2018届高考数学 中档大题规范练（第02期）（打包10套）理.zip

1专题 2.10 中档大题规范练 10（数列 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养数列大题 等差中项的应用累加法求通项公式累加法求通项公式概率大题 非线性回归分析方程的求解及应用换元法求解非线性回归方程数据的处理和运算能力立体几何 二面角、线面角的求解存在性问题利用空间向量解决二面角、线面角空间想象力和运算能力的考查选讲 1（极坐标参数方程）参数方程与普通方程的互化直线与椭圆的位置关系椭圆参数方程的应用选讲 2（不等式）由等量关系证明不等式 基本不等式的灵活应用1.数列大题已知数列 ， 满足 ，记 的前 项和为 ，已知， .（1）若 ，求 ；（2）若 ，求 的通项公式.【答案】 （1） ；（2） .22.概率大题大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元）对年销售量 （单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.346.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280表中 ， .根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）根据 的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；已知这种产品的年利润与 、 的关系为 .根据 的结果回答下列问题：年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， .【答案】 （1） （2） （3）年销售量 ，年利润 .年宣传费为 46.24 千元时，年利润预报值最大.4试题解析：解： 由散点图可以判断 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型. 令 ，先建立 关于 的线性回归方程，，所以 关于 的线性回归方程为 ，所以 关于 的线性回归方程为 .由 知，当 时，年销售量 的预报值为 ，年利润的预报值为 .根据 的结果知，年利润的预报值，当 ，即 时，年利润的预报值最大，故年宣传费为 46.24 千元时，年利润预报值最大.3.立体几何在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 .5（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值；（3）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）6（1）由题意可得 ， ， 两两互相垂直，如果，以 为原点， ， ， 分别是 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为， ∴ ，令 ∴7又 ，∴ ，∴平面∴ 平面（3）设 ， ，∴ ∴∴∵ 与平面 所成角的余弦值是 ∴其正弦值为∴ ，整理得：8，解得： ， （舍）∴存在满足条件的点 ， ，且点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.4.选讲 1（极坐标参数方程）在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线的参数方程为 （为参数， 为实数） ，直线与曲线 交于 两点.（1）若 ，求 的长度；（2）当 面积取得最大值时（ 为原点） ，求 的值.【答案】(1) ；(2)0.故 ，所以 的长度 .95.选讲 2（不等式）已知实数 满足 ，证明：（1） ；（2） .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，化简得 ，再由，即可作出证明；（2）因为 ，所以 ，利用基本不等式，得 ，进10而证的结论.试题解析：（1）由 ，得 ，所以 ，即 .因为 ，当且仅当 时，取等号，所以 ，所以 ，即 .1专题 2.1 中档大题规范练 01（三角 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养三角大题 多个三角形的求解问题 线段比等价转化为面积比的思想方法选取合适的三角形进行正余弦定理的应用概率大题 方案选取的优化问题条件概率从数学期望的角度选取方案条件概率的公式应用立体几何 面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理已知二面角求长度多解问题建系法解决二面角方程思想，通过已知关系建立二面角的方程选讲 1（极坐标参数方程）参数方程与普通方程的互化极坐标与直角坐标的互化求直线的极坐标方程极坐标与直角坐标的灵活转化极坐标系下的线段关系的方程问题选讲 2（不等式）含两个绝对值的函数的最值问题三元代数式的最值问题分段讨论求函数最值的思想利用基本不等式求最值1.三角大题如图，在 中， ， ，且点 在线段 上．（Ⅰ）若 ，求 长；（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：2（II）由 ，得 ，所以 ,因为 ， ，所以 ,由余弦定理 ,可得 或 （舍去）,所以： ，所以 .2.概率大题单位计划组织 55 名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ,且每个人血检是否呈阳性相互独立.(Ⅰ) 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验．现有两个分组方案：方案一: 将 55 人分成 11 组,每组 5 人；3方案二：将 55 人分成 5 组,每组 11 人；试分析哪一个方案工作量更少？(Ⅱ) 若该疾病的患病率为 0.4% ,且患该疾病者血检呈阳性的概率为 99% ,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据: )【答案】 （1）方案二工作量更少.（2）39.6%.详解：(Ⅰ)方法 1：设方案一中每组的化验次数为 ，则 的取值为 1，6.所以 ，所以 的分布列为1 60.951 0.049所以 .故方案一的化验总次数的期望为: 次.设方案二中每组的化验次数为 ，则 的取值为 1，12，所以 ，所以 的分布列为1 120.895 0.105所以 .4故方案二的化验总次数的期望为： 次.因 ，所以方案二工作量更少.3.立体几何如图，在平行四边形 中， °，四边形 是矩形， ，平面 平面 .（1）若 ，求证： ；5（2）若二面角 的正弦值为 ，求 的值.【答案】(1)见解析；（2） 或 .(2)以 点为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 与平面 垂直的直线 轴建立空间直角坐标系，则设平面 的法向量为 ，则 ,即 ,取 ，则 ，即 ,同理可求得平面 的法向量为设二面角的平面角为 ，则6则 ，即 ，解之得 或 ，又 ,所以 或点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 4.选讲 1（极坐标参数方程）在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数， ).以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 上一点 的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 .(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程；(Ⅱ)设点 在 上，点 在 上（异于极点） ，若 四点依次在同一条直线上，且 成等比数列,求 的极坐标方程.【答案】 （1） .（2）7代入点 得 ，解得 或 （舍去）.所以曲线 的极坐标方程为 .(Ⅱ) 由题意知,设直线 的极坐标方程为 ，设点,则 .联立 得， ，所以.联立 得， .因为 成等比数列，所以 ，即.所以 ,解得 .经检验满足 四点依次在同一条直线上,所以 的极坐标方程为 .85.选讲 2（不等式）已知函数 的最大值为 .（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的最大值.【答案】 （1）2（2）21专题 2.2 中档大题规范练 02（三角 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养三角大题 余弦定理和面积公式的应用正弦定理解三角形的个数问题三角形面积最值问题数形结合思想解三角形个数三角形面积公式的应用：边化角，统一角求最值概率大题 频率分布直方图求中位数和均值超几何分布的应用用频率分布直方图估计总体的思想超几何分布模型的应用立体几何 面面垂直的判定定理椎体体积的求解线面角的求解空间向量法求解线面角椎体的体积公式选讲 1（极坐标参数方程）直线与圆的位置关系直线的参数方程的应用理解直线参数的集合意义，并会求解线段的长度问题，理解参数正负的意义选讲 2（不等式）解含两个绝对值的不等式解含绝对值的恒成立问题解绝对值不等式的分段讨论思想不等式恒成立的常用方法：参变分离1.三角大题已知 的内角 的对边分别为 其面积为 ,且 .（Ⅰ）求角 ；（II）若 ,当 有且只有一解时,求实数 的范围及 的最大值.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .2(Ⅱ)由己知，当 有且只有一解时，或 ,所以 ；当 时， 为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当 时，综上所述， .点睛：本题在转化 有且只有一解时,容易漏掉 m=2 这一种情况.此时要通过正弦定理和3正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得 再画正弦函数的图像得到或 .2.概率大题某大型商场去年国庆期间累计生成 万张购物单，从中随机抽出 张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数 25 25 30由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的 个红球和 个黑球的不透明口袋中，随机摸出 个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 ，当 时，消费者可分别获得价值 元、 元和 元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.【答案】(1) ;(2)见解析.（2）根据题意 ， ， .4设抽奖顾客获得的购物券价值为 ，则 的分布列为4 2 0500 200 100故 （元）.点睛：本题主要考查频率分布直方图和随机变量的分布列和数学期望等知识，考查学生的分析能力和计算能力，属于中档题. 3.立体几何如图，在四棱锥 .（1）当 PB=2 时，证明：平面 平面 ABCD.（2）当四棱锥 的体积为 ，且二面角 为钝角时，求直线 PA 与平面 PCD所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析.（2） .5(2)解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，6平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以过点 作 平面 ，垂足 一定落在平面 与平面 的交线 上.∵四棱锥 的体积为 ，∴ ，∴ .∵∴以 为坐标原点， 所在直线为 轴、 轴，在平面 内过点 作垂直于平面 的直线为轴，建立空间直角坐标系 .由题意可知 ，故，设平面 的法向量为 ，则，即 ，令 ，则 ，所以 .设直线 与平面 所成的角为 ，则 .故直线 与平面 所成角的正弦值为 .点睛：本题主要考查的知识点是面面垂直的判定，直线与平面所成的角.面面垂直的证明，往往利用线面垂直判定定理；解决有关线面角的问题，一般利用空间向量数量积进行处理比较方便，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值.4.选讲 1（极坐标参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程是 ，圆 的参数方程为 （ 为参数，7）.（1）若直线与圆 有公共点，求实数的取值范围；（2）当 时，过点 且与直线平行的直线 交圆 于 两点，求 的值.【答案】 （1） （2）详解：（1）由 ，得 ，即 ，故直线的直角坐标方程为 .由得所以圆 的普通方程为 .若直线与圆 有公共点，则圆心 到直线的距离 ，即 ，故实数的取值范围为 .85.选讲 2（不等式）已知函数 .（1）当 ，解不等式 ；（2）若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）9（2） ，即 ，又 且所以 ，且所以 即令 ，则 ，所以 时， ，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .1专题 2.3 中档大题规范练 03（三角 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养三角大题 由三角函数的部分图像求解析式给值求值问题“五点作图”思想的应用两角和差公式的灵活应用——配凑角概率大题 古典概型最优方案问题古典概型的求解常用思想：求解对立事件的概率方案选取的思想方法：比较期望或方程立体几何 线面角二面角传统方法找线面角空间向量法求解二面角选讲 1（极坐标参数方程）直线与圆的位置关系直线一侧点的不等式关系三角不等式恒成立求解点在直线一侧的不等转化选讲 2（不等式）利用绝对值三角不等式求最值三元的不等式证明问题作差法比较大小1.三角大题已知函数 的部分图像如图所示.(1)求 的解析式；(2)设 为锐角， ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .22.概率大题自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州—福州—广州—海口—北海（广西）—河内—吉隆坡—雅加达—科伦坡—加尔各答—内罗毕—雅典—威尼斯的 13 个城市中选择 3 个城市建设自己的工业厂房，根据这 13 个城市的需求量生产产品，并将其销往这 13 个城市.（1）求所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为 10 万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100 万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损 50 万.该公司为了确定建设工业厂房的数目，统计了近 5 年来这 13 个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：3若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？【答案】 （1） ；（2）当 时， 万元最大（2）设该产品每月的总利润为 ，①当 时， 万元．②当 时， 的分布列为所以 万元.③当 时， 的分布列为所以 万元.④当 时， 的分布列为所以 万元.综上可知，当 时 万元最大，故建设厂房 12 间．点睛：（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理4解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力．（2）在实际问题中，一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．3.立体几何已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交 于点 ，且 平面 ．（1）证明： ；（2）当 为 的中点， ， 与平面 所成的角为 ，求平面 AMHN 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2) .试题解析：（1）证明：连 交 于点 ，连 ．因为四边形 为菱形，所以 ，且 为 、 的中点．因为 ，5所以 ，又 且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，所以 ． 设 ，则，所以设平面 的法向量为 ，6则 ，令 ，得 ．由题意可得平面 的法向量为 ，所以 ．所以平面 AMHN 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 ． 4.选讲 1（极坐标参数方程）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数， ） ，已知直线的方程为.（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线的距离的最小值；（2）若曲线 上的所有点均在直线的右下方，求 的取值范围.【答案】 （1） .（2） .7（Ⅱ）因为曲线 上的所有点均在直线的右下方，所以对 ，有 恒成立，即 恒成立，所以 ，又 ，所以 .故 的取值范围为 .5.选讲 2（不等式）已知 ，函数 的最小值为 3.（1）求 的值；（2）若 ,且 ，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析81专题 2.4 中档大题规范练 04（三角 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养三角大题 余弦定理应用：角化边求解边三角形中内角范围的确定将方程中含角含边的式子统一为边的思想利用三角函数求范围的思想概率大题 古典概型的概率求解离散型随机变量的分布列和数学期望古典概型的概率求解：排列组合的应用立体几何 线面垂直的判定定理二面角的求解：含动点空间向量求解二面角动点的引参和建立方程求解的思想选讲 1（极坐标参数方程）极坐标系下的曲线轨迹问题极坐标系下求面积的最值相关的法求轨迹问题选讲 2（不等式）含两个绝对值的不等式求解问题不等式的有解问题数形结合求解不等式1.三角大题在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且.（1）求 的值；（2）若 ， 为 的面积，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 2（2）由正弦定理 得 ，在 中，由 得 ， 3.2.概率大题某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有 张印有“一等奖”的卡片， 张印有“二等奖”的卡片， 3 张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖 元， 抽中“二等奖”获奖 元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记 表示“小张恰好抽奖 次停止活动” ，求 的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取 张卡片.①记 表示“小王参加抽奖活动中奖” ，求 的值；②设 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元） ”，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）见解析； 因此 的分布列为4的数学期望是点睛：解决该题的关键是 第一问可以应用排列数来解决，分析出对应的满足条件的排列，从而求得结果，第二问注意反面思维的运用，以及分布列的求法，最后应用离散型随机变量的期望公式求得结果. 3.立体几何如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为棱 的中点，点 为线段 上一动点.（Ⅰ）求证：当点 为线段 的中点时， 平面 ；（Ⅱ）设 ，试问：是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，求出这个实数 ；若不存在，请说明理由.【答案】 （Ⅰ）见解析；（2） 或5试题解析：（Ⅰ）证明：连 、 ，∵点 为线段 的中点，∴ 、 、 三点共线.∵点 、 分别为 和 的中点，∴ ．在直三棱柱 中， ，∴ 平面 ，∴ ，又 ，∴四边形 为正方形，∴ ，∵ 、 平面 ，∴ 平面 ，而 ，∴ 平面 .6由题意得| ，∴ ，解得 或 . ∴当 或 时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．点睛：空间向量的引入为解决立体几何中的探索性问题提供了有力的工具．解决与平行、垂直有关的探索性问题时，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．4.选讲 1（极坐标参数方程）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的曲线 上运动.(I)若点 在射线 上,且 ,求点 的轨迹的直角坐标方程;7(Ⅱ)设 ,求 面积的最大值.【答案】 （Ⅰ） .(Ⅱ) .（Ⅱ）设 ，则，的面积，当且仅当 ，即 时等号成立面积的最大值为 ．（用直角坐标方程求解，参照给分）5.选讲 2（不等式）已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若关于 的不等式 只有一个正整数解，求实数 的取值范围.8【答案】(1) 不等式的解集为{ 或 };(2) .1专题 2.5 中档大题规范练 05（三角 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养三角大题 角平分线在解三角形中的处理方法正余弦定理的边角互化数形结合的数学思想面积和边的等价转化概率大题 概率统计的实际应用回归方程的求解信息的整合能力数据分析能力立体几何 线面垂直的证明立体几何中的多解问题点面距的求解利用空间向量求解点面距方程思想选讲 1（极坐标参数方程）普通方程与参数方程及极坐标方程的互化直线与圆的位置关系求解面积数形结合的数学思想选讲 2（不等式）含两个绝对值的不等式求解问题不等式恒成立问题含绝对值的最值问题：绝对值三角不等式的应用二次函数的最值1.三角大题已知 的内角 的对边分别为 ，且 .（1）求 ；（2）若角 的平分线与 交于点 ，且 ，求 的值.【答案】(1) ；(2) .2（2）由（1）可知 ，且 ，所以 ，同理可得 ，设 的面积分别为 ，则 ，， ，由 得 ，所以 .2.概率大题随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：3（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 与月份代码 之间的关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 公司 2017 年 4 月的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为 元/辆和1200 元/辆的 、 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用 4 年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为 ，其中 ， .【答案】 （Ⅰ） .（Ⅱ）应该采购 款车.4（Ⅱ）由频率估计概率，每辆 款车可使用 1 年，2 年，3 年，4 年的概率分别为 、、 、 .∴每辆 款车的利润数学期望为(元)，每辆 款车可使用 1 年，2 年，3 年，4 年的概率分别为 ， ， ， .∴每辆 款车的利润数学利润为(元)∵∴应该采购 款车.3.立体几何如图，在三棱柱 中，已知 侧面 ， ， ，，点 在棱 上.（1）求 的长，并证明 平面 ；（2）若 ，试确定 的值，使得 到平面 的距离为 .5【答案】 （1）见解析；（2）试题解析：（1）证明：因为 ， ， ，在△ 中，由余弦定理，得 ，所以 ，即 C1B⊥ BC．又 AB⊥侧面 BCC1B1， BC1 侧面 BCC1B1，故 AB⊥ BC1，又 ，所以 C1B⊥平面 ABC． （2）解：由（Ⅰ）知， BC， BA， BC1两两垂直，以 B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 64.选讲 1（极坐标参数方程）在平面直角坐标系 中，已知直线的参数方程为 （为参数）.以原点 为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程与圆 的直角坐标方程；（2）若直线与圆 交于 ， 两点，求弦 与劣弧 围成的图形的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析： 利用 ， ，代入求出直角坐标方程 在直角坐标方程下进行求解，求出 ，然后计算出结果解析：（1）由题意知 ，7由 ， ， ，得圆 的直角坐标方程为 ，由 ，故直线的变通方程为 .（2）由 ，故圆心 ，半径 .圆心 到直线 的距离为 ，所以 ， ，所以弦 与劣弧 围成的图形的面积.5.选讲 2（不等式）已知函数 ， （1）求 ，求 的取值范围；（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）81专题 2.6 中档大题规范练 06（数列 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养数列大题 由 与 的关系求通项公式前 项和为的最值问题利用项的正负变化研究和的最值，转化的思想概率大题 由频率分布直方图估计总体的平均数和中位数抽奖的奖金问题信息整合能力立体几何 折叠问题面面垂直的性质定理动点问题利用空间向量求解线面角选讲 1（极坐标参数方程）参数方程和极坐标方程的转化极坐标方程的应用多解问题应用极坐标系的极经极角的几何意义解题选讲 2（不等式）含两个绝对值的函数最值问题不等式证明问题分离讨论的思想求分段函数最值灵活应用基本不等式证明不等式1.数列大题已知数列 的前 项和 满足： .（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若 ，数列 的前 项和为 ，试问当 为何值时， 最小？并求出最小值.【答案】 （Ⅰ） 或 ；（Ⅱ）-10.22.概率大题某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取 名了解情况并给予物质奖励.调查发现抽取的 名会员消费金额（单位：万元）都在区间 内，调查结果按消费金额分成 组，制作成如下的频率分布直方图.3（1）求该 名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）若再从这 名会员中选出一名会员参加幸运大抽奖，幸运大抽奖方案如下：会员最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖概率均为 ，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖.规定：抛出的硬币，若反面朝上，则会员获得 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，会员需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，如果中奖，则获得奖金 元，如果未中奖，则所获得的奖金为 元.若参加幸运大抽奖的会员所获奖金（单位：元）用 表示，求 的分布列与期望值 .【答案】 （1）平均数，中位数分别为 万元， 万元；（2）见解析.（2）由题意可知， 可能取值为 ， ， .则 ， ，.的分布列为：4（元）.3.立体几何在矩形 中， ， ，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点，点 是线段上的一个动点，且 .如图，将 沿 折起至 ，使得平面平面 .（1）当 时，求证： ；（2）是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 5（2）以 为原点， 的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 .则 ， ， .取 的中点 ，∵ ，∴ ，∴ 易证得 平面 ，∵ ，∴ ，∴ .∴ ， ， .64.选讲 1（极坐标参数方程）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 的极坐标为 .(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程；(Ⅱ)若点 在曲线 上， ,求 的大小.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) 或 .【解析】试题分析：(Ⅰ)先将圆的标准方程转化为一般方程，再利用互化公式进行转化；(Ⅱ)利用曲线的极坐标方程 的几何意义和三角恒等变换进行求解.试题解析：(Ⅰ)∵曲线 的普通方程为 ，即 ,曲线 的极坐标方程为 .(Ⅱ) ，且 ,或 或 ，或 .5.选讲 2（不等式）已知 ， ，且 ．（1）若 恒成立，求 的取值范围；7（2）证明： ．【答案】(1) ；(2)证明见解析.试题解析：（1）设由 ，得 ，81专题 2.7 中档大题规范练 07（数列 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养数列大题 由 与 的关系求通项公式裂项相消法求前 项和裂项相消法的灵活应用概率大题 抽奖问题独立重复事件的应用二项分布的应用信息分析能力二项分布模型的应用立体几何 线面垂直的判定定理斜棱柱的建系问题二面角的求解问题利用空间向量求解二面角选讲 1（极坐标参数方程）极坐标系方程与直角坐标方程的互化椭圆参数方程的应用利用椭圆参数方程结合三角函数求最值选讲 2（不等式）含两个绝对值的不等式求解问题含一个绝对值的不等式恒成立问题求参分类讨论思想去绝对值最值思想求解不等式恒成立问题1.数列大题已知数列 的前 项和为 ，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .【答案】 （1） （2）22.概率大题2018 年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过 400 元均可参加 1 次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图） ，转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动 3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕 ，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得 40 元现金，且允许顾客转动 3 次.（1）若两位顾客均获得 1 次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得 180元现金优惠的概率；（2）若某顾客恰好获得 1 次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？3【答案】(1) (2) ①见解析②该顾客选择第一种抽奖方案更合算 【解析】试题分析：（1）由图可知，每一次转盘指向 60 元对应区域的概率为 ，设“每位顾客获得 180 元现金奖励”为事件 ，则 ，结合乘法概率公式得到这两位顾客均获得 180 元现金优惠的概率；（2）①方案一： 可能的取值为 60，100，140，180， 方案二： ，故 ；②由①知 ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向 60 元对应区域的概率为 ，每一次转盘指向 20 元对应区域的概率为 .设获得现金奖励金额为 元，则 可能的取值为 60，100，140，180.则 ；；4；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为 ，最终获得现金奖励金额为 元，则 ，故 ，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为 （元）.②由①知 ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.3.立体几何如图，四棱柱 的底面 是正方形， 为 和 的交点，若 。（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值。【答案】 （1）见解析；（2）54.选讲 1（极坐标参数方程）直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中6取相同的长度单位.曲线 的极坐标方程是 .（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴及 轴正半轴交于点 ，在第一象限内曲线 上任取一点 ，求四边形 面积的最大值.【答案】 （Ⅰ） ；（Ⅱ） .【解析】分析：（Ⅰ）把 整合成 ，再利用就可以得到曲线 的直角坐标方程；（Ⅱ）因为 在椭圆上且在第一象限，故可设 ，从而所求面积可用 的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为 ，∵ ， ，∴ ，∴ .75.选讲 2（不等式）已知函数 ．（1）求不等式 的解集；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．【答案】(1) ；(2) .81专题 2.8 中档大题规范练 08（数列 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养数列大题 等差数列与等比数列的综合应用公式法求解等差等比数列概率大题 正态分布的应用超几何分布的概型问题正态分布概率求解的对称思想超几何分布的模型立体几何 不规则六面体的建系线面平行的判定定理已知二面角求解线面角空间向量求解二面角、线面角选讲 1（极坐标参数方程）圆的极坐标方程极坐标方程的应用利用极径和极角几何意义求解长度角度问题选讲 2（不等式）含两个绝对值的不等式恒成立问题含绝对值函数的最值问题利用绝对值三角不等式求最值分段讨论求分段函数最值数形结合求面积1.数列大题已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列， .（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求的值.【答案】(1) ；(2)11202.22.概率大题某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢管的直径 服从正态分布 .(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为 ,他立即要求停止生产，检查设备，3请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径 满足 为合格品（合格品的概率精确到 0.01） ，现要从 60 根该种钢管中任意挑选 3 根，求次品数 的分布列和数学期望.（参考数据：若 ,则 ； .【答案】 （1）有道理；（2）分布列见解析， .【解析】试题分析：（1）因为(2) ,由题意可知钢管直径满足： 为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为 0.9560 根钢管中，合格品 57 根，次品 3 根，任意挑选 3 根，则次品数 的可能取值为:0,1,2,3..则次品数 的分布列列为：0 1 2 34得： .3.立体几何在如图所示的六面体中,面 是边长为 2 的正方形,面 是直角梯形, ，.(1)求证: 平面 ；(2)若二面角 为 60°,求直线 和平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .(2) 是正方形, 是直角梯形, ,5, 平面 ,同理可得 平面 .又 平面 ,所以平面 平面 ,又因为二面角 为 60°，所以 ,由余弦定理得 ,所以 ，因为 半面 ，,所以 平面 ,以 为坐标原点, 为 轴、 为 轴、 为轴建立空间直角坐标系.则 ,所以 ,设平面 的一个法向量为 ,则 即 令 ，则 ，所以设直线 和平面 所成角为 ，则4.选讲 1（极坐标参数方程）在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，圆 的标准方程为.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和圆 的极坐标方程；（2）若射线 与的交点为 ，与圆 的交点为 ， ，且点 恰好为线段 的中点，求 的值.【答案】 （1）直线的极坐标方程为 ，圆 的极坐标方程为6；（2） .5.选讲 2（不等式）已知函数 ;7（Ⅰ）若 对 恒成立，求正实数 的取值范围；（Ⅱ）函数 （ ） ，若函数 的图象与 轴围成的面积等于 3，求实数 的值.【答案】 （Ⅰ） 或者 ;（Ⅱ） .【解析】试题分析：（Ⅰ）若 对 恒成立，只需即可，由绝对值三角不等式可得解；1专题 2.9 中档大题规范练 09（数列 概率 立体几何 选讲）类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养数列大题 等差数列的基本量运算错位相减求和不等式恒成立求参数范围乘公比错位相减求和的运算问题的恒成立问题，分离，求最值数列求最值的常用方法概率大题 风险决策问题 信息的分析能力立体几何 面面垂直的性质定理斜棱柱建系的证明问题空间向量的运算问题利用空间向量求解二面角和线面角考察了空间直观想象了选讲 1（极坐标参数方程）曲线的伸缩变换与圆有关的最值问题椭圆参数方程的应用数形结合思想解决与圆有关的最值问题椭圆参数方程与三角函数结合求最值选讲 2（不等式）任意和存在的双变量的方程求参问题转化为函数值域的包含关系求参1.数列大题设数列 满足 ，其中 ，且 为常数.(1)若 是等差数列，且公差 ，求 的值；(2)若 ，且数列 满足 对任意的 都成立.①求数列 的前 项之和 ；②若 对任意的 都成立，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2）① ，② .22.概率大题某公司要根据天气预报来决定五一假期期间 5 月 1 日、2 日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益 8 万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益 20 万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失 10 万元.若气象台预报 5 月 1 日、2 日两天当地的降水概率均为 .（1）求这两天中恰有 1 天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2 天都在室内宣传” “2 天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.【答案】 （1）0.48.（2）选择“2 天都在室内宣传”. 【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，利用互斥事件的概率公式求这两天中恰有 1 天下雨的概率. (2)第（2）问，先求出两种情况下产生的经济效益的收益的均值，再根据均值确3定方案.试题解析：（1）设事件 为“这两天中恰有 1 天下雨” ，则.所以这两天中恰有 1 天下雨的概率为 0.48.3.立体几何在如图所示的多面体中，平面 平面 ，四边形 为边长为 2 的菱形，为直角梯形，四边形 为平行四边形，且 ， ， .（1）若 ， 分别为 ， 的中点，求证： 平面 ；（2）若 ， 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角的余弦值.4【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成证明 平面 ,再转化成证明和 .(2)第（2）问，先利用几何法找到 与平面 所成角，再根据 与平面 所成角的正弦值为 求出 再建立空间直角坐标系，求出二面角 的余弦值.（2）设 ，由（1）得 平面 .由 ， ，得 ， .过点 作 ，与 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ， ，如图所示，5又 ，所以 为等边三角形，所以 ，又平面 平面，平面 平面 ， 平面 ，故 平面.因为 为平行四边形，所以 ，所以 平面 .又因为 ，所以 平面 .因为 ，所以平面 平面 .由（1） ，得 平面 ，所以 平面 ，所以 .因为 ，所以 平面 ，所以 是 与平面 所成角.因为 ， ，所以 平面 ， 平面 ，因为，所以平面 平面 .所以 ， ，解得 .64.选讲 1（极坐标参数方程）在直角坐标系中，曲线 ： 经过伸缩变换 后得到曲线 .以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（Ⅰ）求出曲线 、 的参数方程；（Ⅱ）若 、 分别是曲线 、 上的动点，求 的最大值.【答案】 （1） ， （2）7（Ⅱ）设 ，则 到曲线 的圆心 的距离，∵ ，∴当 时， .∴ .点睛：此题主要考查坐标的伸缩变换，曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及参数方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考题.在参数方程求最值问题中，通动点的参数坐标，根据距离公式可得所求距离关于参数的解析式，结合三角函数的知识进行运算，从而问题可得解.5.选讲 2（不等式）已知函数 .8（1）解不等式 ；（2）若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．