1、1第四章 三角函数、解三角形第 1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1sin 2cos 3tan 4 的值( )A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在解析 sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案 A2已知点 P(sin ，cos )落在角 的终边上，且 0,2)，则 是第_54 34象限角( )A一 B二C三 D四解析 因 P点坐标为( ， )， P在第三象限22 22答案 C3若一扇形的圆心角为 72，半径为 20 cm，则扇形的面积为 ( )A40 cm 2 B80 cm 2 C40cm 2 D80cm 2解析 72 ， S 扇形
2、 R 2 20280(cm 2)25 12 12 25答案 B4给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若 sin sin ，则 与 的终边相同；若 cos 0，tan5OP1.若 ，则 sin cos 1.2由已知 00.13一个扇形 OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB.解 设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，则Error! 解得Error!圆心角 2.lr如图，过 O作 OH AB于 H，则 AOH1 rad. AH1sin 1sin 1
3、 (cm)， AB2sin 1 (cm)14 如图所示， A， B是单位圆 O上的点，且 B在第二象限， C是圆与 x轴正半轴的交点， A点的坐标为 ， AOB为正(35， 45)三角形(1)求 sin COA；(2)求 cos COB.解 (1)根据三角函数定义可知 sin COA .45(2) AOB为正三角形， AOB60，又 sin COA ，cos COA ，45 35cos COBcos( COA60)cos COAcos 60sin COAsin 60 .35 12 45 32 3 43101第 2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1 cos ( )(203 )A.
4、B. C D12 32 12 32解析 cos cos cos cos cos ，故选 C.(203 ) (6 23) 23 ( 3) 3 12答案 C 2已知 tan 2，则 sin2 sin cos 2cos 2 ( )A B. C D.43 54 34 45解析 由于 tan 2，则 sin2 sin cos 2cos 2 .sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2 tan2 tan 2tan2 1 22 2 222 1 45答案 D3若 ，则 tan 2 ( )sin cos sin cos 12A B. C D.34 34 43 43解析 由 ，得 ，所以 tan 3，
5、所以 tan 2 sin cos sin cos 12 tan 1tan 1 12 .2tan 1 tan2 34答案 B4已知 f(cos x)cos 3 x，则 f(sin 30)的值为( )A0 B1 C1 D.32解析 f(cos x)cos 3 x， f(sin 30) f(cos 60)cos 1801.答案 C5若 sin ，cos 是方程 4x22 mx m0 的两根，则 m的值为( )A1 B15 5C1 D15 5解析 由题意知：sin cos ，sin cos ，m2 m4又(sin cos )212sin cos ，2 1 ，m24 m2解得： m1 ，又 4 m216
6、 m0，5 m0 或 m4， m1 .5答案 B6若 Snsin sin sin (nN *)，则在 S1， S2， S100中，正数的个数7 27 n7是 ( )A16 B72 C86 D100解析 由 sin sin ，sin sin ，sin sin ，sin 7 87 27 97 67 137sin 0，所以 S13 S140.77 147同理 S27 S28 S41 S42 S55 S56 S69 S70 S83 S84 S97 S980，共 14个，所以在S1， S2， S100中，其余各项均大于 0，个数是 1001486(个)故选 C.答案 C二、填空题7已知 cos ，且 是
7、第二象限的角，则 tan(2 )_.513解析 由 是第二象限的角，得 sin ，tan ，则1 cos21213 sincos 125tan(2 )tan .125答案 1258已知 为第二象限角，则 cos sin _.1 tan21 1tan2解析 原式cos sin 1 sin2cos2 1 cos2sin2cos sin cos sin 0.1cos2 1sin2 1 cos 1sin 答案 09已知 sin cos ，且 ，则 的值为_12 (0， 2) cos 2sin( 4)解析 依题意得 sin cos ，又(sin cos )2(sin cos )22，12即(sin co
8、s )2 22，故(sin cos )2 ；又 ，因此有(12) 74 (0， 2)3sin cos ，所以 (sin cos 72 cos 2sin( 4) cos2 sin222 sin cos 2 ) .142答案 14210 f(x) asin( x ) bcos( x )4( a， b， ， 均为非零实数)，若 f(2 012)6，则 f(2 013)_.解析 f(2 012) asin(2 012 ) bcos(2 012 )4 asin bcos 46， asin bcos 2， f(2 013) asin(2 013 ) bcos(2 013 )4 asin bcos 42.答
9、案 2三、解答题11已知 32 ，1 tan 1 tan 2 2求 cos2( )sin cos 2sin 2( )的值(32 ) (2 )解析 由已知得 32 ，1 tan 1 tan 2tan .2 224 22 1 22 2 22cos 2( )sin cos 2sin 2( )(32 ) (2 )cos 2 (cos )(sin )2sin 2cos 2 sin cos 2sin 2cos2 sin cos 2sin2sin2 cos21 tan 2tan21 tan2 .1 22 11 12 4 2312已知 sin(3 )2sin ，求下列各式的值：(32 )(1) ；(2)sin
10、 2 sin 2 .sin 4cos 5sin 2cos 4解 法一 由 sin(3 )2sin ，得 tan 2.(32 )(1)原式 .tan 45tan 2 2 452 2 16(2)原式sin 2 2sin cos sin2 2sin cos sin2 cos2 .tan2 2tan tan2 1 85法二 由已知得 sin 2cos .(1)原式 .2cos 4cos 52cos 2cos 16(2)原式 .sin2 2sin cos sin2 cos2 sin2 sin2sin2 14sin2 8513是否存在 ， (0，)，使等式 sin(3 )(2， 2) cos ， cos(
11、 ) cos( )同时成立？若存在，求出 ， 的2 (2 ) 3 2值；若不存在，请说明理由解 假设存在角 ， 满足条件，则由已知条件可得Error!Error!由 2 2，得 sin2 3cos 2 2.sin 2 ，sin . ， .12 22 ( 2， 2) 4当 时，由式知 cos ，4 32又 (0，)， ，此时式成立；6当 时，由式知 cos ，4 32又 (0，)， ，此时式不成立，故舍去6存在 ， 满足条件4 614已知函数 f(x)tan .(2x4)(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 ，若 f 2cos 2 ，求 的大小(0，4) (2)5解 (1)由 2x
12、k， kZ，得 x ， kZ.所以 f(x)的定义域为4 2 8 k2， f(x)的最小正周期为 .x R|x8 k2， k Z 2(2)由 f 2cos 2 ，得 tan 2cos 2 ，(2) ( 4)2(cos 2 sin 2 )，sin( 4)cos( 4)整理得 2(cos sin )(cos sin )sin cos cos sin 因为 ，所以 sin cos 0.(0，4)因此(cos sin )2 ，即 sin 2 .12 12由 ，得 2 .所以 2 ，即 .(0，4) (0， 2) 6 121第 3讲 三角函数的图象与性质一、选择题1函数 f(x)2sin xcos x是
13、( )A最小正周期为 2 的奇函数B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数解析 f(x)2sin xcos xsin 2 x. f(x)是最小正周期为 的奇函数答案 C2已知函数 f(x)sin( x ) cos(x ) 是偶函数，则 的值为3 ( 2， 2)( )A0 B. C. D.6 4 3解析 据已知可得 f(x)2sin ，若函数为偶函数，则必有 k(x 3) 3(kZ)，又由于 ，故有 ，解得 ，经代入检验符合2 2， 2 3 2 6题意答案 B3函数 y2sin (0 x9)的最大值与最小值之和为 ( )(6x 3)A2 B0 C1 D13 3
14、解析 0 x9， x ， sin 1， 2sin3 6 3 76 32 (6x 3) 32.函数 y2sin (0 x9)的最大值与最小值之和为 2 .(6x 3) ( x6 3) 3答案 A4函数 f(x)(1 tan x)cos x的最小正周期为( )3A2 B. C D.32 2解析 依题意，得 f(x)cos x sin x2sin .故最小正周期为 2.3 (x6)答案 A5函数 ysin 2xsin x1 的值域为( )A1,1 B.54， 12C. D.54， 1 1， 54解析 (数形结合法) ysin 2xsin x1，令 sin x t，则有y t2 t1， t1,1，画出
15、函数图像如图所示，从图像可以看出，当 t 及12t1 时，函数取最值，代入 y t2 t1 可得 y .54， 1答案 C6已知 0,0sin Asin B，则 ABC为钝角三角形；若 a b0，则函数 y asin x bcos x的图象的一条对称轴方程为 x .4其中是真命题的序号为_解析 2 k (kZ)tan ，3 3而 tan / 2 k (kZ)，正确33 f(x)|2cos( x)1|2cos x1|2cos x1| f(x)，错误cos Acos Bsin Asin B，cos Acos Bsin Asin B0，即 cos(A B)0，00，(2x6) 12， 12 asin
16、 2 a， a f(x) b,3a b，(2x6)又5 f(x)1， b5,3 a b1，因此 a2， b5.(2)由(1)得 a2， b5， f(x)4sin 1，(2x6)6g(x) f 4sin 1(x2) (2x 76)4sin 1，(2x6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin 11，sin ，(2x6) (2x 6) 122 k 2 x 2 k ， kZ，6 6 56其中当 2k 2 x 2 k ， kZ 时， g(x)单调递增，即6 6 2k x k ， kZ，6 g(x)的单调增区间为 ， kZ.(k ， k 6又当 2k 2 x 2 k ， kZ 时， g(x)单
17、调递减，即2 6 56k x k ， kZ.6 3 g(x)的单调减区间为 ， kZ.(k 6， k 3)综上， g(x)的递增区间为 (kZ)；递减区间为(k ， k 6(kZ)(k 6， k 3)1第 4 讲 函数 yAsin(x)的图象及性质一、选择题1已知函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图像( )( x 3)A关于点 对称 B关于直线 x 对称( 3， 0) 4C关于点 对称 D关于直线 x 对称( 4， 0) 3解析 由已知， 2，所以 f(x)sin ，因为 f 0，所以函数图像关于点(2x 3) ( 3)中心对称，故选 A.( 3， 0)答案 A 2.要
18、得到函数 cos(21)yx的图像，只要将函数 cos2yx的图像（ ）A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位解析 因为 1cos(2)cs()2yxx,所以将 cos2yx向左平移 个单位,故选C.答案 C3. 函数 f(x) Asin(x )A0， 0，| |0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值为 ( )A. B. C. D. 6 3 4 12解析 将函数 ysin 2x 的图象向左平移 个单位，得到函数 ysin 2(x )sin(2 x2 )的图象，由题意得 2 k( kZ)，故 的最小值为 . 2 4答案 C
19、5 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 P(x， y)若初始位置为 P0 ，当秒针从 P0(注：此时(32， 12)t0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ( )A ysin B ysin(30t 6)( 60t 6)C ysin D ysin(30t 6) ( 30t 3)解析 由题意可得，函数的初相位是 ，排除 B，D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时 6针旋转，即 T 60，所以| | ，即 ，故选 C.|2 | 30 30答案 C6电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I Asin(t )(A0， 0,00
20、， 2 2)点和最低点的距离为 2 ，则 _.2解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 ，而 f(x)max f(x)min2，由勾股定2理可得 2 ， T4， .T2 22 2 22 2T 2答案 28已知函数 f(x)3sin ( 0)和 g(x)2cos(2 x )1 的图象的对称轴完全( x 6)相同，若 x ，则 f(x)的取值范围是_0， 2解析 f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同， f(x)与 g(x)的最小正周期相等， 0， 2， f(x)3sin ，0 x ， 2 x ， sin 1，(2x 6) 2 6 6 56 12 (2x 6) 323sin 3，即 f(
21、x)的取值范围是 .(2x 6) 32， 3答案 32， 39已知函数 f(x)2sin(2 x )(| |)，若 是 f(x)的一个单调递增区间，( 8， 58)则 的值为_解析 令 2 k2 x 2 k， kZ， k0 时，有 x ，此 2 32 4 2 34 2时函数单调递增，若 是 f(x)的一个单调递增区间，则必有Error!( 8， 58)解得Error! 故 . 44答案 410在函数 f(x) Asin(x )(A0， 0)的一个周期内，当 x 时有最大值 ，当 9 12x 时有最小值 ，若 ，则函数解析式 f(x)_.49 12 (0， 2)解析 首先易知 A ，由于 x 时
22、 f(x)有最大值 ，当 x 时 f(x)有最小值 ，12 9 12 49 12所以 T 2 ， 3.又 sin ， ，解得(49 9) 23 12 (3 9 ) 12 (0， 2) ，故 f(x) sin . 6 12 (3x 6)答案 sin12 (3x 6)三、解答题11已知函数 f(x) sin2x2cos 2x.3(1)将 f(x)的图像向右平移 个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)的图像，12求 g(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间解 (1)依题意 f(x) sin2x23cos2x 12 sin2xcos2 x132sin 1，(2x 6
23、)将 f(x)的图像向右平移 个单位长度，得到函数 f1(x)122sin 12sin2 x1 的图像，该函数的周期为 ，若将其周期变为2(x12) 62，则得 g(x)2sin x1.(2)函数 f(x)的最小正周期为 T，当 2k 2 x 2 k (kZ)时，函数单调递增， 2 6 2解得 k x k (kZ)， 3 6函数的单调递增区间为 (kZ)k 3， k 612已知向量 m(sin x,1)， n( Acos x， cos 2x)(A0)，函数 f(x) mn 的最大3A25值为 6.(1)求 A；(2)将函数 y f(x)的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原
24、12来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 上的值域12 0， 524解 (1) f(x) mn Asin xcos x cos 2x3A2 A A sin .(32sin 2x 12cos 2x) (2x 6)因为 A0，由题意知 A6.(2)由(1)知 f(x)6sin .(2x 6)将函数 y f(x)的图象向左平移 个单位后得到12y6sin 6sin 的图象；2(x12) 6 (2x 3)再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到 y6sin 的12 (4x 3)图象因此 g(x)6sin .(4x 3)因为 x ，所以 4x ，0，524
25、 3 3， 76故 g(x)在 上的值域为3,60，52413已知函数 f(x)2 sin cos sin( x)3x2 4 (x2 4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 60，上的最大值和最小值解 (1)因为 f(x) sin sin x3 (x 2) cos xsin x23 (32cos x 12sin x)2sin ，(x 3)所以 f(x)的最小正周期为 2.6(2)将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象， 6 g(x) f 2sin (x 6) (x 6) 32sin
26、.(x 6) x0， x ， 6 6， 76当 x ，即 x 时，sin 1， g(x)取得最大值 2. 6 2 3 (x 6)当 x ，即 x 时，sin ， g(x)取得最小值1. 6 76 (x 6) 1214设函数 f(x) cos sin 2x.22 (2x 4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设函数 g(x)对任意 xR，有 g g(x)，且当 x 时， g(x)(x 2) 0， 2 f(x)求 g(x)在区间，0上的解析式12解 (1) f(x) cos sin 2x22 (2x 4) 22(cos 2x cos 4 sin 2x sin 4) 1 cos 2x2 sin
27、2x，12 12故 f(x)的最小正周期为 .(2)当 x 时， g(x) f(x) sin 2x，故0， 2 12 12当 x 时， x . 2， 0 2 0， 2由于对任意 xR， g g(x)，(x 2)从而 g(x) g sin(x 2) 12 2(x 2) sin(2 x) sin 2x.12 12当 x 时， x . ， 2) 0， 2)从而 g(x) g(x) sin2(x) sin 2x.12 127综合、得 g(x)在，0上的解析式为g(x)Error!1第 5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1. 已知锐角 满足 cos 2 cos ，则 sin 2 等于( )(4
28、 )A. B12 12C. D22 22解析 由 cos 2 cos (4 )得(cos sin )(cos sin ) (cos sin )22由 为锐角知 cos sin 0.cos sin ，平方得 1sin 2 .22 12sin 2 .12答案 A2若 ，则 tan 2 等于 ( )1 cos 2sin 2 12A. B C. D54 54 43 43解析 ，1 cos 2sin 2 2cos22sin cos cos sin 12tan 2，tan 2 ，故选 D.2tan 1 tan2 41 4 43答案 D3已知 ， 都是锐角，若 sin ，sin ，则 ( )55 1010A
29、. B.4 34C. 和 D 和4 34 4 34解析 由 ， 都为锐角，所以 cos ，cos 1 sin2255 1 sin2.所以 cos( )cos cos sin sin ，所以 .31010 22 4答案 A24已知 sin cos ，则 sin cos 的值为 ( )43(02)的两根为 tan A，tan B，且 A， B ，则(2， 2)A B_.解析 由题意知 tan Atan B3 a7，tan A0，tan B0，4tan(A B) 1.tan A tan B1 tan Atan B 3a1 3a 1 A， B ， A， B ，(2， 2) ( 2， 0) A B(，0
30、)， A B .34答案 34三、解答题11已知函数 f(x)sin sin 2cos 2x1， xR.(2x3) (2x 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值4， 4解 (1) f(x)sin 2xcos cos 2xsin sin 2xcos cos 2xsin cos 3 3 3 32xsin 2 xcos 2 x sin .2 (2x4)所以， f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数又4， 8 8， 4f 1， f ， f 1，故函数 f(x)在区间 上的最大值为 ，(4) (8)
31、2 (4) 4， 4 2最小值为1.12已知 sin cos ， ，sin ， .355 (0， 4) ( 4) 35 (4， 2)(1)求 sin 2 和 tan 2 的值；(2)求 cos( 2 )的值解 (1)由题意得(sin cos )2 ，95即 1sin 2 ，sin 2 .95 45又 2 ，cos 2 ，(0，2) 1 sin22 35tan 2 .sin 2cos 2 43(2) ， ，sin ，(4， 2) 4 (0， 4) ( 4) 355cos ，( 4) 45于是 sin 2 2sin cos .( 4) ( 4) ( 4) 2425又 sin 2 cos 2 ，co
32、s 2 ，( 4) 2425又 2 ，sin 2 ，(2， ) 725又 cos2 ， ，1 cos 22 45 (0， 4)cos ，sin .255 55cos( 2 )cos cos 2 sin sin 2 .255 ( 2425) 55 725 1152513函数 f(x)6cos 2 sin x 3( 0)在一个周期内的图象如图所示， A为图 x2 3象的最高点， B、 C为图象与 x轴的交点，且 ABC为正三角形(1)求 的值及函数 f(x)的值域；(2)若 f(x0) ，且 x0 ，求 f(x01)的值8 35 ( 103， 23)解 (1)由已知可得， f(x)3cos x s
33、in x32 sin ，3 ( x3)又正三角形 ABC的高为 2 ，从而 BC4，3所以函数 f(x)的周期 T428，即 8， .2 4函数 f(x)的值域为2 ，2 3 3(2)因为 f(x0) ，835由(1)有 f(x0)2 sin ，3 ( x04 3) 835即 sin .( x04 3) 45由 x0 ，知 ，(103， 23) x04 3 ( 2， 2)所以 cos .( x04 3) 1 (45)2 356故 f(x01)2 sin3 ( x04 4 3)2 sin3 ( x04 3) 42 3sin( x04 3)cos4 cos( x04 3)sin42 .3 (452
34、2 3522) 76514(1)证明两角和的余弦公式C( )：cos( )cos cos sin sin ；由 C( )推导两角和的正弦公式S( )：sin( )sin cos cos sin .(2)已知 cos ， ，tan ， ，45 ( ， 32 ) 13 (2， )求 cos( )解 (1)证明 如图，在直角坐标系 xOy内作单位圆 O，并作出角 ， 与 ，使角 的始边为 Ox轴非负半轴，交 O于点 P1，终边交 O于点 P2；角 的始边为OP2，终边交 O于点 P3，角 的始边为 OP1，终边交 O于点 P4.则 P1(1,0)， P2(cos ，sin )， P3(cos( )，
35、sin( )， P4(cos( )，sin( )由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式，得cos( )1 2sin 2( )cos( )cos 2sin( )sin 2，展开并整理，得 22cos( )22(cos cos sin sin )cos( )cos cos sin sin .由易得，cos sin ，(2 )sin cos .(2 )sin( )cos 2 cos (2 ) cos cos( )sin sin( )(2 ) (2 )sin cos cos sin .sin( )sin cos cos sin .7(2) ，cos ，sin .( ，32 ) 45 35 ，tan
36、，(2， ) 13cos ，sin .31010 1010cos( )cos cos sin sin .(45) ( 31010) ( 35) 1010 310101第 6讲 正弦定理和余弦定理一、选择题1在 ABC中， C60， AB ， BC ，那么 A等于( ) 3 2A135 B105 C45 D75解析 由正弦定理知 ，即 ，所以 sin A ，又由题知，BCsin A ABsin C 2sin A 3sin 60 22BC AB， A45.答案 C2已知 a， b， c是 ABC三边之长，若满足等式( a b c)(a b c) ab，则角 C的大小为( )A60 B90 C120
37、 D150解析 由( a b c)(a b c) ab，得( a b)2 c2 ab， c2 a2 b2 ab a2 b22 abcos C，cos C ， C120.12答案 C3在 ABC中，角 A， B， C所对应的边分别为 a， b， c，若角 A， B， C依次成等差数列，且 a1， b ，则 S ABC ( )3A. B. C. D22 332解析 A， B， C成等差数列， A C2 B， B60.又 a1， b ， ，3asin A bsin Bsin A ，asin Bb 32 13 12 A30， C90. S ABC 1 .12 3 32答案 C4在 ABC中， AC ，
38、 BC2， B60，则 BC边上的高等于 ( )7A. B. C. D.32 332 3 62 3 394解析 设 AB c， BC边上的高为 h.由余弦定理，得 AC2 c2 BC22 BCccos 60，即7 c244 ccos 60，即c22 c30， c3(负值舍去)2又 h csin 603 ，故选 B.32 332答案 B5在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且 a ， b ( 0)， A45，3则满足此条件的三角形个数是( )A0 B1C2 D无数个解析 直接根据正弦定理可得 ，可得 sin asin A bsin BB 1，没有意义，故满足条件的三角形
39、的个数为 0.bsin Aa 3 sin 45 62答案 A6已知 ABC的面积为 ， AC ， ABC ，则 ABC的周长等于32 3 3( )A3 B33 3C2 D.3332解析 由余弦定理得 b2 a2 c22 accos B，即 a2 c2 ac3.又 ABC的面积为acsin ，即 ac2，所以 a2 c22 ac9，所以 a c3，即12 3 32a c b3 ，故选 A.3答案 A二、填空题7如图， ABC中， AB AC2， BC2 ，点 D在 BC边上， ADC45，则 AD的长度3等于_解析 在 ABC中， AB AC2， BC2 ，cos C ，sin C ；在 ADC
40、中，332 12由正弦定理得， ， AD .ADsin C ACsin ADC 2sin 4512 2答案 28已知 ABC的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为_2解析 依题意得， ABC的三边长分别为 a， a,2a(a0)，则最大边 2a所对的角的余23弦值为： .a2 2a 2 2a 22a2a 24答案 249在 Rt ABC中， C90，且 A， B， C所对的边 a， b， c满足 a b cx，则实数 x的取值范围是_解析 x sin Acos A sin .又a bc sin A sin Bsin C 2 (A 4)A ， A ， sin 1，即 x(1， (0，
41、2) 4 434 22 (A 4) 2答案 (1， 210若 AB2， AC BC，则 S ABC的最大值_2解析 (数形结合法)因为 AB2(定长)，可以令 AB所在的直线为 x轴，其中垂线为 y轴建立直角坐标系，则 A(1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由 AC BC，2得 ，化简得( x3) 2 y28， x 1 2 y2 2 x 1 2 y2即 C在以(3,0)为圆心，2 为半径的圆上运动，2所以 S ABC |AB|yC| yC|2 ，故答案为 2 .12 2 2答案 2 2三、解答题11叙述并证明余弦定理解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与
42、它们夹角的余弦之积的两倍或：在 ABC中， a， b， c为 A， B， C的对边，有a2 b2 c22 bccos A， b2 c2 a22 cacos B， c2 a2 b22 abcos C，法一 如图(1)，图(1)a2 BC BC ( )( )AC AB AC AB 22 2AC AC AB AB 22| | |cos A 2AC AC AB AB b22 bccos A c2，即 a2 b2 c22 bccos A.同理可证 b2 c2 a22 cacos B， c2 a2 b22 abcos C.4法二 图(2)已知 ABC中 A， B， C所对边分别为 a， b， c，以 A为
43、原点， AB所在直线为 x轴建立直角坐标系，如图(2)则 C(bcos A， bsin A)， B(c,0)， a2| BC|2( bcos A c)2( bsin A)2 b2cos2A2 bccos A c2 b2sin2A b2 c22 bccos A.同理可证 b2 c2 a22 cacos B，c2 a2 b22 abcos C.12在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 cos A ，sin B cos C.23 5(1)求 tan C的值；(2)若 a ，求 ABC的面积2解 (1)因为 0 A，cos A ，23得 sin A .1 cos2A53
44、又 cos Csin Bsin( A C)sin Acos Ccos Asin C5 cos C sin C.53 23所以 tan C .5(2)由 tan C ，得 sin C ，cos C .556 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3设 ABC的面积为 S，则 S acsin B .12 5213 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，点 (a， b)在直线 x(sin Asin B) ysin B csin C上(1)求角 C的值；(2)若 a2 b26( a b)18，求 ABC的面积解
45、(1)由题意得 a(sin Asin B) bsin B csin C，5由正弦定理，得 a(a b) b2 c2，即 a2 b2 c2 ab，由余弦定理，得 cos C ，a2 b2 c22ab 12结合 0C，得 C .3(2)由 a2 b26( a b)18，得( a3) 2( b3) 20，从而得 a b3，所以 ABC的面积 S 32sin .12 3 93414 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 A ， bsin csin4 (4 C) a.(4 B)(1)求证： B C ；2(2)若 a ，求 ABC的面积2(1)证明 由 bsin csin a
46、应用正弦定理，得 sin Bsin sin (4 C) (4 B) (4 C)Csin sin A，(4 B)sin B sin C ，(22sin C 22cos C) (22sin B 22cos B) 22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(B C)1.由于 0 B， C ，从而 B C .34 2(2)解 B C A ，因此 B ， C .34 58 8由 a ， A ，24得 b 2sin ， c 2sin ，asin Bsin A 58 asin Csin A 8所以 ABC的面积 S bcsin A sin sin12 2 58 8 cos sin .28 8 12
