【步步高】2018版高考数学一轮复习 第五章 平面向量试题 理（打包4套）.zip

1第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量 a， b 满足| a+b|=|a b|，则下面结论正确的是（ ）A.a∥ b B. a⊥ b C.{0,1,3} D.a+b=a b答案 B2．对于非零向量 a， b， “a＋ b＝0”是“ a∥ b”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 若 a＋ b＝0，则 a＝－ b.∴ a∥ b；若 a∥ b，则 a＝ λ b， a＋ b＝0 不一定成立．答案 A3．已知 O 是△ ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边的中点，且 2 ＋ ＋ ＝0，那么OA→ OB→ OC→ ( )．A. ＝ B. ＝2AO→ OD→ AO→ OD→ C. ＝3 D．2 ＝AO→ OD→ AO→ OD→ 解析 由 2 ＋ ＋ ＝0 可知， O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故 ＝ .OA→ OB→ OC→ AO→ OD→ 答案 A4．设 A1， A2， A3， A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 ＝ λ (λ ∈R)，A1A3→ A1A2→ ＝ μ (μ ∈R)，且 ＋ ＝2，则称 A3， A4调和分割 A1， A2.已知平面上的点A1A4→ A1A2→ 1λ 1μC， D 调和分割点 A， B，则下列说法正确的是 ( )．A． C 可能是线段 AB 的中点B． D 可能是线段 AB 的中点C． C、 D 可能同时在线段 AB 上2D． C、 D 不可能同时在线段 AB 的延长线上解析 若 A 成立，则 λ ＝ ，而 ＝0，不可能；同理 B 也不可能；若 C 成立，则12 1μ0＜ λ ＜1，且 0＜ μ ＜1， ＋ ＞2，与已知矛盾；若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上1λ 1μ时， λ ＞1，且 μ ＞1， ＋ ＜2，与已知矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长1λ 1μ线上，故 D 正确．答案 D5．已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O 是△ ABC 的重心，动点 P 满足 ＝OP→ 13，则点 P 一定为三角形 ABC 的 ( )．(12OA→ ＋ 12OB→ ＋ 2OC→ )A． AB 边中线的中点B． AB 边中线的三等分点(非重心)C．重心D． AB 边的中点解析 设 AB 的中点为 M，则 ＋ ＝ ，∴ ＝ ( ＋2 )＝ ＋ ，即12OA→ 12OB→ OM→ OP→ 13OM→ OC→ 13OM→ 23OC→ 3 ＝ ＋2 ，也就是 ＝2 ，∴ P， M， C 三点共线，且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三OP→ OM→ OC→ MP→ PC→ 等分点．答案 B6．在四边形 ABCD 中， ＝ a＋2 b， ＝－4 a－ b， ＝－5 a－3 b，则四边形 ABCD 的形状是AB→ BC→ CD→ ( )．A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析 由已知 ＝ ＋ ＋ ＝－8 a－2 b＝2(－4 a－ b)＝2 .AD→ AB→ BC→ CD→ BC→ ∴ ∥ ，又 与 不平行，AD→ BC→ AB→ CD→ ∴四边形 ABCD 是梯形．答案 C二、填空题7．设 a， b 是两个不共线向量， ＝2 a＋ pb， ＝ a＋ b， ＝ a－2 b，若 A， B， D 三点共线，AB→ BC→ CD→ 则实数 p 的值为________．3解析 ∵ ＝ ＋ ＝2 a－ b，又 A， B， D 三点共线，BD→ BC→ CD→ ∴存在实数 λ ，使 ＝ λ .AB→ BD→ 即Error! ∴ p＝－1.答案 －18. 如图，在矩形 ABCD 中，| |＝1，| |＝2，设AB→ AD→ ＝ a， ＝ b， ＝ c，则| a＋ b＋ c|＝________.AB→ BC→ BD→ 解析 根据向量的三角形法则有|a＋ b＋ c|＝| ＋ ＋ |＝| ＋ ＋ |＝| ＋ |＝2| |＝4.AB→ BC→ BD→ AB→ BD→ AD→ AD→ AD→ AD→ 答案 49．若点 O 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足| － |＝| ＋ －2 |，则△ ABC 的形状OB→ OC→ OB→ OC→ OA→ 为________．解析 ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ，OB→ OC→ OA→ OB→ OA→ OC→ OA→ AB→ AC→ － ＝ ＝ － ，∴| ＋ |＝| － |.OB→ OC→ CB→ AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 故 A， B， C 为矩形的三个顶点，△ ABC 为直角三角形．答案 直角三角形10．若 M 为△ ABC 内一点，且满足 ＝ ＋ ，则△ ABM 与△ ABC 的面积之比为AM→ 34AB→ 14AC→ ________．解析 由题知 B、 M、 C 三点共线，设 ＝ λ ，则： － ＝ λ ( － )，BM→ BC→ AM→ AB→ AC→ AB→ ∴ ＝(1－ λ ) ＋ λ ，AM→ AB→ AC→ ∴ λ ＝ ，14∴ ＝ .S△ ABMS△ ABC 14答案 14三、解答题11．如图所示，△ ABC 中， ＝ ， DE∥ BC 交 AC 于 E， AM 是 BC 边上的中线，交 DE 于 N.AD→ 23AB→ 设 ＝ a， ＝ b，用 a， b 分别表示向量 ， ， ， ， ， . AB→ AC→ AE→ BC→ DE→ DN→ AM→ AN→ 4解 ＝ b， ＝ b－ a， ＝ (b－ a)， ＝ (b－ a)，AE→ 23 BC→ DE→ 23 DN→ 13＝ (a＋ b)， ＝ (a＋ b)．AM→ 12 AN→ 1312． (1)设两个非零向量 e1， e2不共线，如果＝2 e1＋3 e2， ＝6 e1＋23 e2， ＝4 e1－8 e2，求证： A， B， D 三点共线．AB→ BC→ CD→ (2)设 e1， e2是两个不共线的向量，已知 ＝2 e1＋ ke2， ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，若AB→ CB→ CD→ A， B， D 三点共线，求 k 的值．(1)证明 因为 ＝6 e1＋23 e2， ＝4 e1－8 e2，BC→ CD→ 所以 ＝ ＋ ＝10 e1＋15 e2.BD→ BC→ CD→ 又因为 ＝2 e1＋3 e2，得 ＝5 ，即 ∥ ，AB→ BD→ AB→ BD→ AB→ 又因为 ， 有公共点 B，所以 A， B， D 三点共线．AB→ BD→ (2)解 D ＝ － ＝ e1＋3 e2－2 e1＋ e2＝4 e2－ e1，B→ CB→ CD→ ＝2 e1＋ ke2，AB→ 若 A， B， D 共线，则 ∥ D ，AB→ B→ 设 D ＝ λ ，所以Error!⇒ k＝－8.B→ AB→ 13． 如图所示，在△ ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得AN＝ AC，在 AB 上取一点 M，使得 AM＝ AB，在 BN 的延长线13 13上取点 P，使得 NP＝ BN，在 CM 的延长线上取点 Q，使得12＝ λ 时， ＝ ，试确定 λ 的值．MQ→ CM→ AP→ QA→ 解 ∵ ＝ － ＝ ( － )＝ ( ＋ )＝ ， ＝ － ＝ ＋ λ ，AP→ NP→ NA→ 12BN→ CN→ 12BN→ NC→ 12BC→ QA→ MA→ MQ→ 12BM→ MC→ 又∵ ＝ ，∴ ＋ λ ＝ ，AP→ QA→ 12BM→ MC→ 12BC→ 即 λ ＝ ，∴ λ ＝ .MC→ 12MC→ 1214．已知 O， A， B 三点不共线，且 ＝ m ＋ n ，( m， n∈R)．OP→ OA→ OB→ (1)若 m＋ n＝1，求证： A， P， B 三点共线；(2)若 A， P， B 三点共线，求证： m＋ n＝1.5证明 (1) m， n∈R，且 m＋ n＝1，∴ ＝ m ＋ n ＝ m ＋(1－ m) ，OP→ OA→ OB→ OA→ OB→ 即 － ＝ m( － )．OP→ OB→ OA→ OB→ ∴ ＝ m ，而 ≠0，且 m∈R.BP→ BA→ BA→ 故 与 共线，又 ， 有公共点 B.BP→ BA→ BP→ BA→ ∴ A， P， B 三点共线．(2)若 A， P， B 三点共线，则 与 共线，故存在实数 λ ，使BP→ BA→ ＝ λ ，∴ － ＝ λ ( － )．BP→ BA→ OP→ OB→ OA→ OB→ 即 ＝ λ ＋(1－ λ ) .OP→ OA→ OB→ 由 ＝ m ＋ n .OP→ OA→ OB→ 故 m ＋ n ＝ λ ＋(1－ λ ) .OA→ OB→ OA→ OB→ 又 O， A， B 不共线，∴ ， 不共线．OA→ OB→ 由平面向量基本定理得Error!∴ m＋ n＝1.1第 2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量 a＝( x,1)， b＝(－ x， x2)，则向量 a＋ b( )．A．平行于 x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于 y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得 a＋ b＝( x－ x,1＋ x2)＝(0,1＋ x2)，易知 a＋ b平行于 y轴．答案 C2．已知平面向量 a＝(1,2)， b＝(－2， m)，且 a∥ b，则 2a＋3 b＝( )．A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)解析 由 a＝(1,2)， b＝(－2， m)，且 a∥ b，得 1×m＝2×(－2)⇒ m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么 2a＋3 b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量 a＝(1，－3)， b＝(－2,4)， c＝(－1，－2)，若表示向量 4a,4b－2 c,2(a－ c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d为( )．A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析 设 d＝( x， y)，由题意知 4a＝(4，－12)，4 b－2 c＝(－6,20)，2( a－ c)＝(4，－2)，又 4a＋4 b－2 c＋2( a－ c)＋ d＝0，解得 x＝－2， y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选 D.答案 D4． 已知向量 a＝(1,2)， b＝(1,0)， c＝(3,4)．若 λ 为实数，( a＋ λ b)∥ c，则 λ ＝ ( )．A. B. C．1 D．214 12解析 依题意得 a＋ λ b＝(1＋ λ ，2)，由( a＋ λ b)∥ c，得(1＋ λ )×4－3×2＝0，∴ λ ＝ .12答案 B5. 若向量 A=（1,2） ， BC=（3,4） ，则 A=( )2A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)解析 因为 C= += ,所以选 A.(46)答案 A6．若 α ， β 是一组基底，向量 γ ＝ xα ＋ yβ (x， y∈R)，则称( x， y)为向量 γ 在基底α ， β 下的坐标，现已知向量 a在基底 p＝(1，－1)， q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a在另一组基底 m＝(－1,1)， n＝(1,2)下的坐标为 ( )．A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)解析 ∵ a在基底 p， q下的坐标为(－2,2)，即 a＝－2 p＋2 q＝(2,4)，令 a＝ xm＋ yn＝(－ x＋ y， x＋2 y)，∴Error! 即Error!∴ a在基底 m， n下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点 A(2,2)， B(a,0)， C(0， b)(ab≠0)共线，则 ＋ 的值为________．1a 1b解析 ＝( a－2，－2)， ＝(－2， b－2)，依题意，有( a－2)( b－2)－4＝0，AB→ AC→ 即 ab－2 a－2 b＝0，所以 ＋ ＝ .1a 1b 12答案 128．设向量 a， b满足| a|＝2 ， b＝(2,1)，且 a与 b的方向相反，则 a的坐标为5________．解析 设 a＝ λ b(λ ＜0)，则| a|＝| λ ||b|，∴| λ |＝ ，|a||b|又| b|＝ ，| a|＝2 .5 5∴| λ |＝2，∴ λ ＝－2.∴ a＝ λ b＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设 ＝(1，－2)， ＝( a，－1)， ＝(－ b,0)， a0， b0， O为坐标原点，若OA→ OB→ OC→ A， B， C三点共线，则 ＋ 的最小值为________．1a 2b3解析 ＝ － ＝( a－1,1)， ＝ － ＝(－ b－1,2)．AB→ OB→ OA→ AC→ OC→ OA→ ∵ A， B， C三点共线，∴ ∥ .AB→ AC→ ∴2( a－1)－(－ b－1)＝0，∴2 a＋ b＝1.∴ ＋ ＝ (2a＋ b)1a 2b (1a＋ 2b)＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8.ba 4ab ba·4ab当且仅当 ＝ ，即 a＝ ， b＝ 时取等号．ba 4ab 14 12∴ ＋ 的最小值是 8.1a 2b答案 810．在平面直角坐标系 xOy中，四边形 ABCD的边 AB∥ DC， AD∥ BC.已知点 A(－2,0)，B(6,8)， C(8,6)，则 D点的坐标为________．解析 由条件中的四边形 ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形 ABCD是平行四边形．设 D(x， y)，则有 ＝ ，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－( x， y)，解得( x， y)AB→ DC→ ＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点 A(－1,2)， B(2,8)以及 ＝ ， ＝－ ，求点 C， D的坐标和 的坐AC→ 13AB→ DA→ 13BA→ CD→ 标．解析 设点 C， D的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2)，由题意得 ＝( x1＋1， y1－2)， ＝(3,6)，AC→ AB→ ＝(－1－ x2,2－ y2)， ＝(－3，－6)．DA→ BA→ 因为 ＝ ， ＝－ ，所以有AC→ 13AB→ DA→ 13BA→ Error!和 Error!解得Error! 和Error!所以点 C， D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而 ＝(－2，－4)．CD→ 12．已知 a＝(1,2)， b＝(－3,2)，当 k为何值时， ka＋ b与 a－3 b平行？平行时它们是同向还是反向？4解 法一 ka＋ b＝ k(1,2)＋(－3,2)＝( k－3,2 k＋2)，a－3 b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当 ka＋ b与 a－3 b平行时，存在唯一实数 λ 使 ka＋ b＝ λ (a－3 b)，由( k－3,2 k＋2)＝ λ (10，－4)得，Error!解得 k＝ λ ＝－ ，13∴当 k＝－ 时， ka＋ b与 a－3 b平行，13这时 ka＋ b＝－ a＋ b＝－ (a－3 b)．13 13∵ λ ＝－ 0，∴ ka＋ b与 a－3 b反向．13法二 由法一知 ka＋ b＝( k－3,2 k＋2)，a－3 b＝(10，－4)，∵ ka＋ b与 a－3 b平行∴( k－3)×(－4)－10×(2 k＋2)＝0，解得 k＝－ ，13此时 ka＋ b＝ ＝－ (a－3 b)．(－13－ 3， － 23＋ 2) 13∴当 k＝－ 时， ka＋ b与 a－3 b平行，并且反向．1313．在平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知向量 a＝(2,1)， A(1,0)， B(cos θ ， t)，(1)若 a∥ ，且| |＝ | |，求向量 的坐标；AB→ AB→ 5OA→ OB→ (2)若 a∥ ，求 y＝cos 2θ －cos θ ＋ t2的最小值．AB→ 解 (1)∵ ＝(cos θ －1， t)，AB→ 又 a∥ ，∴2 t－cos θ ＋1＝0.AB→ ∴cos θ －1＝2 t.①又∵| |＝ | |，∴(cos θ －1) 2＋ t2＝5.②AB→ 5OA→ 由①②得，5 t2＝5，∴ t2＝1.∴ t＝±1.当 t＝1 时，cos θ ＝3(舍去)，当 t＝－1 时，cos θ ＝－1，∴ B(－1，－1)，∴ ＝(－1，－1)．OB→ (2)由(1)可知 t＝ ，cos θ － 125∴ y＝cos 2θ －cos θ ＋ ＝ cos2θ － cos θ ＋ cos θ － 1 24 54 32 14＝ ＋ ＝ 2－ ，54(cos2θ － 65cos θ ) 14 54(cos θ － 35) 15∴当 cos θ ＝ 时， ymin＝－ .35 1514．已知 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 ＝ ＋ t ，求OP→ OA→ AB→ (1)t为何值时， P在 x轴上？ P在 y轴上？ P在第二象限？(2)四边形 OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由．解 (1) ＝ ＋ t ＝(1＋3 t,2＋3 t)．若 P在 x轴上，则 2＋3 t＝0，∴ t ＝－ ；若OP→ OA→ AB→ 23P在 y轴上，只需 1＋3 t＝0，∴ t＝－ ；若 P在第二象限，则Error!13∴－ ＜ t＜－ .23 13(2)因为 ＝(1,2)， ＝(3－3 t,3－3 t)．若 OABP为平行四边形，则 ＝ ，∵Error!OA→ PB→ OA→ PB→ 无解．所以四边形 OABP不能成为平行四边形．1第 3讲 平面向量的数量积一、选择题1．若向量 a， b， c满足 a∥ b且 a⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝( )A．4 B．3C．2 D．0解析 由 a∥ b及 a⊥ c，得 b⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝ c·a＋2 c·b＝0.答案 D2．若向量 a与 b不共线， a·b≠0，且 c＝ a－ b，则向量 a与 c的夹角为( )(a·aa·b)A．0 B. C. D.π6 π3 π2解析 ∵ a·c＝ a·[a－ (a·aa·b)b]＝ a·a－ a·b＝ a2－ a2＝0，(a2a·b)又 a≠0， c≠0，∴ a⊥c ，∴〈 a， c〉＝ ，故选 D.π2答案 D3．若向量 a， b， c满足 a∥ b，且 a⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝ ( )．A．4 B．3 C．2 D．0解析 由 a∥ b及 a⊥ c，得 b⊥ c，则 c·(a＋2 b)＝ c·a＋2 c·b＝0.答案 D4．已知△ ABC为等边三角形， AB＝2.设点 P， Q满足 ＝ λ ， ＝(1－ λ ) ， λ ∈R.若AP→ AB→ AQ→ AC→ · ＝－ ，则 λ 等于 ( )．BQ→ CP→ 32A. B.12 1±22C. D.1±102 － 3±222解析 以点 A为坐标原点， AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，则 B(2,0)， C(1，)，由 ＝ λ ，得 P(2λ ，0)，由 ＝(1－ λ ) ，得 Q(1－ λ ， (1－ λ ))，所以3 AP→ AB→ AQ→ AC→ 3· ＝(－ λ －1， (1－ λ ))·(2λ －1，－ )＝－( λ ＋1)(2 λ －1)BQ→ CP→ 3 3－ × (1－ λ )＝－ ，解得 λ ＝ .]3 332 12答案 A5．若 a， b， c均为单位向量，且 a·b＝0，( a－ c)·(b－ c)≤0，则| a＋ b－ c|的最大值为2( )．A. －1 B．1 C. D．22 2解析 由已知条件，向量 a， b， c都是单位向量可以求出， a2＝1， b2＝1， c2＝1，由a·b＝0，及( a－ c)(b－ c)≤0，可以知道，( a＋ b)·c≥ c2＝1，因为|a＋ b－ c|2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 a·b－2 a·c－2 b·c，所以有|a＋ b－ c|2＝3－2( a·c＋ b·c)≤1，故| a＋ b－ c|≤1.答案 B6．对任意两个非零的平面向量 α 和 β ，定义 α β ＝ .若平面向量 a， b满足α ·ββ ·β|a|≥| b|0， a与 b的夹角 θ ∈ ，且 a b和 b a都在集合Error!中，则 a b＝(0，π4)( )．A. B．1 C. D.12 32 52解析 由定义 α β ＝ 可得 b a＝ ＝ ＝ ，由α ·ββ 2 a·ba2 |a|·|b|cos θ|a|2 |b|cos θ|a||a|≥| b|0，及 θ ∈ 得 0 1，从而 ＝ ，即| a|＝2| b|cos (0，π4) |b|cos θ|a| |b|cos θ|a| 12θ .a b＝ ＝ ＝ ＝2cos 2θ ，因为 θ ∈ ，所以 cos a·bb2 |a|·|b|cos θ|b|2 |a|cos θ|b| (0， π4) 22θ 1，所以 cos2θ 1，所以 12cos2θ 2.结合选项知答案为 C.12答案 C二、填空题7． 已知向量 a， b均为单位向量，若它们的夹角是 60°，则| a－3 b|等于________．解析 ∵| a－3 b|2＝ a2－6 a·b＋9 b2＝10－6×cos60°＝7，∴| a－3 b|＝ .7答案 78. 已知向量 , ，若 ，则 的值为 ． ()(31,4)mabm解析 ,)2(0,1ab答案 19． 如图，在矩形 ABCD中， AB＝ ， BC＝2，点 E为 BC的中点，点2F在边 CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是________．AB→ AF→ 2 AE→ BF→ 解析 以 A点为原点， AB所在直线为 x轴， AD所在直线为 y轴建立直角坐标系 xOy，则 ＝( ，0)， ＝( ，1)，AB→ 2 AE→ 23设 F(t,2)，则 ＝( t,2)．AF→ ∵ · ＝ t＝ ，∴ t＝1，AB→ AF→ 2 2所以 · ＝( ，1)·(1－ ，2)＝ .AE→ BF→ 2 2 2答案 210．已知向量 a， b， c满足 a＋ b＋ c＝0，( a－ b)⊥ c， a⊥ b，若| a|＝1，则|a|2＋| b|2＋| c|2的值是________．解析 由已知 a·c－ b·c＝0， a·b＝0，| a|＝1，又 a＋ b＋ c＝0，∴ a·(a＋ b＋ c)＝0，即 a2＋ a·c＝0，则 a·c＝ b·c＝－1，由 a＋ b＋ c＝0，∴( a＋ b＋ c)2＝0，即 a2＋ b2＋ c2＋2 a·b＋2 b·c＋2 c·a＝0，∴ a2＋ b2＋ c2＝－4 c·a＝4，即| a|2＋| b|2＋| c|2＝4.答案 4三、解答题11．已知向量 a＝(1,2)， b＝(2，－2)．(1)设 c＝4 a＋ b，求( b·c)a；(2)若 a＋ λ b与 a垂直，求 λ 的值；(3)求向量 a在 b方向上的投影．解 (1)∵ a＝(1,2)， b＝(2，－2)，∴ c＝4 a＋ b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴ b·c＝2×6－2×6＝0，∴( b·c) a＝0 a＝0.(2) a＋ λ b＝(1,2)＋ λ (2，－2)＝(2 λ ＋1,2－2 λ )，由于 a＋ λ b与 a垂直，∴2 λ ＋1＋2(2－2 λ )＝0，∴ λ ＝ .52(3)设向量 a与 b的夹角为 θ ，向量 a在 b方向上的投影为| a|cos θ .∴| a|cos θ ＝ ＝ ＝－ ＝－ .a·b|b| 1×2＋ 2× － 222＋  － 2 2 222 2212．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(－1，－2)， B(2,3)， C(－2，－1)．(1)求以线段 AB， AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t满足( － t )· ＝0，求 t的值．AB→ OC→ OC→ 4解 (1)由题设知 ＝(3,5)， ＝(－1,1)，则AB→ AC→ ＋ ＝(2,6)， － ＝(4,4)．AB→ AC→ AB→ AC→ 所以| ＋ |＝2 ，| － |＝4 .AB→ AC→ 10 AB→ AC→ 2故所求的两条对角线长分别为 4 ，2 .2 10(2)由题设知 ＝(－2，－1)， － t ＝(3＋2 t,5＋ t)．OC→ AB→ OC→ 由( － t )· ＝0，AB→ OC→ OC→ 得(3＋2 t,5＋ t)·(－2，－1)＝0，从而 5t＝－11，所以 t＝－ .11513．设两向量 e1， e2满足| e1|＝2，| e2|＝1， e1， e2的夹角为 60°，若向量 2te1＋7 e2与向量 e1＋ te2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围．解 由已知得 e ＝4， e ＝1， e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.21 2∴(2 te1＋7 e2)·(e1＋ te2)＝2 te ＋(2 t2＋7) e1·e2＋7 te ＝2 t2＋15 t＋7.21 2欲使夹角为钝角，需 2t2＋15 t＋7＜0，得－7＜ t＜－ .12设 2te1＋7 e2＝ λ (e1＋ te2)(λ ＜0)，∴Error! ∴2 t2＝7.∴ t＝－ ，此时 λ ＝－ .142 14即 t＝－ 时，向量 2te1＋7 e2与 e1＋ te2的夹角为 π.142∴当两向量夹角为钝角时， t的取值范围是∪ .(－ 7， －142) (－ 142， － 12)14． 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 m＝ ， n＝(cos 3A2， sin 3A2)，且满足| m＋ n|＝ .(cos A2， sin A2) 3(1)求角 A的大小；(2)若| |＋| |＝ | |，试判断△ ABC的形状．AC→ AB→ 3BC→ 解 (1)由| m＋ n|＝ ，得 m2＋ n2＋2 m·n＝3，3即 1＋1＋2 ＝3，(cos 3A2cos A2＋ sin 3A2sin A2)∴cos A＝ .∵0 Aπ，∴ A＝ .12 π35(2)∵| |＋| |＝ | |，∴sin B＋sin C＝ sin A，AC→ AB→ 3BC→ 3∴sin B＋sin ＝ × ，(2π3－ B) 3 32即 sin B＋ cos B＝ ，∴sin ＝ .32 12 32 (B＋ π6) 32∵0 B ，∴ B＋ ，2π3 π6 π65π6∴ B＋ ＝ 或 ，故 B＝ 或 .π6 π3 2π3 π6 π2当 B＝ 时， C＝ ；当 B＝ 时， C＝ .π6 π2 π2 π6故△ ABC是直角三角形.1第 4 讲 平面向量应用举例一、选择题1．△ ABC 的三个内角成等差数列，且( ＋ )· ＝0，则△ ABC 一定是( )．AB→ AC→ BC→ A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形C．等边三角形 D．钝角三角形解析 △ ABC 中 BC 边的中线又是 BC 边的高，故△ ABC 为等腰三角形，又 A， B， C 成等差数列，故 B＝ .π 3答案 C2. 半圆的直径 AB＝4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A、 B 的任意一点，若 P 为半径 OC 的中点，则( ＋ )· 的值是( )PA→ PB→ PC→ A．－2B．－1C．2D．无法确定，与 C 点位置有关解析 ( ＋ )· ＝2 · ＝－2.PA→ PB→ PC→ PO→ PC→ 答案 A3. 函数 y＝tan x－ 的部分图象如图所示，则( ＋ )· ＝π 4 π 2 OA→ OB→ AB→ ( )．A．4 B．6C．1 D．2解析 由条件可得 B(3,1)， A(2,0)，∴( ＋ )· ＝( ＋ )·( － )＝ 2－ 2＝10－4＝6.OA→ OB→ AB→ OA→ OB→ OB→ OA→ OB→ OA→ 答案 B4．在△ ABC 中，∠ BAC＝60°， AB＝2， AC＝1， E， F 为边 BC 的三等分点，则 · ＝( AE→ AF→ )．A. B. C. D.53 54 109 158解析 法一 依题意，不妨设 ＝ E ， ＝2 ，BE→ 12C→ BF→ FC→ 则有 － ＝ ( － )，即 ＝ ＋ ；AE→ AB→ 12AC→ AE→ AE→ 23AB→ 13AC→ 2－ ＝2( － )，即 ＝ ＋ .AF→ AB→ AC→ AF→ AF→ 13AB→ 23AC→ 所以 · ＝ ·AE→ AF→ (23AB→ ＋ 13AC→ ) (13AB→ ＋ 23AC→ )＝ (2 ＋ )·( ＋2 )19 AB→ AC→ AB→ AC→ ＝ (2 2＋2 2＋5 · )19 AB→ AC→ AB→ AC→ ＝ (2×22＋2×1 2＋5×2×1×cos 60°)＝ ，选 A.19 53法二 由∠ BAC＝60°， AB＝2， AC＝1 可得∠ ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则 A(0,1)， E ， F(－233， 0)，(－33， 0)∴ · ＝ · ＝ ·AE→ AF→ (－ 233， － 1) (－ 33， － 1) (－ 233) (－ 33)＋(－1)·(－1)＝ ＋1＝ ，选 A.23 53答案 A5．如图所示，已知点 G 是△ ABC 的重心，过 G 作直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且 ＝ x ， ＝ y ，则 的值为( )．AM→ AB→ AN→ AC→ x·yx＋ yA．3 B. C．2 D.13 12解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边 BC 的直线，易得 ＝ .x·yx＋ y 13答案 B6．△ ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2， ＋ ＋ ＝0，且| |＝| |，则 在 方向上OA→ AB→ AC→ OA→ AB→ CA→ CB→ 的投影为 ( )．A．1 B．2 C. D．33解析 如图，由题意可设 D 为 BC 的中点，由 ＋OA→ ＋ ＝0，得 ＋2 ＝0，即AB→ AC→ OA→ AD→ 3＝2 ，∴ A， O， D 共线且| |＝2| |，又 O 为△ ABC 的外心，AO→ AD→ AO→ AD→ ∴ AO 为 BC 的中垂线，∴| |＝| |＝| |＝2，| |＝1，AC→ AB→ OA→ AD→ ∴| |＝ ，∴ 在 方向上的投影为 .CD→ 3 CA→ CB→ 3答案 C二、填空题7. △ ABO 三顶点坐标为 A(1,0)， B(0,2)， O(0,0)， P(x， y)是坐标平面内一点，满足 ·AP→ ≤0， · ≥0，则 · 的最小值为________．OA→ BP→ OB→ OP→ AB→ 解析 ∵ · ＝( x－1， y)·(1,0)＝ x－1≤0，∴ x≤1，∴－ x≥－1，AP→ OA→ ∵ · ＝( x， y－2)·(0,2)＝2( y－2)≥0，∴ y≥2.BP→ OB→ ∴ · ＝( x， y)·(－1,2)＝2 y－ x≥3.OP→ AB→ 答案 38．已知平面向量 a， b 满足| a|＝1，| b|＝2， a 与 b 的夹角为 .以 a， b 为邻边作平行四π 3边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析 ∵| a＋ b|2－| a－ b|2＝4 a·b＝4| a||b|cos ＝4＞0，π 3∴| a＋ b|＞| a－ b|，又| a－ b|2＝ a2＋ b2－2 a·b＝3，∴| a－ b|＝ .3答案 39．已知向量 a＝( x－1,2)， b＝(4， y)，若 a⊥ b，则 9x＋3 y的最小值为________．解析 若 a⊥ b，则 4(x－1)＋2 y＝0，即 2x＋ y＝2.9x＋3 y＝3 2x＋3 y≥2× ＝2× ＝6.32x＋ y 32当且仅当 x＝ ， y＝1 时取得最小值．12答案 610．已知| a|＝2| b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝ x3＋ |a|x2＋ a·bx 在 R 上有极值，则 a13 12与 b 的夹角范围为________．解析 由题意得： f′( x)＝ x2＋| a|x＋ a·b 必有可变号零点，即 Δ ＝| a|2－4 a·b0，即 4|b|2－8| b|2cos〈 a， b〉0，即－1≤cos〈 a， b〉 .所以 a 与 b 的夹角范围为124.(π 3， π ]答案 (π 3， π ]三、解答题11．已知 A(2,0)， B(0,2)， C(cos θ ，sin θ )， O 为坐标原点(1) · ＝－ ，求 sin 2θ 的值．13(2)若| ＋ |＝ ，且 θ ∈(－π，0)，求 与 的夹角．O7 BC解 (1) ＝(cos θ ，sin θ )－(2,0)＝(cos θ －2，sin θ )＝(cos θ ，sin θ )－(0,2) ＝(cos θ ，sin θ －2)．BC· ＝cos θ (cos θ －2)＋sin θ (sin θ －2)A＝cos 2θ －2cos θ ＋sin 2θ －2sin θ＝1－2(sin θ ＋cos θ )＝－ .13∴sin θ ＋cos θ ＝ ，23∴1＋2sin θ cos θ ＝ ，49∴sin 2 θ ＝ －1＝－ .49 59(2)∵ ＝(2,0)， ＝(cos θ ，sin θ )，OAC∴ ＋ ＝(2＋cos θ ，sin θ )，∴| ＋ |＝ ＝ . 2＋ cos θ  2＋ sin2θ 7即 4＋4cos θ ＋cos 2θ ＋sin 2θ ＝7.∴4cos θ ＝2，即 cos θ ＝ .12∵－π θ 0，∴ θ ＝－ .π 3又∵ ＝(0,2)， ＝ ，OBC(12， － 32)∴cos 〈 ， 〉＝ ＝ ＝－ .|·|||·|| 0－ 32 32∴〈 ， 〉＝ .5π6512．已知 A， B， C 的坐标分别为 A(3,0)， B(0,3)， C(cos α ，sin α )， α ∈ .(π 2， 3π2)(1)若| |＝| |，求角 α 的值；AC→ BC→ (2)若 · ＝－1，求 的值．AC→ BC→ 2sin2α ＋ sin 2α1＋ tan α解 (1)∵ ＝(cos α －3，sin α )， ＝(cos α ，sin α －3)，AC→ BC→ ∴ 2＝(cos α －3) 2＋sin 2α ＝10－6cos α ，AC→ 2＝cos 2α ＋(sin α －3) 2＝10－6sin α ，BC→ 由| |＝| |，可得 2＝ 2，AC→ BC→ AC→ BC→ 即 10－6cos α ＝10－6sin α ，得 sin α ＝cos α .又 α ∈ ，∴ α ＝ .(π 2， 3π2) 5π4(2)由 · ＝－1，AC→ BC→ 得(cos α －3)cos α ＋sin α (sin α －3)＝－1，∴sin α ＋cos α ＝ .①23又 ＝ ＝2sin α cos α .2sin2α ＋ sin 2α1＋ tan α 2sin2α ＋ 2sin α cos α1＋ sin αcos α由①式两边分别平方，得 1＋2sin α cos α ＝ ，49∴2sin α cos α ＝－ .59∴ ＝－ .2sin2α ＋ sin 2α1＋ tan α 5913．已知向量 a＝(cos x，sin x)， b＝(－cos x，cos x)， c＝(－1,0)．(1)若 x＝ ，求向量 a 与 c 的夹角；π 6(2)当 x∈ 时，求函数 f(x)＝2 a·b＋1 的最大值，并求此时 x 的值．[π 2， 9π8]解 (1)设 a 与 c 夹角为 θ ，当 x＝ 时， a＝ ，π 6 (32， 12)cos θ ＝ ＝a·c|a||c|32 × － 1 ＋ 12×0(32)2＋ (12)2× － 1 2＋ 026＝－ .∵ θ ∈[0，π]，∴ θ ＝ .32 5π6(2)f(x)＝2 a·b＋1＝2(－cos 2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos 2x－1)＝sin 2x－cos 2 x＝ sin ，2 (2x－π 4)∵ x∈ ，∴2 x－ ∈ ，[π 2， 9π8] π 4 [3π4， 2π ]故 sin ∈ ，∴当 2x－ ＝ ，(2x－π 4) [－ 1， 22] π 4 3π4即 x＝ 时， f(x)max＝1.π 214．已知向量 m＝ ，(3sin x4， 1)n＝ .(cos x4， cos2 x4)(1)若 m·n＝1，求 cos 的值；(2π3－ x)(2)记 f(x)＝ m·n，在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足(2 a－ c)cos B＝ bcos C，求函数 f(A)的取值范围．解 (1) m·n＝ sin ·cos ＋cos 2 3x4 x4 x4＝ sin ＋ ＝sin ＋ ，32 x2 1＋ cos x22 (x2＋ π 6) 12∵ m·n＝1，∴sin ＝ .(x2＋ π 6) 12cos ＝1－2sin 2 ＝ ，(x＋π 3) (x2＋ π 6) 12cos ＝－cos ＝－ .(2π3－ x) (x＋ π 3) 12(2)∵(2 a－ c)cos B＝ bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin( B＋ C)．∵ A＋ B＋ C＝π，∴sin( B＋ C)＝sin A≠0.∴cos B＝ ，∵0＜ B＜π，∴ B＝ ，∴0＜ A＜ .12 π 3 2π3∴ ＜ ＋ ＜ ，sin ∈ .π 6 A2 π 6 π 2 (A2＋ π 6) (12， 1)7又∵ f(x)＝sin ＋ ，∴ f(A)＝sin ＋ .(x2＋ π 6) 12 (A2＋ π 6) 12故函数 f(A)的取值范围是 .(1，32)