1、1.通过实际问题,了解什么是正态曲线和正态分布. 2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义. 3.会根据正态曲线的性质求随机变量X在某一范围内的概率.,1,2,1.正态分布与正态曲线 如果随机变量X的概率密度函数为(xR,为参数,且0,-+),那么称X服从参数为,的正态分布,用XN(,2)表示,f(x)的表达式可简记为N(,2),它的密度曲线简称为正态曲线,例如当=0,=0.5,1,2时,所表示的曲线如图所示. 若XN(,2),则X的数学期望与方差分别为E(X)=,D(X)=2.,1,2,知识拓展 (1)正态分布及正态曲线完全由变量和确定,因此我们把正态分布记作N(,2). (2)参数是反映随
2、机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本平均数去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. (3)正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布,如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等. (4)一般地,如果一个随机变量是众多的,互不相干的,不分主次的偶然因素作用结果之和,那么它就服从或近似服从正态分布.,1,2,(5)在=0,=1时的正态分布,我们称为标准正态分布,记作N(0,1). (6)随机变量X落在区间(a,b)上的概率为P(axb)= f(x)dx.即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面
3、积,就是随机变量X落在区间(a,b)上的概率的近似值,如图所示.,1,2,答案:B,1,2,【做一做1-2】 设有一正态总体,它的概率密度组成是函数f(x)的图象,且f(x)=,(x)= ,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 答案:B,1,2,2.正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=对称. (2)曲线在x=时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状; (3)曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中. (4)当
4、相同时,正态分布曲线的位置由期望值所决定. 设X是一个按正态分布的随机变量,则对任意的数a0及b,aX+b仍是一个按正态分布的随机变量.,1,2,(5)3原则. 从理论上可以证明,正态变量在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在(-,+)内取值的概率是1,容易推出,它在区间(-2,+2)之外取值的概率是4.6%,在区间(-3,+3)之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=三倍标准差之内,这就是正态分布的3原则.,1,2,【做一做2-1】 下列是关于正态曲线的性质的叙述: 曲线关于直线x=对称,这个曲
5、线在x轴上方; 曲线关于直线x=对称,这个曲线只有当x(-3,3)时才有意义; 曲线关于y轴对称,因为曲线对应的概率密度函数是一个偶函数; 曲线在x=时,处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低; 曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定; 越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“高瘦”. 上述说法正确的是( ) A. B. C. D.,1,2,解析:根据正态曲线的性质可知,正态曲线是一条关于直线x=对称的曲线,在x=时处于最高点,函数取得最大值,并由该点向左、向右无限延伸时逐渐降低,曲线总位于x轴上方,即函数值总为正,曲线的形状由确定,而且比较若干不同的对应的正态曲线可以发现,越大,曲
6、线越“矮胖”,越小,曲线越“高瘦”.决定曲线的位置和对称性. 答案:A,1,2,【做一做2-2】 若正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1和p2,则p1与p2的关系为( ) A.p1p2 B.p1p2 C.p1=p2 D.不确定 解析:由正态分布N(0,1)可知=0,=1, 所以-2=-2,2=2,-1=-,1=. 所以(-2,-1)=(-2,-),(1,2)=(,2), 由曲线的对称性可知p1=p2. 答案:C,什么是小概率事件?有何应用? 剖析正态总体中的小概率事件:由3原则,可知正态总体N(,2)在区间(-3,+3)之外取值的概率很小(只有0.3%),
7、因此称在区间(-3,+3)之外发生的事件为小概率事件. 正态总体在(-3,+3)以外取值的概率只有0.3%的性质,在实际生产中有比较广泛的应用.我们只要知道了正态分布的平均数和标准差,利用这个性质,就可以判断哪些情况是异常出现的小概率事件(在生产中一般指生产过程出现了问题,没有正常工作).著名的质量控制图就是利用这个原理的.举例来说,某条生产线上生产的零件质量在正常的情况下可能并不是每一个都严格相等,往往有一些小的波动,可以看作一个随机变量,而且往往服从正态分布N(,2).从上面的分析知道,零件质量在(-3,+3)内取值的概率为99.7%,即零件质量在(-3,+3)外取值的概率为0.3%.这表
8、明在大量的重复试验中,平均每1 000个零件只有3个零件的质量不在(-3,+3)范围之内.因此,在质量检查中,零件质量在(-3,+3)之外是几乎不可能发生的.而这种事情一旦发生了,即零件质量a满足|a-|3,我们就有理由认为这时候生产出来的零件的质量服从正态分布N(,2)的假设是不成立的,说明该零件不是在正常状态下生产出来的,生产过程可能出现了异常的情况.比如可能原料、机器出了问题,或者可能工艺流程不完善,或者可能工人操作机器精力不集中,没有遵守操作规程,需要停机检查,找出原因,从而避免继续生产废品、次品,保证产品质量,防止造成过大的损失.,题型一,题型二,题型三,【例1】 一台机床生产一种尺
9、寸为10 mm的零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.已知机床生产零件的尺寸服从正态分布,求正态分布的概率密度函数表达式. 分析根据公式求,2,从而求出正态分布函数.,题型一,题型二,题型三,反思 若XN(,2),则X的数学期望与方差分别为E(X)=,D(X)=2.,题型一,题型二,题型三,(1)求证:f(x)是偶函数; (2)求f(x)的最大值; (3)利用指数函数的性质说明f(x)的单调性. 分析根据函数奇偶性的定义证明f(x)为偶函数.由函数的性质求解第(2)(3)问.,题型一,题型
10、二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 某年级一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求: (1)成绩不及格的人数占多少; (2)成绩在8090内的学生占多少. 分析将本题中问题与(-,+),(-2,+2),(-3,+3)相结合求解即可.,题型一,题型二,题型三,解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,XN(70,102),则=70,=10. 在6080之间的学生的比为P(70-10X70+10)=0.683, 所以不及格的学生的比为 即成绩不及格的学生占15.85%. (2)成绩在8090内的学生的比为即成绩在8090
11、内的学生占13.55%. 反思 解答这类问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比、联系,确定它们属于(-,+),(-2,+2),(-3,+3)中的哪一个.,1,2,3,4,5,A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法判断,答案:B,1,2,3,4,5,正态曲线关于直线x=对称; 正态曲线关于直线x=对称; 正态曲线与x轴一定不相交; 正态曲线与x轴一定相交. 其中正确的命题是( ) A. B. C. D. 解析:正态曲线关于x=对称,且始终在x轴上方,不与x轴相交,故错误. 答案:C,1,2,3,4,5,3.一批电阻的阻值X(单位:)服从正态分布N(1 000,52),
12、今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1 011 和982 ,可以认为( ) A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂 解析:由题意知=1 000,=5,所以(-3,+3)=(985,1 015),而1 011(985,1 015),982(985,1 015),故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,4.若随机变量XN(,2),则P(X)= . 解析:若XN(,2),则其密度曲线关于X=对称,1,2,3,4,5,5.某种零件的尺寸(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的 . 解析:属于区间(-2,+2),即(1,5)的取值概率为95.4%, 故不属于(1,5)范围的概率为1-95.4%=4.6%. 答案:4.6%,
