 于点 F.如图所示,由(1)知∠A=∠D,又∠ACB=∠DCF,所以在△ABC 和△DFC 中,有∠DFC=∠ABC=90°,即直线 AC 与DE 互相垂直.点拨:(1)中的△ABC 和△DBE 形状和大小没有发生变化,只是位置发生改变,所以这两个三角形是全等三角形,根据旋转过程中点的对应关系,从而确定出对 应边和对应角;(2)延长 AC 交 DE 于点 F,可以证明∠CFD=∠ABC=90°,从而可以判断出两条线段是垂直关系.考点 2：利用全等三角形的定义判断三角形的全等【例 2】如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边的中点,连接 AD.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F,则图中共有多少对全 等三角形?请直接用符号“≌”把它们分别表示出来 .(不要求证明)3解:图中共有 3 对全等三角形,它们分别是:△ADE≌△ADF,△ADB≌△ADC,△BDE≌△CDF.点拨:本题通过观察就可得到,主要考查学生的观察能力 .另外,在小学里,我们已经学 过等腰三角形关于底边上的中线所在的直线对称,从这个角度去分析,很快也能得到答案.考点 3：全等三角形性质的应用【例 3】如图所示,A、D、E 三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.(1)试说明 BD=DE+CE;(2)当△ABD 满足什么条件时,BD∥CE?解:(1)∵ △BAD≌△AC E,∴ BD=AE,AD=CE.又 A、D、E 三点在同一直线上,∴ AE=AD+DE,即 BD=DE+CE.(2)当△ABD 满足∠ADB=90°时,BD∥C E.点拨:本题主要考查全等三角形性质的应用.(1)由△BAD≌△ACE 知,BD=AE,AD=CE,又 A、D、E 三点在同一直线上,借助线段的和差及线段的等量转化即可得到结论.(2)根据平行线的性质,只要∠BDE=∠E,便可得到 BD∥CE,这时只需 BD⊥AE 或∠ADB=90°即可.1第十二章 12.2.1“SSS”知识点：边边边定理(SSS)三边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“边边边”或“SSS”).关键提醒:1. 用“SSS”判定两个三角形全等时,只需说明两个三角形的三对对应边相等,证明时一定要正确理解“对应”的含义.2. 运 用“SSS”证明三角形全等时,还要注意公共边这一隐含条件的利用.考点 1：利用“SSS”证明三角形全等【例 1】如图,点 A、E、C、F 在同一条直线上,AB=FD,BC=DE,AE=FC.求证:△ABC≌△FDE.解:∵ AE=F C,∴ AE+EC =FC+CE,即 AC =FE.在 △ABC 和 △FDE 中, ∴ △ABC≌△FDE(SSS).点拨:在两个三角形中,已经知道了两条对应边相等,即 AB=FD,BC=DE,还缺少一个条件,可以找两边的夹角,也可以找边.本题中已知 AE=FC,所以可以寻求第三条对应边相 等. 考点 2：“SSS”证明三角形全等在实际生活中的应用【例 2】曙光 中学师生自己动手新建一条水泥路(如图),为 检验 这条水泥路的两边缘 l1,l2是否平行,小鹏同学手中只有米尺,他先在此水泥路的一边缘 l1上取两点 A、B,在此水泥路的另一边缘l2上取两点 C、D,并且使 CD=AB,然后用手中的米尺测得 AC=BD.小鹏由此 便确定此水泥路的两边缘l1,l2是平行的,你知道其中的道理吗?2解:如图,连接 AD.在△ABD 与△DCA 中,∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴ ∠BAD=∠CDA.∴ l 1∥l 2.1第十二章 12.2.2“SAS”知识点：边角边定理(SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).关键提醒:1. 用 SAS 判定两个三角形全等时,要注意角必须是两条边的夹角而不是其中一边的对角.因此当两个三角形中具备两条边和一个角对应相等时,这样的两个三角形不一定是全等三角形.2. 在利用 SAS 证明三角形全等时,在书写时,一定要把夹角相等写在中间,从而突出两边及其夹角对应相等.3. 应用 SAS 证明三角形全等时,一般会涉及到含有公共角的图形,因此还要注意对公共角这一隐含条件的利用.考点 1：利用 SAS 证明三角形全等【例 1】如图,点 C 是线段 AB 的中点,C E=CD,∠ACD=∠BCE.求证:AE=BD.解 :∵ 点 C 是线段 AB 的中点,∴ AC=BC.∵ ∠ACD=∠BCE,∴ ∠ACD+∠D CE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE 和△BCD 中,∴ △ACE≌△BCD(SAS).∴ AE=BD.2点拨:要证明 AE=BD,可以证明△ACE 和△BCD 全等,由于两个三角形中具备 AC=BC,CE=CD 两条边相等,所以只要再具备夹角相等即可.考点 2：用 SAS 证明三角 形全等解决问题【例 2】 如图,已知 在△ABC 中,AB=12 ,AC=8,AD 是 BC 边上的中线,求 AD 的取值范围.解:如图,延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 BE.∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD=CD.在△BDE 和△CDA 中, ∴ △BDE≌△CDA.∴ BE=AC=8.在△ABE 中,AB-BEAEAB+BE,即 12-82AD12+8,即 2AD10.点拨:欲求 AD 的取值范围,联想到三角形三边的关系定理 ,必须把 AD 和与 AD 相关的已知线段移到同一个三角形 中去,故可延长 AD 到点 E,使 DE=AD.连接 BE.若能证明△BDE≌△CDA,则有 BE=AC,而 AE=2AD,在△AB E 中不难求出 AD 的取值范围.1第十二章 12.2.3“ASA”和“AAS”知识点 1：角边角定理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).关键提醒:1. 利用“ASA”证明两个三角形全 等时,要注意 S 必须是两个角的夹边对应相等.2. 应用“ASA”证明两个三角形全等,书写证明格式时,要把夹边放在两个角的中间.3. 在应用“ASA”证明三角形全等 时,要注意对两条线平行、公共角、公共边等条件的利用.知识点 2：角角边定理(AAS) 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写 成“角角边”或“AAS ”).关键提醒:1. “AA S”这个结论是由“ASA”推理得到,因此两者的实质是相同的.从两个判定方法可知:当两个三角形中有两个角和一条边对应 相等时,两个三角形一定是全等的.2. 应用“AAS”证明两个三角形全等,要按照角角边的顺序进行书写.考点 1：利用“ASA”证明两个三角形全等【例 1】如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB= FD.求证:AE=FC.解:∵ BE∥DF,∴ ∠ABE=∠D.在△ABE 和△FDC 中,∠ABE=∠D,A B=FD,∠A=∠F,∴ △ABE≌△FDC(ASA).∴ AE=FC.点拨:要证明 AE=FC,可以证明△A BE 和△FDC 全等.由 BE∥DF,可知∠ABE=∠D.由已知可知两个三角形还具备 AB=FD,∠A=∠F,所以根据 ASA 可以证明两个三角形全等.考点 2：利用“AAS” 证明两个三角形全等2【例 2】两块完全相同的三角形纸板 ABC 和 DEF,按如图所示 的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边 AC 和 DF 的交点,不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等? 为什么?解:不重叠的两部分全等.理由如下:∵ 三角形纸板 ABC 和 DEF 完全相同,∴ AB=DB,BC=BF,∠A=∠D,∴ AB-BF=BD-B C,即 AF=DC.在△AOF 和△DOC 中, ∴ △AOF≌△DOC.点拨:根据三角形纸板 ABC 和 DEF 完全相同,可得∠A=∠D, AB=DB,BC=BF,进一步得出 AF=CD,由∠AOF=∠DOC 可判定两个三角形全等.1第十二章 12.2.4“HL”知识点 1: 斜边、直角边定理(HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)关键提醒:1. “HL”这个结论是直角三角形特有的判定方法, 对于一般的三角形不适用.因此,在应用“HL”证明两个三角形全等,一定要指出两个三角形是直角三角形,或指出含有 90°的角.2. 对于直角三角形证明全等的方法有五种:SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL.3. 在直角三角形中,若已知两条边对应相等时,这样的两个三角形一定是全等的.知识点 2：灵活地选择三角形全等的条件 一般三角形的全等方法的证明有四个:SSS、SAS、ASA、AAS.而 对于直角三角形则还有 HL.选择合适的判定方法,可以使证明过程简化.归纳整理:(1)根据提供的不同的已知条件,证明两个三角形全等通常有以下四种思路:(2)当两个三角形是直角三角形时,则首先考虑 HL 能否证明全等.(3)已知两边和一边的对角不能判定两个三角形全等,即 SSA 不能判定两个三角形全等.(4)三个角对应相等的两个三角形也不一定全等.考点 1：利用“HL” 证明两个三角形全等【例 1】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证:BC=BD.2证明:在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴BC=BD(全等三角形的对应边相等).点拨：本题条件中已知两三角形为直角三角形,可考虑利用 HL 证明.考点 2：灵活选择方法证明三角形全等【例 2】如图,两个大小相同且含 30°角的三角板 ABC 和 DEC 如图(1)摆放,使直角顶点重合. 将图(1)中△DEC 绕点 C 逆时针旋转 30°得到图(2),点 F、G 分别是 CD、DE 与 AB 的交点,点 H 是 DE与 AC 的交点.(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与△BCF 全等的三角形;(2)将图(2)中的△DEC 绕点 C 逆时针旋转 45°得△D 1E1C,点 F、G、H 的对应点分别为F1、G 1、H 1 ,如图(3).探究线段 D1F1与 AH1之间的数量关系,并写出推理过程;(3)在(2)的条件下,若 D1E1与 CE 交于点 I,求证:G 1I=CI.(1) (2) (3)解: (1)图(2)中与△BCF 全等的有△GDF、 △GAH、△ECH.(2)D1F1=AH1.证明如下∵ ∠A=∠D 1=30°,CA=CD1,∠F 1CA=∠H 1CD1,∴ △AF 1C ≌△D 1H1C.∴ F 1C=H1C.又 CD 1=CA,∴ CD 1-F1C=CA-H1C,即 D1F1=AH1.(3)如图,连接 CG1.3在△D 1G1F1和△AG 1H1中,∵ ∠D 1=∠A,∠D 1G1F1=∠AG 1H1,D1F1=AH1,∴ △D 1G1F1 ≌△AG 1H1.∴ G 1F1=G1H1.又 H 1C=F1C,G1C=G1C,∴ △ CG1F1≌△CG 1H1.∴ ∠1=∠2.∵ ∠B=60°,∠ BCF=30°,∴ ∠BFC=90°.又 ∠DCE=90°,∴ ∠BFC=∠DCE.∴ BA∥CE.∴ ∠1=∠3.∴ ∠2=∠3.∴ G 1I=CI.点拨:(1)本题要结合直角三角形 30°所对的直角边等于斜边的一半,以及 ASA 判定三角形全等的方法解决;(2)首先根据 ASA 证明△AF 1C ≌△D 1H1C,然后再根据全等三角形的性质得到线段相等,进而求解.(3)首先根据 AAS 证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.考点 3：利用全等三角形证两直线平行与垂直【例 1】如图,已知:点 B、F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使 AB∥ED 成立,并给出证明.供选择的三个条件(请从其中选择一个):①AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.解:由上面两条件不能证明 AB∥ED.有两种添加方法.第一种:FB=CE,AC= DF,添加①AB=D E.4证明如下:因为 FB=CE,所以 BC=EF,又 AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠ABC=∠DEF,所以 AB∥ED.第二种: FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.证明如下:因为 FB=CE,所以 BC=EF,又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠ABC=∠DEF,所以 AB∥ED.点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使 AB∥ED,只需证∠ABC=∠DEF,这可化归为证“全等三角形的对应角相等”,而题中给出全等的两个条件后,尚缺一个条件,通过题中给出的条件,添加一个,可以满足 SSS 或 SAS,问题便可 以解决了.考点 4：利用全等三角形证线段之间的和差关系【例 4】如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 CD 的中点,连接 AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.证明:(1)因为 E 是 CD 的中点,所以 DE=CE.因为 AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以 FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE,所以 AE=FE.又因为 BE⊥AE,所以在△ABE 和△FBE 中,所以△ABE≌△FBE,所以 AB=FB.因为 FB=BC+FC=BC+AD.所以 AB=BC+AD.点拨：当题中出现“平行+中点”的条件时,根据“AAS”或“SAS”定理容易证得全等三角形,从而得到相等的角或边;欲证一线段等于另两线段之和,可通过“延长”的方法将所证两线段合 为一线段,再证其与另一线段相等,当然,也可利用“截取”的方法将最长线段一分为二,分别等于另外两线段.1第十二章 12.3 角的平分线的性质知识点 1：角平分线的作法 平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.知识点 2：角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等.关键提醒:1. 性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.2. 该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.3. 使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角 平分线,二个垂直”缺一不可.知识点 3：角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.关键提醒:它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.考点 1：利用角平分线条件求距离与角【例 1】如图,AD∥BC,∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P,作 PE⊥AB 于点E.若 PE=2,则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 . 答案:4点拨:如图,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,PN⊥BC 于点 N,则 M、N、P 三点共线.2∵ BP 平分∠ABC,AP 平分∠BAD,PE⊥AB 于点 E,PM⊥AD 于点 M,PN⊥BC 于点 N,∴ PN=PE=PM(角平分线上的点到角两 边的距离相等).∵ PE=2,∴ PM=P N=2. ∴ MN=4.考点 2：利用角平分线条件证明角或边相等【例 2】如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)∠CBA+∠AFD= 180°.证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF=EB.(2)由(1)得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,∴∠CBA+∠AFD=180°.点拨：欲证 CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知 BD=DF,还需要证明 DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA 转化成∠AFD 的邻补角∠CFD 即可.考点 3：利用 角平分线条件证明线段的和差【例 3】如图 (1),已知 AC∥BD,AE、BE 分别平分∠CAB 和∠DBA,CD 过点 E,则 AB 与 AC+BD 相等吗?请说明理由.3(1) (2) 解:AB=AC+BD.理由如下:如图 (2),在 AB 上截取 AF=AC,连接 EF.在△ACE 和△AFE 中, ∴△ACE≌△AF E(SAS).⇒∠6=∠D.在△EFB 和△EDB 中,∴△EFB≌△EDB (AAS),∴FB=DB.∴AC+BD=AF+FB=AB.点拨：欲证线 段 a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段 AB 上“截取”AF=AC 后,再证 BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段 AC 上“补接”CF,再证 AB=AF,BD=FC.