【步步高】2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形试题 理（打包7套）.zip

1第四章 三角函数、解三角形第 1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4 的值( )．A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.答案 A2．已知点 P(sin ，cos )落在角 θ 的终边上，且 θ ∈[0,2π)，则 θ 是第________5π4 3π4象限角．( )A．一 B．二C．三 D．四解析 因 P点坐标为(－ ，－ )，∴ P在第三象限．22 22答案 C3．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为 ( )．A．40π cm 2 B．80π cm 2 C．40cm 2 D．80cm 2解析 72°＝ ，∴ S 扇形 ＝ αR 2＝ × ×202＝80π(cm 2)．2π5 12 12 2π5答案 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若 sin α ＝sin β ，则 α 与 β 的终边相同；⑤若 cos θ 0，tan5OP＝1.若 α ＝ ，则 sinα ＋cos α ＝1.π2由已知 00.13．一个扇形 OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB.解 设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，则Error! 解得Error!∴圆心角 α ＝ ＝2.lr如图，过 O作 OH⊥ AB于 H，则∠ AOH＝1 rad.∴ AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴ AB＝2sin 1 (cm)．14． 如图所示， A， B是单位圆 O上的点，且 B在第二象限， C是圆与 x轴正半轴的交点， A点的坐标为 ，△ AOB为正(35， 45)三角形．(1)求 sin∠ COA；(2)求 cos∠ COB.解 (1)根据三角函数定义可知 sin∠ COA＝ .45(2)∵△ AOB为正三角形，∴∠ AOB＝60°，又 sin∠ COA＝ ，cos∠ COA＝ ，45 35∴cos∠ COB＝cos(∠ COA＋60°)＝cos∠ COAcos 60°－sin∠ COAsin 60°＝ · － · ＝ .35 12 45 32 3－ 43101第 2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ＝( )(－20π3 )A. B. C．－ D．－12 32 12 32解析 cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－ ，故选 C.(－20π3 ) (6π ＋ 2π3) 2π3 (π － π3) π3 12答案 C 2．已知 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ ＝ ( )．A．－ B. C．－ D.43 54 34 45解析 由于 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ ＝＝ ＝ ＝ .sin2θ ＋ sin θ cos θ － 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ tan2θ ＋ tan θ － 2tan2θ ＋ 1 22＋ 2－ 222＋ 1 45答案 D3．若 ＝ ，则 tan 2α ＝ ( )．sin α ＋ cos αsin α － cos α 12A．－ B. C．－ D.34 34 43 43解析 由 ＝ ，得 ＝ ，所以 tan α ＝－3，所以 tan 2α ＝sin α ＋ cos αsin α － cos α 12 tan α ＋ 1tan α － 1 12＝ .2tan α1－ tan2α 34答案 B4．已知 f(cos x)＝cos 3 x，则 f(sin 30°)的值为( )．A．0 B．1 C．－1 D.32解析 ∵ f(cos x)＝cos 3 x，∴ f(sin 30°)＝ f(cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若 sin θ ，cos θ 是方程 4x2＋2 mx＋ m＝0 的两根，则 m的值为( )．A．1＋ B．1－5 5C．1± D．－1－5 5解析 由题意知：sin θ ＋cos θ ＝－ ，sin θ cos θ ＝ ，m2 m4又(sin θ ＋cos θ )2＝1＋2sin θ cos θ ，2∴ ＝1＋ ，m24 m2解得： m＝1± ，又 Δ ＝4 m2－16 m≥0，5∴ m≤0 或 m≥4，∴ m＝1－ .5答案 B6．若 Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N *)，则在 S1， S2，…， S100中，正数的个数π7 2π7 nπ7是 ( )．A．16 B．72 C．86 D．100解析 由 sin ＝－sin ，sin ＝－sin ，…，sin ＝－sin ，sin π7 8π7 2π7 9π7 6π7 13π7＝sin ＝0，所以 S13＝ S14＝0.7π7 14π7同理 S27＝ S28＝ S41＝ S42＝ S55＝ S56＝ S69＝ S70＝ S83＝ S84＝ S97＝ S98＝0，共 14个，所以在S1， S2，…， S100中，其余各项均大于 0，个数是 100－14＝86(个)．故选 C.答案 C二、填空题7．已知 cosα ＝－ ，且 α 是第二象限的角，则 tan(2π－ α )＝________.513解析 由 α 是第二象限的角，得 sinα ＝ ＝ ，tan α ＝ ＝－ ，则1－ cos2α1213 sinαcosα 125tan(2π－ α )＝－tan α ＝ .125答案 1258．已知 α 为第二象限角，则 cos α ＋sin α ＝________.1＋ tan2α1＋ 1tan2α解析 原式＝cos α ＋sin α1＋ sin2αcos2α 1＋ cos2αsin2α＝cos α ＋sin α ＝cos α ＋sin α ＝0.1cos2α 1sin2α 1－ cos α 1sin α答案 09．已知 sin α ＝ ＋cos α ，且 α ∈ ，则 的值为________．12 (0， π2) cos 2αsin(α － π4)解析 依题意得 sin α －cos α ＝ ，又(sin α ＋cos α )2＋(sin α －cos α )2＝2，12即(sin α ＋cos α )2＋ 2＝2，故(sin α ＋cos α )2＝ ；又 α ∈ ，因此有(12) 74 (0， π2)3sin α ＋cos α ＝ ，所以 ＝ ＝－ (sin α ＋cos 72 cos 2αsin(α － π4) cos2α － sin2α22 sin α － cos α  2α )＝－ .142答案 －14210． f(x)＝ asin(π x＋ α )＋ bcos(π x＋ β )＋4( a， b， α ， β 均为非零实数)，若 f(2 012)＝6，则 f(2 013)＝________.解析 f(2 012)＝ asin(2 012π＋ α )＋ bcos(2 012π＋ β )＋4＝ asin α ＋ bcos β ＋4＝6，∴ asin α ＋ bcos β ＝2，∴ f(2 013)＝ asin(2 013π＋ α )＋ bcos(2 013π＋ β )＋4＝－ asin α － bcos β ＋4＝2.答案 2三、解答题11．已知 ＝3＋2 ，1＋ tan π ＋ α 1＋ tan 2π － α  2求 cos2(π－ α )＋sin ·cos ＋2sin 2(α －π)的值．(3π2＋ α ) (π2＋ α )解析 由已知得 ＝3＋2 ，1＋ tan α1－ tan α 2∴tan α ＝ ＝ ＝ .2＋ 224＋ 22 1＋ 22＋ 2 22∴cos 2(π－ α )＋sin cos ＋2sin 2(α －π)(3π2＋ α ) (π2＋ α )＝cos 2α ＋(－cos α )(－sin α )＋2sin 2α＝cos 2α ＋sin α cos α ＋2sin 2α＝cos2α ＋ sin α cos α ＋ 2sin2αsin2α ＋ cos2α＝1＋ tan α ＋ 2tan2α1＋ tan2α＝ ＝ .1＋ 22＋ 11＋ 12 4＋ 2312．已知 sin(3π＋ α )＝2sin ，求下列各式的值：(3π2＋ α )(1) ；(2)sin 2α ＋sin 2 α .sin α － 4cos α5sin α ＋ 2cos α4解 法一 由 sin(3π＋ α )＝2sin ，得 tan α ＝2.(3π2＋ α )(1)原式＝ ＝ ＝－ .tan α － 45tan α ＋ 2 2－ 45×2＋ 2 16(2)原式＝sin 2α ＋2sin α cos α ＝sin2α ＋ 2sin α cos αsin2α ＋ cos2α＝ ＝ .tan2α ＋ 2tan αtan2α ＋ 1 85法二 由已知得 sin α ＝2cos α .(1)原式＝ ＝－ .2cos α － 4cos α5×2cos α ＋ 2cos α 16(2)原式＝ ＝ ＝ .sin2α ＋ 2sin α cos αsin2α ＋ cos2α sin2α ＋ sin2αsin2α ＋ 14sin2α 8513．是否存在 α ∈ ， β ∈(0，π)，使等式 sin(3π－ α )(－π2， π2)＝ cos ， cos(－ α )＝－ cos(π＋ β )同时成立？若存在，求出 α ， β 的2 (π2－ β ) 3 2值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角 α ， β 满足条件，则由已知条件可得Error!Error!由① 2＋② 2，得 sin2α ＋3cos 2α ＝2.∴sin 2α ＝ ，∴sin α ＝± .∵ α ∈ ，∴ α ＝± .12 22 (－ π2， π2) π4当 α ＝ 时，由②式知 cos β ＝ ，π4 32又 β ∈(0，π)，∴ β ＝ ，此时①式成立；π6当 α ＝－ 时，由②式知 cos β ＝ ，π4 32又 β ∈(0，π)，∴ β ＝ ，此时①式不成立，故舍去．π6∴存在 α ＝ ， β ＝ 满足条件．π4 π614．已知函数 f(x)＝tan .(2x＋π4)(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 α ∈ ，若 f ＝2cos 2 α ，求 α 的大小．(0，π4) (α2)5解 (1)由 2x＋ ≠ ＋ kπ， k∈Z，得 x≠ ＋ ， k∈Z.所以 f(x)的定义域为π4 π2 π8 kπ2， f(x)的最小正周期为 .{x∈ R|x≠π8＋ kπ2， k∈ Z} π2(2)由 f ＝2cos 2 α ，得 tan ＝2cos 2 α ，(α2) (α ＋ π4)＝2(cos 2α －sin 2α )，sin(α ＋ π4)cos(α ＋ π4)整理得 ＝2(cos α ＋sin α )(cos α －sin α )．sin α ＋ cos αcos α － sin α因为 α ∈ ，所以 sin α ＋cos α ≠0.(0，π4)因此(cos α －sin α )2＝ ，即 sin 2α ＝ .12 12由 α ∈ ，得 2α ∈ .所以 2α ＝ ，即 α ＝ .(0，π4) (0， π2) π6 π121第 3讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数 f(x)＝2sin xcos x是( )．A．最小正周期为 2 π 的奇函数B．最小正周期为 2 π 的偶函数C．最小正周期为 π 的奇函数D．最小正周期为 π 的偶函数解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2 x.∴ f(x)是最小正周期为 π 的奇函数．答案 C2．已知函数 f(x)＝sin( x＋ θ )＋ cos(x＋ θ ) 是偶函数，则 θ 的值为3 (θ ∈ [－π2， π2])( )．A．0 B. C. D.π6 π4 π3解析 据已知可得 f(x)＝2sin ，若函数为偶函数，则必有 θ ＋ ＝ kπ＋(x＋ θ ＋π3) π3(k∈Z)，又由于 θ ∈ ，故有 θ ＋ ＝ ，解得 θ ＝ ，经代入检验符合π2 [－ π2， π2] π3 π2 π6题意．答案 B3．函数 y＝2sin (0≤ x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )．(π6x－ π3)A．2－ B．0 C．－1 D．－1－3 3解析 ∵0≤ x≤9，∴－ ≤ x－ ≤ ，∴－ ≤sin ≤1，∴－ ≤2sinπ3 π6 π3 7π6 32 (π6x－ π3) 3≤2.∴函数 y＝2sin (0≤ x≤9)的最大值与最小值之和为 2－ .(π6x－ π3) (π x6－ π3) 3答案 A4．函数 f(x)＝(1＋ tan x)cos x的最小正周期为( )．3A．2π B. C．π D.3π2 π2解析 依题意，得 f(x)＝cos x＋ sin x＝2sin .故最小正周期为 2π.3 (x＋π6)答案 A5．函数 y＝sin 2x＋sin x－1 的值域为( )．A．[－1,1] B.[－54， － 1]2C. D.[－54， 1] [－ 1， 54]解析 (数形结合法) y＝sin 2x＋sin x－1，令 sin x＝ t，则有y＝ t2＋ t－1， t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当 t＝－ 及12t＝1 时，函数取最值，代入 y＝ t2＋ t－1 可得 y∈ .[－54， 1]答案 C6．已知 ω 0,0sin Asin B，则△ ABC为钝角三角形；④若 a＋ b＝0，则函数 y＝ asin x－ bcos x的图象的一条对称轴方程为 x＝ .π4其中是真命题的序号为________．解析 ①∵ α ＝2 kπ＋ (k∈Z)⇒tan α ＝ ，π3 3而 tan α ＝ ⇒/ α ＝2 kπ＋ (k∈Z)，∴①正确．3π3②∵ f(x＋π)＝|2cos( x＋π)－1|＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠ f(x)，∴②错误．③∵cos Acos Bsin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B0，即 cos(A＋ B)0，∵00，(2x＋π6) [－ 12， 1]∴－2 asin ∈[－2 a， a]．∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，(2x＋π6)又∵－5≤ f(x)≤1，∴ b＝－5,3 a＋ b＝1，因此 a＝2， b＝－5.(2)由(1)得 a＝2， b＝－5，∴ f(x)＝－4sin －1，(2x＋π6)6g(x)＝ f ＝－4sin －1(x＋π2) (2x＋ 7π6)＝4sin －1，(2x＋π6)又由 lg g(x)＞0，得 g(x)＞1，∴4sin －1＞1，∴sin ＞ ，(2x＋π6) (2x＋ π6) 12∴2 kπ＋ ＜2 x＋ ＜2 kπ＋ ， k∈Z，π6 π6 5π6其中当 2kπ＋ ＜2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z 时， g(x)单调递增，即π6 π6 π2kπ＜ x≤ kπ＋ ， k∈Z，π6∴ g(x)的单调增区间为 ， k∈Z.(kπ ， kπ ＋π6]又∵当 2kπ＋ ＜2 x＋ ＜2 kπ＋ ， k∈Z 时， g(x)单调递减，即π2 π6 5π6kπ＋ ＜ x＜ kπ＋ ， k∈Z.π6 π3∴ g(x)的单调减区间为 ， k∈Z.(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)综上， g(x)的递增区间为 (k∈Z)；递减区间为(kπ ， kπ ＋π6](k∈Z)．(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)1第 4 讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数 f(x)＝sin (ω 0)的最小正周期为 π，则该函数的图像( )(ω x＋π 3)A．关于点 对称 B．关于直线 x＝ 对称(π 3， 0) π 4C．关于点 对称 D．关于直线 x＝ 对称(π 4， 0) π 3解析 由已知， ω ＝2，所以 f(x)＝sin ，因为 f ＝0，所以函数图像关于点(2x＋π 3) (π 3)中心对称，故选 A.(π 3， 0)答案 A 2.要得到函数 cos(21)yx的图像，只要将函数 cos2yx的图像（ ）A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位解析 因为 1cos(2)cs()2yxx,所以将 cos2yx向左平移 个单位,故选C.答案 C3. 函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )A0， ω 0，| φ |0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 φ 的最小值为 ( )．A. B. C. D.π 6 π 3 π 4 π12解析 将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 φ 个单位，得到函数 y＝sin 2(x＋ φ )＝sin(2 x＋2 φ )的图象，由题意得 2φ ＝ ＋ kπ( k∈Z)，故 φ 的最小值为 .π 2 π 4答案 C5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 P(x， y)．若初始位置为 P0 ，当秒针从 P0(注：此时(32， 12)t＝0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ( )．A． y＝sin B． y＝sin(π30t＋ π 6)(－ π60t－ π 6)C． y＝sin D． y＝sin(－π30t＋ π 6) (－ π30t－ π 3)解析 由题意可得，函数的初相位是 ，排除 B，D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时π 6针旋转，即 T＝ ＝60，所以| ω |＝ ，即 ω ＝－ ，故选 C.|2πω | π30 π30答案 C6．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝ Asin(ωt ＋ φ )(A0， ω 0,00， －π 2 ≤ φ ≤ π 2)点和最低点的距离为 2 ，则 ω ＝________.2解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 ，而 f(x)max－ f(x)min＝2，由勾股定2理可得 ＝ ＝2 ，∴ T＝4，∴ ω ＝ ＝ .T2  22 2－ 22 2πT π 2答案 π 28．已知函数 f(x)＝3sin (ω ＞0)和 g(x)＝2cos(2 x＋ φ )＋1 的图象的对称轴完全(ω x－π 6)相同，若 x∈ ，则 f(x)的取值范围是________．[0，π 2]解析 ∵ f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同，∴ f(x)与 g(x)的最小正周期相等，∵ ω ＞0，∴ ω ＝2，∴ f(x)＝3sin ，∵0≤ x≤ ，∴－ ≤2 x－ ≤ ，∴－ ≤sin ≤1，∴－(2x－π 6) π 2 π 6 π 6 5π6 12 (2x－ π 6) 32≤3sin ≤3，即 f(x)的取值范围是 .(2x－π 6) [－ 32， 3]答案 [－32， 3]9．已知函数 f(x)＝－2sin(2 x＋ φ )(|φ |π)，若 是 f(x)的一个单调递增区间，(π 8， 5π8)则 φ 的值为________．解析 令 ＋2 kπ≤2 x＋ φ ≤ ＋2 kπ， k∈Z， k＝0 时，有 － ≤ x≤ － ，此π 2 3π2 π 4 φ 2 3π4 φ 2时函数单调递增，若 是 f(x)的一个单调递增区间，则必有Error!(π 8， 5π8)解得Error! 故 φ ＝ .π 44答案 π 410．在函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A＞0， ω ＞0)的一个周期内，当 x＝ 时有最大值 ，当π 9 12x＝ 时有最小值－ ，若 φ ∈ ，则函数解析式 f(x)＝________.4π9 12 (0， π 2)解析 首先易知 A＝ ，由于 x＝ 时 f(x)有最大值 ，当 x＝ 时 f(x)有最小值－ ，12 π 9 12 4π9 12所以 T＝ ×2＝ ， ω ＝3.又 sin ＝ ， φ ∈ ，解得(4π9－ π 9) 2π3 12 (3×π 9＋ φ ) 12 (0， π 2)φ ＝ ，故 f(x)＝ sin .π 6 12 (3x＋ π 6)答案 sin12 (3x＋ π 6)三、解答题11．已知函数 f(x)＝ sin2x＋2cos 2x.3(1)将 f(x)的图像向右平移 个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)的图像，π12求 g(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间．解 (1)依题意 f(x)＝ sin2x＋2·3cos2x＋ 12＝ sin2x＋cos2 x＋13＝2sin ＋1，(2x＋π 6)将 f(x)的图像向右平移 个单位长度，得到函数 f1(x)π12＝2sin ＋1＝2sin2 x＋1 的图像，该函数的周期为 π，若将其周期变为[2(x－π12)＋ π 6]2π，则得 g(x)＝2sin x＋1.(2)函数 f(x)的最小正周期为 T＝π，当 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ (k∈Z)时，函数单调递增，π 2 π 6 π 2解得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)，π 3 π 6∴函数的单调递增区间为 (k∈Z)．[kπ －π 3， kπ ＋ π 6]12．已知向量 m＝(sin x,1)， n＝( Acos x， cos 2x)(A＞0)，函数 f(x)＝ m·n 的最大3A25值为 6.(1)求 A；(2)将函数 y＝ f(x)的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原π12来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝ g(x)的图象，求 g(x)在 上的值域．12 [0， 5π24]解 (1) f(x)＝ m·n＝ Asin xcos x＋ cos 2x3A2＝ A ＝ A sin .(32sin 2x＋ 12cos 2x) (2x＋ π 6)因为 A＞0，由题意知 A＝6.(2)由(1)知 f(x)＝6sin .(2x＋π 6)将函数 y＝ f(x)的图象向左平移 个单位后得到π12y＝6sin ＝6sin 的图象；[2(x＋π12)＋ π 6] (2x＋ π 3)再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到 y＝6sin 的12 (4x＋ π 3)图象．因此 g(x)＝6sin .(4x＋π 3)因为 x∈ ，所以 4x＋ ∈ ，[0，5π24] π 3 [π 3， 7π6]故 g(x)在 上的值域为[－3,6]．[0，5π24]13．已知函数 f(x)＝2 sin ＋ cos －sin( x＋π)．3x2 π 4 (x2＋ π 4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间π 6[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为 f(x)＝ sin ＋sin x3 (x＋π 2)＝ cos x＋sin x＝23 (32cos x＋ 12sin x)＝2sin ，(x＋π 3)所以 f(x)的最小正周期为 2π.6(2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，π 6∴ g(x)＝ f ＝2sin[ ＋ ](x－π 6) (x－ π 6) π 3＝2sin .(x＋π 6)∵ x∈[0，π]，∴ x＋ ∈ ，π 6 [π 6， 7π6]∴当 x＋ ＝ ，即 x＝ 时，sin ＝1， g(x)取得最大值 2.π 6 π 2 π 3 (x＋ π 6)当 x＋ ＝ ，即 x＝π 时，sin ＝－ ， g(x)取得最小值－1.π 6 7π6 (x＋ π 6) 1214．设函数 f(x)＝ cos ＋sin 2x.22 (2x＋ π 4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g ＝ g(x)，且当 x∈ 时， g(x)(x＋π 2) [0， π 2]＝ － f(x)．求 g(x)在区间[－π，0]上的解析式．12解 (1) f(x)＝ cos ＋sin 2x22 (2x＋ π 4)＝ ＋22(cos 2x cosπ 4－ sin 2x sinπ 4) 1－ cos 2x2＝ － sin 2x，12 12故 f(x)的最小正周期为 π.(2)当 x∈ 时， g(x)＝ － f(x)＝ sin 2x，故[0，π 2] 12 12①当 x∈ 时， x＋ ∈ .[－π 2， 0] π 2 [0， π 2]由于对任意 x∈R， g ＝ g(x)，(x＋π 2)从而 g(x)＝ g ＝ sin(x＋π 2) 12 [2(x＋ π 2)]＝ sin(π＋2 x)＝－ sin 2x.12 12②当 x∈ 时， x＋π∈ .[－ π ， －π 2) [0， π 2)从而 g(x)＝ g(x＋π)＝ sin[2(x＋π)]＝ sin 2x.12 127综合①、②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝Error!1第 5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1. 已知锐角 α 满足 cos 2α ＝cos ，则 sin 2α 等于( )(π4－ α )A. B．－12 12C. D．－22 22解析 由 cos 2α ＝cos (π4－ α )得(cos α －sin α )(cos α ＋sin α )＝ (cos α ＋sin α )22由 α 为锐角知 cos α ＋sin α ≠0.∴cos α －sin α ＝ ，平方得 1－sin 2 α ＝ .22 12∴sin 2 α ＝ .12答案 A2．若 ＝ ，则 tan 2α 等于 ( )．1＋ cos 2αsin 2α 12A. B．－ C. D．－54 54 43 43解析 ＝ ＝ ＝ ，1＋ cos 2αsin 2α 2cos2α2sin α cos α cos αsin α 12∴tan α ＝2，∴tan 2 α ＝ ＝ ＝－ ，故选 D.2tan α1－ tan2α 41－ 4 43答案 D3．已知 α ， β 都是锐角，若 sin α ＝ ，sin β ＝ ，则 α ＋ β ＝ ( )．55 1010A. B.π4 3π4C. 和 D．－ 和－π4 3π4 π4 3π4解析 由 α ， β 都为锐角，所以 cos α ＝ ＝ ，cos β ＝ ＝1－ sin2α255 1－ sin2β.所以 cos(α ＋ β )＝cos α ·cos β －sin α ·sin β ＝ ，所以 α ＋ β ＝ .31010 22 π4答案 A24．已知 sin θ ＋cos θ ＝ ，则 sin θ －cos θ 的值为 ( )．43(02)的两根为 tan A，tan B，且 A， B∈ ，则(－π2， π2)A＋ B＝________.解析 由题意知 tan A＋tan B＝－3 a7，∴tan A0，tan B0，4tan(A＋ B)＝ ＝ ＝1.tan A＋ tan B1－ tan Atan B － 3a1－  3a＋ 1∵ A， B∈ ，∴ A， B∈ ，(－π2， π2) (－ π2， 0)∴ A＋ B∈(－π，0)，∴ A＋ B＝－ .3π4答案 －3π4三、解答题11．已知函数 f(x)＝sin ＋sin ＋2cos 2x－1， x∈R.(2x＋π3) (2x－ π3)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值．[－π4， π4]解 (1) f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋cos π3 π3 π3 π32x＝sin 2 x＋cos 2 x＝ sin .2 (2x＋π4)所以， f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.2π2(2)因为 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数．又[－π4， π8] [π8， π4]f ＝－1， f ＝ ， f ＝1，故函数 f(x)在区间 上的最大值为 ，(－π4) (π8) 2 (π4) [－ π4， π4] 2最小值为－1.12．已知 sin α ＋cos α ＝ ， α ∈ ，sin ＝ ， β ∈ .355 (0， π4) (β － π4) 35 (π4， π2)(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值；(2)求 cos(α ＋2 β )的值．解 (1)由题意得(sin α ＋cos α )2＝ ，95即 1＋sin 2 α ＝ ，∴sin 2 α ＝ .95 45又 2α ∈ ，∴cos 2 α ＝ ＝ ，(0，π2) 1－ sin22α 35∴tan 2 α ＝ ＝ .sin 2αcos 2α 43(2)∵ β ∈ ， β － ∈ ，sin ＝ ，(π4， π2) π4 (0， π4) (β － π4) 355∴cos ＝ ，(β －π4) 45于是 sin 2 ＝2sin cos ＝ .(β －π4) (β － π4) (β － π4) 2425又 sin 2 ＝－cos 2 β ，∴cos 2 β ＝－ ，(β －π4) 2425又 2β ∈ ，∴sin 2 β ＝ ，(π2， π ) 725又 cos2α ＝ ＝ ， α ∈ ，1＋ cos 2α2 45 (0， π4)∴cos α ＝ ，sin α ＝ .255 55∴cos( α ＋2 β )＝cos α cos 2β －sin α sin 2β＝ × － × ＝－ .255 (－ 2425) 55 725 1152513．函数 f(x)＝6cos 2 ＋ sin ωx －3( ω ＞0)在一个周期内的图象如图所示， A为图ω x2 3象的最高点， B、 C为图象与 x轴的交点，且△ ABC为正三角形．(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；(2)若 f(x0)＝ ，且 x0∈ ，求 f(x0＋1)的值．8 35 (－ 103， 23)解 (1)由已知可得， f(x)＝3cos ωx ＋ sin ωx3＝2 sin ，3 (ω x＋π3)又正三角形 ABC的高为 2 ，从而 BC＝4，3所以函数 f(x)的周期 T＝4×2＝8，即 ＝8， ω ＝ .2πω π4函数 f(x)的值域为[－2 ，2 ]．3 3(2)因为 f(x0)＝ ，835由(1)有 f(x0)＝2 sin ＝ ，3 (π x04＋ π3) 835即 sin ＝ .(π x04＋ π3) 45由 x0∈ ，知 ＋ ∈ ，(－103， 23) π x04 π3 (－ π2， π2)所以 cos ＝ ＝ .(π x04＋ π3) 1－ (45)2 356故 f(x0＋1)＝2 sin3 (π x04＋ π4＋ π3)＝2 sin3 [(π x04＋ π3)＋ π4]＝2 3[sin(π x04＋ π3)cosπ4＋ cos(π x04＋ π3)sinπ4]＝2 × ＝ .3 (45×22＋ 35×22) 76514．(1)①证明两角和的余弦公式C(α ＋ β )：cos( α ＋ β )＝cos α cos β －sin α sin β ；②由 C(α ＋ β )推导两角和的正弦公式S(α ＋ β )：sin( α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β .(2)已知 cos α ＝－ ， α ∈ ，tan β ＝－ ， β ∈ ，45 (π ， 32π ) 13 (π2， π )求 cos(α ＋ β )．解 (1)证明 ①如图，在直角坐标系 xOy内作单位圆 O，并作出角 α ， β 与－ β ，使角 α 的始边为 Ox轴非负半轴，交⊙ O于点 P1，终边交⊙ O于点 P2；角 β 的始边为OP2，终边交⊙ O于点 P3，角－ β 的始边为 OP1，终边交⊙ O于点 P4.则 P1(1,0)， P2(cos α ，sin α )， P3(cos(α ＋ β )，sin( α ＋ β ))， P4(cos(－ β )，sin(－ β ))．由 P1P3＝ P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α ＋ β )－1] 2＋sin 2(α ＋ β )＝[cos(－ β )－cos α ]2＋[sin(－ β )－sin α ]2，展开并整理，得 2－2cos( α ＋ β )＝2－2(cos α cos β －sin α sin β )．∴cos( α ＋ β )＝cos α cos β －sin α sin β .②由①易得，cos ＝sin α ，(π2－ α )sin ＝cos α .(π2－ α )sin(α ＋ β )＝cos [π2－  α ＋ β  ]＝cos [(π2－ α )＋  － β  ]＝cos cos(－ β )－sin sin(－ β )(π2－ α ) (π2－ α )＝sin α cos β ＋cos α sin β .∴sin( α ＋ β )＝sin α cos β ＋cos α sin β .7(2)∵ α ∈ ，cos α ＝－ ，∴sin α ＝－ .(π ，32π ) 45 35∵ β ∈ ，tan β ＝－ ，(π2， π ) 13∴cos β ＝－ ，sin β ＝ .31010 1010cos(α ＋ β )＝cos α cos β －sin α sin β＝ × － × ＝ .(－45) (－ 31010) (－ 35) 1010 310101第 6讲 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ ABC中， C＝60°， AB＝ ， BC＝ ，那么 A等于( )． 3 2A．135° B．105° C．45° D．75°解析 由正弦定理知 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin A＝ ，又由题知，BCsin A ABsin C 2sin A 3sin 60° 22BC＜ AB，∴ A＝45°.答案 C2．已知 a， b， c是△ ABC三边之长，若满足等式( a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则角 C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析 由( a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，得( a＋ b)2－ c2＝ ab，∴ c2＝ a2＋ b2＋ ab＝ a2＋ b2－2 abcos C，∴cos C＝－ ，∴ C＝120°.12答案 C3．在△ ABC中，角 A， B， C所对应的边分别为 a， b， c，若角 A， B， C依次成等差数列，且 a＝1， b＝ ，则 S△ ABC＝ ( )．3A. B. C. D．22 332解析 ∵ A， B， C成等差数列，∴ A＋ C＝2 B，∴ B＝60°.又 a＝1， b＝ ，∴ ＝ ，3asin A bsin B∴sin A＝ ＝ × ＝ ，asin Bb 32 13 12∴ A＝30°，∴ C＝90°.∴ S△ ABC＝ ×1× ＝ .12 3 32答案 C4．在△ ABC中， AC＝ ， BC＝2， B＝60°，则 BC边上的高等于 ( )．7A. B. C. D.32 332 3＋ 62 3＋ 394解析 设 AB＝ c， BC边上的高为 h.由余弦定理，得 AC2＝ c2＋ BC2－2 BC·ccos 60°，即7＝ c2＋4－4 ccos 60°，即c2－2 c－3＝0，∴ c＝3(负值舍去)．2又 h＝ c·sin 60°＝3× ＝ ，故选 B.32 332答案 B5．在△ ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且 a＝ λ ， b＝ λ (λ 0)， A＝45°，3则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析 直接根据正弦定理可得 ＝ ，可得 sin asin A bsin BB＝ ＝ ＝ 1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 0.bsin Aa 3λ sin 45°λ 62答案 A6．已知△ ABC的面积为 ， AC＝ ，∠ ABC＝ ，则△ ABC的周长等于32 3 π3( )．A．3＋ B．33 3C．2＋ D.3332解析 由余弦定理得 b2＝ a2＋ c2－2 accos B，即 a2＋ c2－ ac＝3.又△ ABC的面积为acsin ＝ ，即 ac＝2，所以 a2＋ c2＋2 ac＝9，所以 a＋ c＝3，即12 π3 32a＋ c＋ b＝3＋ ，故选 A.3答案 A二、填空题7．如图，△ ABC中， AB＝ AC＝2， BC＝2 ，点 D在 BC边上，∠ ADC＝45°，则 AD的长度3等于________．解析 在△ ABC中，∵ AB＝ AC＝2， BC＝2 ，∴cos C＝ ，∴sin C＝ ；在△ ADC中，332 12由正弦定理得， ＝ ， ∴ AD＝ × ＝ .ADsin C ACsin∠ ADC 2sin 45°12 2答案 28．已知△ ABC的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为________．2解析 依题意得，△ ABC的三边长分别为 a， a,2a(a0)，则最大边 2a所对的角的余23弦值为： ＝－ .a2＋  2a 2－  2a 22a·2a 24答案 －249．在 Rt△ ABC中， C＝90°，且 A， B， C所对的边 a， b， c满足 a＋ b＝ cx，则实数 x的取值范围是________．解析 x＝ ＝ ＝sin A＋cos A＝ sin .又a＋ bc sin A＋ sin Bsin C 2 (A＋ π4)A∈ ，∴ A＋ ，∴ sin ≤1，即 x∈(1， ]．(0，π2) π4 π43π4 22 (A＋ π4) 2答案 (1， ]210．若 AB＝2， AC＝ BC，则 S△ ABC的最大值________．2解析 (数形结合法)因为 AB＝2(定长)，可以令 AB所在的直线为 x轴，其中垂线为 y轴建立直角坐标系，则 A(－1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由 AC＝ BC，2得 ＝ ，化简得( x－3) 2＋ y2＝8， x＋ 1 2＋ y2 2  x－ 1 2＋ y2即 C在以(3,0)为圆心，2 为半径的圆上运动，2所以 S△ ABC＝ ·|AB|·|yC|＝| yC|≤2 ，故答案为 2 .12 2 2答案 2 2三、解答题11．叙述并证明余弦定理．解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ ABC中， a， b， c为 A， B， C的对边，有a2＝ b2＋ c2－2 bccos A， b2＝ c2＋ a2－2 cacos B， c2＝ a2＋ b2－2 abcos C，法一 如图(1)，图(1)a2＝ ·BC→ BC→ ＝( － )·( － )AC→ AB→ AC→ AB→ ＝ 2－2 · ＋ 2AC→ AC→ AB→ AB→ ＝ 2－2| |·| |cos A＋ 2AC→ AC→ AB→ AB→ ＝ b2－2 bccos A＋ c2，即 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A.同理可证 b2＝ c2＋ a2－2 cacos B， c2＝ a2＋ b2－2 abcos C.4法二 图(2)已知△ ABC中 A， B， C所对边分别为 a， b， c，以 A为原点， AB所在直线为 x轴建立直角坐标系，如图(2)则 C(bcos A， bsin A)， B(c,0)，∴ a2＝| BC|2＝( bcos A－ c)2＋( bsin A)2＝ b2cos2A－2 bccos A＋ c2＋ b2sin2A＝ b2＋ c2－2 bccos A.同理可证 b2＝ c2＋ a2－2 cacos B，c2＝ a2＋ b2－2 abcos C.12．在△ ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 cos A＝ ，sin B＝ cos C.23 5(1)求 tan C的值；(2)若 a＝ ，求△ ABC的面积．2解 (1)因为 0＜ A＜π，cos A＝ ，23得 sin A＝ ＝ .1－ cos2A53又 cos C＝sin B＝sin( A＋ C)＝sin Acos C＋cos Asin C5＝ cos C＋ sin C.53 23所以 tan C＝ .5(2)由 tan C＝ ，得 sin C＝ ，cos C＝ .556 16于是 sin B＝ cos C＝ .556由 a＝ 及正弦定理 ＝ ，得 c＝ .2asin A csin C 3设△ ABC的面积为 S，则 S＝ acsin B＝ .12 5213． 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，点 (a， b)在直线 x(sin A－sin B)＋ ysin B＝ csin C上．(1)求角 C的值；(2)若 a2＋ b2＝6( a＋ b)－18，求△ ABC的面积．解 (1)由题意得 a(sin A－sin B)＋ bsin B＝ csin C，5由正弦定理，得 a(a－ b)＋ b2＝ c2，即 a2＋ b2－ c2＝ ab，由余弦定理，得 cos C＝ ＝ ，a2＋ b2－ c22ab 12结合 0Cπ，得 C＝ .π3(2)由 a2＋ b2＝6( a＋ b)－18，得( a－3) 2＋( b－3) 2＝0，从而得 a＝ b＝3，所以△ ABC的面积 S＝ ×32×sin ＝ .12 π3 93414． 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 A＝ ， bsin － csinπ4 (π4＋ C)＝ a.(π4＋ B)(1)求证： B－ C＝ ；π2(2)若 a＝ ，求△ ABC的面积．2(1)证明 由 bsin － csin ＝ a应用正弦定理，得 sin Bsin －sin (π4＋ C) (π4＋ B) (π4＋ C)Csin ＝sin A，(π4＋ B)sin B －sin C ＝ ，(22sin C＋ 22cos C) (22sin B＋ 22cos B) 22整理得 sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即 sin(B－ C)＝1.由于 0＜ B， C＜ π，从而 B－ C＝ .34 π2(2)解 B＋ C＝π－ A＝ ，因此 B＝ ， C＝ .3π4 5π8 π8由 a＝ ， A＝ ，2π4得 b＝ ＝2sin ， c＝ ＝2sin ，asin Bsin A 5π8 asin Csin A π8所以△ ABC的面积 S＝ bcsin A＝ sin sin12 2 5π8 π8＝ cos sin ＝ .2π8 π8 12