七年级数学下册 8 二元一次方程组教案（打包6套）（新版）新人教版.zip

1课题：8.1 二元一次方程组教学目标：了解二元一次方程组及其解的概念重点：二元一次方程组及其解的概念难点：理解二元一次方程组的解的含义教学流程：一、情境引入问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问：如何列一元一次方程来解决这个问题？解：设胜 x 场，则负(10－ x)场.2x＋(10－ x)＝16解得： x＝6∴10－ x＝4答：这个队胜了 6 场，负了 4 场.二、探究 1问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问 1：能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？分析：胜的场数＋负的场数＝总场数胜场积分＋负场积分＝总积分胜 负 合计场数 x y 10积分 2x y 16解：设这个队胜场为 x，负场为 y.2x＋ y＝102x＋ y＝16追问 2：想一想：这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？x＋ y＝102x＋ y＝16特点：(1)都含有 2 个未知数 x 和 y；(2)未知数的项的次数是 1；(3)方程的左右两边都是整式．概念：像这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．练习 1：判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？并说一说理由.(1)2x＋3 y＝11；(2)2 x＋6 xy＝0；(3)3 x－2π＝25； .2(4)78xy答案：是；不是；不是；不是.三、探究 2问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？胜的场数＋负的场数＝总场数 即： x＋ y＝10胜场积分＋负场积分＝总积分 即：2 x＋ y＝16强调：未知数 x， y 必须同时满足这两个方程这就组成了一个方程组．106x想一想：这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？概念：含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．练习 2：判别下列各方程组是不是二元一次方程组？并说明理由.； ； ； .5(1)3xy5(2)7mna26(3)1pq25(4)31xy答案：是；不是；是；不是.四、探究 3问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？追问 1：满足方程： x＋ y＝10，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.3xy答案：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0概念：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.通常记作： xayb追问 2：如果不考虑方程表示的实际意义,这个方程还有解吗？答案：有， ， ，…1xy0.59强调：一般地，一个二元一次方程有无数个解.练习 3：填表，使上下每对 x， y 的值是方程 3x＋ y＝5 的解.x －2 0 0.4 2y －0.5 －1 0 3答案：11；5；3.8；－1； ；2； ； .1653五、探究 4问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？满足方程： x＋ y＝10，x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0满足方程：2 x＋ y＝16，x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 16 14 12 10 8 6 4 2 0追问：有没有同时满足这两个方程的解？答案：有， ，像这样同时满足这两个方程的的，叫做这两个方程的公共解.64xy概念：组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．4练习 4：二元一次方程组 的解是( )810xy3A.5xyB.y9C.y1.5D.6xy答案： C六、应用提高对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.你知道 1 听果奶和 1 听可乐各多少钱吗？解:设 1 听果奶 x 元,1 听可乐 y 元，得： 0.5423xy解得： 3.5y答：1 听果奶 3 元,1 听可乐 3.5 元.七、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念;2.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.八、达标测评1.下面方程是二元一次方程的有__________.(只填写序号)① x2＋ y＝20；②2 x＋5＝18；③2 m＋3 n＝5.5；④ x2＋2 x＋1＝0；⑤ x＋ y＋ z＝4答案：③追问：猜一猜：方程⑤这是什么方程呢？方程④呢？答案：三元一次方程；一元二次方程52.已知关于 x、 y 的二元一次方程组 的解中有 x＝－1，求 y、 k 的值.325xyk解：把 x＝－1 代入 3x－2 y＝5，得： y＝－4，把 x＝－1， y＝－4 代入 3x－ y＝ k，解得： k＝1∴ y＝－4， k＝1.3.请你写出满足二元一次方程 2x＋3 y＝15 的所有自然数解.解：满足二元一次方程 2x＋3 y＝15 的所有自然数解有： ； ； .05xy361xy对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.4.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？解：设 x 位工人参加第一道工序， y 位工人参加第二道工序，可列二元一次方程组：解得：9012.y， 43x答：4 位工人参加第一道工序，3 位工人参加第二道工序.九、布置作业教材 90 页习题 8.1 第 2、3 题．18.2.1 代入法解二元一次方程组教学目标1.用代入法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.重点、难点重点: 代入消元法难点: 用代入法解较难的二元一次方程组.教学过程一、 复习1、什么叫二元一次方程组的解？2、若 是方程 2x+y=2 的解，则 8a+4b-3=____.{𝑥=𝑎𝑦=𝑏3．已知 4x-y=-1，用关于 x 的代数式表示 y：___________；用关于 y 的代数式表示 x ：_________设计意图：复习以前学过的二元一次方程的知识，从而引出课题：用代入法解二元一次方程组。二、情景导入《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？提问：此题怎么解呢？有几种解法？学生列出两种方法，即：方法一：设树上有 x 只鸽子，则由题意得：x+(x-2)=3[(x-2)-1]方法二：解：设树上有 x 只鸽子，地上有 y 只鸽子，得到方程组 {𝑥+𝑦=3(𝑦‒1)𝑥‒1=𝑦+12提问：以上方法一中的方程和方法二中的方程组有什么联系？三、探究新知如何解方程组： {𝑥+𝑦=3(𝑦‒1)𝑥‒1=𝑦+1将第二个方程转化为 y=x-2将 y=x-2 代入第一个方程得 x+(x-2)=3[(x-2)-1]，这个方程是我们已熟知的一元一次方程，解这个一元一次方程得 x=_______，将 x=_______代入 y=x-2 得 y=_______，从而得到这个方程组的解.说明：全班同学独立作业，10 分钟后交流成果.在此基础上引入消元思想、代入消元法概念.【归纳结论】1.解方程组时，将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫消元思想.2.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.设计意图：通过让学生观察、思考、概括的一系列思维的心理操作的过程来培养学生的思维；同时让学生理解并掌握代入法，也增强了学生的表达能力和概括能力四、例题讲解例 1：解方程组 {𝑥‒𝑦=3① 3𝑥‒8𝑦=14② 学生独立解答此题并总结步骤。总结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤1、 将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；2、 用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；3、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；4、写出方程组的解例 2、用代入法解方程组 {𝑥‒23 =𝑦+45 ①2𝑥‒7𝑦=90② 3此方程组较复杂，如果利用去分母的方法解答的话，过程比较麻烦，所以我们引入代入法的另外一种情况，即设 ，得出 k，然后代入方程 中。𝑥‒23 =𝑦+45 =𝑘 ②同学们试着解答此题。设计意图：通过让学生观察、思考、合作交流和归纳等过程来培养学生的动手操作能力和合作的能力；同时让学生理解并掌握代入法解二元一次方程组的步骤。 五、学以致用例 3、根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为 2:5 某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？学生先根据题目找出等量关系，然后列出二元一次方程组，进行解答。为了方便学生理解可以用下面的图来说明已知 是关于 x，y 的方程组 的解，求 a，b 的值。{𝑥=‒1𝑦=2 {2𝑥+𝑎𝑦=3𝑏𝑎𝑥‒𝑏𝑦=1解：将 代入方程组得：{𝑥=‒1𝑦=2 {‒2+2𝑎=3𝑏①‒𝑎‒2𝑏=1② 将 变形为：a=-2b-1 ③②将③代入 得：-2+2(-2b-1)=3b①解得：b=‒47将 b= 代入 得：-a-2 =1‒47 ② ×(‒47)4解得：a=17设计意图：通过让学生思考应用来培养学生的解答问题的能力；同时让学生理解并二元一次方程的应用。六、随堂练习1．在方程 2x－3y＝6 中，用含有 x 的代数式表示 y，得（ ）A.𝑦=23𝑥‒6 𝐵.𝑦=‒23𝑥‒6C.𝑦=23𝑥‒2 𝐷.𝑦=‒23𝑥+22.用代入法解方程组 下列说法正确的是( ){𝑥=2𝑦𝑦‒𝑥=3A．直接把①代入②，消去 yB．直接把①代入②，消去 xC．直接把②代入①，消去 yD．直接把②代入①，消去 x3．二元一次方程组 的解为( ){x＋ y＝ 5，2x－ y＝ 4)A. B.{x＝ 1y＝ 4) {x＝ 2y＝ 3)C. D.{x＝ 3y＝ 2) {x＝ 4y＝ 1)4．方程组 的解为____________．{x＋ y＝ 12，y＝ 2 )5．用代入法解下列方程组：{y＝ 2x－ 4， ①3x＋ y＝ 1； ② )6.小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少克？5设计意图：通过练习，进一步巩固所学知识，及时发现和解决学生存在的问题；同时培养了学生养成动脑、动手、和合作交流的习惯.六、拓展延伸1．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x＋y＝0，求实数 m 的值．{x＋ 2y＝ 3，3x＋ 5y＝ m＋ 2)2．先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组 {𝑥‒𝑦‒1=0①4(𝑥‒𝑦)‒𝑦=5② 由①，得 x－y＝1.③把③代入②，得 4×1－y＝5，解得 y＝－1.把 y＝－1 代入③，得 x＝0.∴原方程组的解为 {𝑥=0𝑦=‒1这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： {2𝑥‒3𝑦‒2=0①2𝑥‒3𝑦+57 +2𝑦=9② 𝑤𝑤𝑤‒2‒1‒𝑐𝑛𝑗𝑦‒𝑐𝑜𝑚设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通过设置不同层次的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。七、课堂小结1.代入消元法：由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤(1)将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；(2)用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；(3)把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；6(4)写出方程组的解八、教学反思本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由浅入深、循序渐进”的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是 1 的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是 1 的情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教师应该引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要注意把握训练尺度.参考答案随堂练习1、C 2、B 3、C4、 {𝑥=10𝑦=25、解：把方程①代入方程②，得 3x＋2x－4＝1.解得 x＝1.把 x＝1 代入①，得 y＝－2.∴原方程组的解为 {x＝ 1，y＝ － 2.)6、解：根据题意，得解得{x＝ y＋ 50，x＋ y＝ 300＋ 50， ) {x＝ 200，y＝ 150.)答：大苹果的重量为 200 g，小苹果的重量为 150 g.拓展延伸解：1、解：解关于 x，y 的二元一次方程组 得{x＋ 2y＝ 3，3x＋ 5y＝ m＋ 2.) {x＝ 2m－ 11，y＝ 7－ m. )∵x＋y＝0，∴2m－11＋7－m＝0，解得 m＝4.2、解：由①，得 2x－3y＝2.③把③代入②，得 ＋2y＝9，解得 y＝4.2＋ 57把 y＝4 代入③，得 2x－3×4＝2，解得 x＝7.∴原方程组的解为 {x＝ 7，y＝ 4.)1课题：8.2.2 消元——解二元一次方程组(加减消元法)教学目标：理解解二元一次方程组的思路是“消元” ，体会化归思想；会用加减消元法解简单的二元一次方程组，并能选择适当方法解二元一次方程组；会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系．重点：用加减消元法解简单的二元一次方程组．难点：用二元一次方程组解简单的实际问题．教学流程：一、知识回顾问题 1：解二元一次方程组的基本思路：答案：二元一次方程组――消元－→一元一次方程问题 2：用代入法解二元一次方程组的关键？答案：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.二、探究 1问题 1：还记得等式的性质 1 吗？答案：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果 a＝ b，那么 a±c＝ b±c问题 2：方程组 除了用代入法求解外，还有其他方法呢？ 016xy① ②追问 1：这两个方程中， y 的系数有什么关系？答案：两个方程中 y 的系数相等追问 2：用②－①可消去未知数 y 吗？解：②－①，得2x＋ y－( x＋ y)＝16－10解得：x＝6把 x＝6 代入①得：y＝42所以这个方程组的解是： 64xy追问 3：①－②也能消去未知数 y，求出 x 吗？问题 3：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：分析：未知数 y 的系数互为相反数，由①＋②，可消去未知数 y，从而求出未知数 x的值.解：①＋②，得3x＋10 y＋(15 x－10 y)＝2.8＋818x＝10.8x＝0.6把 x＝0.6 代入①，得3×0.6＋10 y＝2.8y＝0.1所以这个方程组的解是： 0.61xy追问：①＋②，这一步的依据是什么？答案：等式的性质 1问题 4：你能归纳刚才的解法吗？定义：当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.练习 1：(1)如何用加减消元法消去未知数 x，求出未知数 y？解：(1)①－②，得x＋3 y－( x＋2 y)＝13－103y＝3(2)①＋②，得2x－5 y＋(4 y－2 x)＝－6＋4－ y＝－2y＝2练习 1：(2)如何用加减消元法消去未知数 y，求出未知数 x？ 3 ()0xy①② 56()4 xy①②追问 1：怎样才能使未知数 y 的系数相同？答案：应用等式的性质 2，即：如果 a＝ b，那么 ac＝ bc；如果 a＝ b， c≠0，那么abc解：(1)①×2，得：2x＋6 y＝26③②×3，得：3x＋6 y＝30④④－③，得：x＝4追问 2：怎样才能使未知数 y 的系数相反？(2)①×4，得：8x－20 y＝－24③②×5，得：20y－10 x＝20④③＋④，得：－2 x＝－4x＝2三、例 1用加减消元法解方程组 316 5yx①②解：①×3，得：9x＋12 y＝48③②×2，得：410x－12 y＝66④③＋④，得：19x＝114x＝6把 x＝6 代入①，得：3×6＋4 y＝164y＝－2 1所以这个方程组的解是：62xy追问 1：把 x＝6 代入②可以解得 y 吗？追问 2：如果用加减法消去 x 应如何去解？解得的结果一样吗？练习 2：用加减消元法解方程组： ； 9(1)321y①② 258()3 xy①②解：(1)①＋②，得：4x＝8x＝2把 x＝2 代入①，得：2＋2 y＝9 7所以这个方程组的解是： 2xy(2)①×3，得：6x＋15 y＝24③②×2，得：6x＋4 y＝10④③－④，得：11y＝14514y把 代入①，得：14y14258x9所以这个方程组的解是： 14xy归纳 1：解二元一次方程组的基本思路：归纳 2：加减法解二元一次方程组的主要步骤四、例 22 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2h 共收割小麦 3.6hm2，3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5h 收割小麦 8hm2．1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？问题 1：题中有哪些未知量？大收割机工作效率和小收割机工作效率这两种未知的量．问题 2：题中包含哪些等量关系？62 台大收割机 2 小时的工作量＋5 台小收割机 2 小时的工作量＝3.63 台大收割机 5 小时的工作量＋2 台小收割机 5 小时的工作量＝8解：设 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时分别收割小麦 xhm2和 yhm2.根据题意可列方程组： ()3.6528xy追问：你能用加减消元法解这个方程组吗？去括号得： 4103.658xy①②②－①，得： .x解这个方程，得： 0.4把 x＝0.4 代入①得： .13.6y解这个方程，得： 0.2因此，这个方程组的解是： 4.xy答：1 台大收割机每小时收割小麦 0.4hm2，1 台小收割机每小时收割小麦 0.2hm2.归纳：解决实际问题的基本思路：五、应用提高1.下面两个方程组各用什么方法比较简便？7；21.5()0.863xy23()5xy答案：(1)用代入法比较简便；(2)用加减法比较简便追问：在解二元一次方程组时，我们依据什么来选择更简便的方法？2.列二元一次方程组解决下面问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？解：设鸡有 x 只，兔有 y 只，根据题意可列方程组：35249y追问：用哪种方法解方程组比较简便呢？解得： 1xy答：鸡有 23 只，兔有 12 只.六、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.解二元一次方程组的核心思想是什么？2.加减法解二元一次方程组大致有哪些步骤？3.如何列二元一次方程组解决实际问题？七、达标测评1.选择适当的方法解下列方程组：；327(1)61ut253()4xy答案：(1) ；(2)2ty2.一条船顺流航行，每小时行 20km；逆流航行，每小时行 16km．求轮船在静水中的速度与水的流速．解：设轮船在静水中的速度为 xkm/h，水的流速为 ykm/h，根据题意可列方程组：2016xy解得： 82xy8答：轮船在静水中的速度为 18km/h，水的流速为 2km/h.3.运输 360t 化肥，装载了 6 节火车车厢和 15 辆汽车；运输 440t 化肥，装载了 8 节火车车厢和 10 辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？解：设每节火车车厢平均装 x 吨化肥，每辆汽车平均装 y 吨化肥，根据题意可列方程组： 6153084xy解得： xy答：每节火车车厢平均装 50 吨化肥，每辆汽车平均装 4 吨化肥.八、布置作业教材 98 页习题 8.2 第 3(2)(4)、5、6 题．1实际问题与二元一次方程组情感态度和价值观目标通过列方程组解决实际问题,培养应用数学意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.能力目标让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生数学应用能力。学习目标知识目标 1.会用二元一次方程组解决实际问题.2.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想。重点 根据复杂应用题的题意列出二元一次方程组难点 将实际情景中的数量关系抽取出来，并用二元一次方程组表示学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领教学过程教学环节 教师活动 学生活动 设计意图导入新课 问题：利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考 讲授新课 出示例题例 1、如图，长青化工厂与 A， B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t· km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？学生按照问题看书，教师巡视 学生通过思考，口述销售款与产品数量有关，原引导学生独立思考，培养自主学习的能力4请同学们讨论以下各题：(1)如何设未知数？(2)如何确定题中数量关系？根据表中信息，能否列出方程组？解:根据图表，列出方程组解这个方程组,得8 000x-1 000y-15 000-97 200=8 000×300-1 000×400-15 000-97 200=1 887 800（元）答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.练一练：某村 18 位农民筹集 5 万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重 x 吨，原料重 y 吨．学生根据表中的信息得出方程组，找代表回答。学生自主解答，要求先找出等量关系，然后列出方程组让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。7在现有情况下,这 18 位农民应承包多少公顷田地,怎样安排终止才能使所有人都有工资,且资金正好够用？例 2、某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺钉或 2 000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析： 将题中出现的量在表格中呈现 解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人.依题意，可列方程组：解方程组，得 答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.练习：一个工厂共 42 名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片 120 片或长方形铁片 80 片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密根据问题，学生交流，思考，填写表格学生分组解答，提示，先找出等量关系，然后列出方程组，解答。板书培养学生分析问题的能力通过例题的解答，让学生真正掌握二元一次方程组的应用，同时培养学生变相思考问题的能力。8封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?例 3、甲乙两人在周长为 400 米的环形跑道上练跑，如果相向出发每隔 2.5 分相遇一次，如果同向出发每隔 10 分钟相遇一次，假定两人速度不变且甲快乙慢，求甲乙两人的速度。解：设：甲速度为 x 米/秒，乙速度为 y 米/秒。由题意得：解得：经检验，符合题意。答：甲速度为 60 米/秒，乙速度为 100 米/秒。练习：某跑道一圈长 400 米，若甲，乙两运动员从起点同时出发，相背而行，25 秒后相遇；若甲从起点先跑 2 秒钟，乙从该点同向出发追甲，再过 3 秒钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度?学生思考，得出等量关系： 甲 2.5 分钟跑的路程+乙2.5 分钟跑的路程=400乙 10 分钟跑的路程-甲10 分钟跑的路程=400学生自主解答。巩固知识，运用知识。巩固提升 1、陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束(4 个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )8A.19 B.18 C.16 D.15答案：C2、某高校有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，经过测试知：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1 680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2 280 名学生就餐.同时开放这 7 个餐厅，可供__________名学生就餐.答案：5 5203、某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对A，B 两种商品实行打折出售．打折前，购买 5 件A 商品和 1 件 B 商品需用 84 元；购买 6 件 A 商品和 3 件 B 商品需用 108 元．而店庆期间，购买 50件 A 商品和 50 件 B 商品仅需 960 元，这比不打折少花多少钱？答案：解：设买一件 商品需要 x 元，买一件 商品需要 y 元．根据题意，得 解得 所以 = (50×16+50×4)-940=1000-940=60.答：这比不打折多花 60 元．4、某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知 45 座客车租金为每辆 220 元，60学生自主解答，教师讲解答案。鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，把实际问题转化为二元一次方程组解决；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。8座客车租金为每辆 300 元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45 座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？答案：解：(1)设这批游客的人数是 x 人，原计划租用 45 座客车 y 辆.根据题意，得解得：答：这批游客的人数是 240 人，原计划租用 45 座客车 5 辆(2)租 45 座客车：240÷45≈5.3(辆)，所以需租 6 辆，租金为 220×6=1 320(元).租 60 座客车：240÷60=4(辆)，所以需租 4辆，租金300×4=1 200(元).所以租用 4 辆 60 座客车更合算.答：租用 4 辆 60 座客车更合算.5、某服装店用 6 000 元购进 A，B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润 3 800 元(毛利润=售价-进价)，这两种服装的进价、标价如表所示：类型价格 A 型 B 型进价(元/件) 60 100标价(元/件) 100 160(1)这两种服装各购进的件数8(2)如果 A 种服装按标价的 8 折出售，B 种服装按标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？答案：解：(1)设 A 种服装购进 x 件，B 种服装购进 y 件，由题意得解得60160,438.xy50,3.y答：购进 A 种服装 50 件，购进 B 种服装 30件.(2)由题意，得 3 800-50(100×0.8-60)-30(160×0.7-100)=3 800-1 000-360=2 440(元).答：服装店比按标价出售少收入 2 440 元.课堂小结 这节课我们借助了列表分析具体问题中蕴涵的数量关系,使题目中的相等关系随之而清晰地浮现出来,我们采取了间接设未知数列出方程组,并通过了解二元一次方程组使问题得以解决,提高了列方程组的技能.学生归纳本节所学知识培养学生总结，归纳的能力。板书 例 1、解:根据图表，列出方程组解这个方程组,得8 000x-1 000y-15 000-97 200=8 000×300-1 000×400-15 000-97 200=1 887 800（元）答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.例 2、8解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人.依题意，可列方程组：解方程组，得 答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.例 3、解：设：甲速度为 x 米/秒，乙速度为 y 米/秒。由题意得：解得：经检验，符合题意。答：甲速度为 60 米/秒，乙速度为 100 米/秒。1课题：8.3 实际问题与二元一次方程组教学目标：能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的等量关系，列出方程组，并解决生活中一些实际问题.重点：分析题目给出的实际问题，找出题中的等量关系，根据等量关系，列二元一次方程组.难点：根据题目找出等量关系.教学流程：一、知识回顾问题：解决实际问题的基本思路：二、探究 1养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675kg；一周后又购进 12 头大牛和5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天约需饲料18～20kg，每头小牛 1 天约需饲料 7～8kg.你能通过计算检验他的估计吗？问题 1：“你能通过计算检验他的估计吗？”如何理解这句话？问题 2：题中有哪些未知量？答案：每头大牛 1 天饲料用量和每头小牛 1 天饲料用量这两种未知的量．问题 3：题中包含哪些等量关系？答案：30 头大牛 1 天所需饲料＋15 头小牛 1 天所需饲料＝原来 1 天的饲料总量42 头大牛 1 天所需饲料＋20 头小牛 1 天所需饲料＝现在 1 天的饲料总量问题 4：你能根据数量关系列出方程组吗？解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 xkg 和 ykg.根据题意，得230156742940xy追问：你能用一元一次方程解决这个问题吗？解这个方程组，得 205xy答：每头大牛 1 天约需饲料 20kg，每头小牛 1 天约需饲料 5kg．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.问题 5：在列方程组之前我们先做了哪些工作？练习 1：某市现有 42 万人，预计一年后城镇人口将增加 0.8%，农村人口将增加1.1%，这样全市人口将增加 1%，求这个市现有城镇人口与农村人口各多少万人？解：设这个市城镇人口 x 万人，农村人口 y 万人.根据题意可列方程组：或42(10.8%)(1.)42(1%)xyy 420.81.1%xy解这个方程组，得 2y答：这个市现有城镇人口 14 万人，农村人口 28 万人.三、探究 2据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200m、宽100m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3：4？问题 1：本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？问题 2：长度涉及的数量关系：答案： AE＋ BE＝200m0xy问题 3：产量比与种植面积的比有什么关系?答案：甲总产量：乙总产量＝ S 甲 ： S 乙 ×2310:23:4xy问题 4：你能根据数量关系列出方程组，并解决这个问题吗？解：如图，一种种植方案为：甲乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE.此时设 AE＝ xm， BE＝ ym，根据由题意可列方程组：201:3:4y解这个方程组，得： 80xy答：过长方形土地的长边上离一端 120m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物.问题 5：你还能设计其他种植方案吗？数量关系：AE＋ DE＝100m甲总产量：乙总产量＝ S 甲 ： S 乙 ×2练习 2：有两个长方形，第一个长方形长与宽之比为 5∶4，第二个长方形的长、宽之比为 3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长多 112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的 2 倍还多 6cm，求这两个长方形的面积.解：设第一个长方形长为 5xcm，则宽为 4xcm;第二个长方形长为 3ycm，则宽为 2ycm.根据题意可列方程组： (54)(3)1226xy解得： 95xy∴第一个长方形面积为：5×9×4×9＝1620(cm 2)第二个长方形面积为：3×5×2×5＝150(cm 2)答：这两个长方形的面积分别为 1620cm2、150cm 2.4四、探究 3如图，长青化工厂与 A， B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？问题 1：“1.2 元/(t·km)”是什么意思？答案：每吨货物每千米的运费是 1.2 元问题 2：销售款与哪种量有关？原料费与哪种量有关？答案：产品数量；原料数量问题 3：公路运费和铁路运费与哪些量有关呢？答案：产品数量；原料数量问题 4：题中包含哪些等量关系?答案：产品的公路运费＋原料的公路运费＝公路总运费产品的铁路运费＋原料的铁路运费＝铁路总运费问题 5：你能完成下面的表格吗？产品 xt 原料 yt 合计公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 1.5(20x＋10 y)铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y1.2(110x＋120 y)价值/元 8000x 1000y问题 6：现在，你能解决这个问题了吧？解：设制成 xt 产品，购买 yt 原料.根据题意可列方程组：1.520150972解得： 304xy分析：题目所求数值＝销售款－原料费－运输费销售款：8000 x＝8000×300＝2400000原料费：1000 y＝1000×400＝400000∴2400000－800000－15000－97200＝18878005答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1887800 元．练习 3：一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次 第二次甲种货车/辆 2 5乙种货车/辆 3 6累计运货吨数/吨 15.5 35现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30 元计算，你能算出货主应付运费多少元吗?解：设每辆甲车装 x 吨，每辆乙车装 y 吨，根据题意可列方程：215.63xy解这个方程组，得： 42.5xy∴应付运费：30×(3×4＋5×2.5)＝735答：货主应付运费为 735 元.五、归纳解决实际问题的基本思路：六、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.如何用二元一次方程组解决实际问题？2.在什么情况下考虑选择设间接未知数？七、达标测评1.某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐厅和 2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅和 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐.6若 7 个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的 5500 名学生就餐？请说明理由。解：设 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供 x 名、 y 名学生就餐，根据题意可列方程组：2680xy解得： 9360xy若 7 个餐厅同时开放，则有：5×960＋2×360＝55205520＞5500答：若 7 个餐厅同时开放，可以供应全校的 5500 名学生就餐.2.从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡每小时走 5km，那么从甲地到乙地需 54min，从乙地到甲地需 42min，甲地到乙地全程是多少?解：设坡路长 xkm，平路长 ykm，根据题意可列方程组：543602y解得： 1.56xy∴ x＋ y＝3.1答：甲地到乙地全程是 3.1km.3.某牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润 500 元，若制成酸奶销售，每吨可获利润 1200 元，若制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元.该厂生产能力如下：每天可加工 3 吨酸奶或 1 吨奶片，受人员和季节的限制，两种方式不能同时进行.受季节的限制，这批牛奶必须在 4 天内加工并销售完毕，为此该厂制定了两套方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成你认为哪种方案获利最多，为什么?解：方案一：生产奶片 4 天，共制成 4 吨奶片，获利 2000×4＝8000(元)7其余 5 吨直接销售，获利 500×5＝2500(元)∴共获利：8000＋2500＝10500(元)方案二：设生产奶片用 x 天，生产酸奶用 y 天，根据题意可列方程组：439xy解得： 1.52xy∴共获利：1.5×1×2000＋2.5×3×1200＝12000(元)10500＜12000答：第二种方案获得最多，为 12000 元.八、布置作业教材 101 页习题 8.3 第 2、6 题．