1、阿基米德，公元前 年出生在意大利西西里岛的叙拉古， 岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心287 1亚历山大城学习，他博阅群书，钻研几何原本 阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理” ，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。23相交线与平行线解读课标在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、
2、内错角相等、同旁内角互补我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用：1角的计算与证明；2两直线位置关系的确定问题解决例 1 如图，已知 ， ， ，则 _ABDE90C140DEBCDDA BC E试一试 、 、 表面上看很难联系起来，过 点作 ，问题就迎刃而解ABBCCFDE了例 2 如图， ， ，点 在 上，点 在 上，设与 相等的角的EFGHADAEG个数为 （不包括 本身） ，与 互补的角的个数为 ，若 ，则 的值是（ ） mnmnA B C D89101FEC BA HGD试一试 略例 3 如图，已知 ， ，求证：
3、 12CDAF21 FECBA D试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路例 4 如图， 、 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在 、 两点，点 是橡D ACE皮筋上一点，拽动 点将橡皮筋拉紧后，请你探索 、 、 之间具有怎样的关系？并说明EACE理由DA BCE试一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于 点位置的不确定性，可引起对 点不同位置的分类EE讨论（如夹在 、 之间或之外、内折或外折等） ，这是解本例的关键ABC例 5 平面上有 条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点7（1）你能画出各直线之间的交点个数为 的
4、图形吗？其中 分别为 ， ， nn6125（2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？分析与解 设 条直线交点的个数为 ，则 （为什么？）021（1）如图，得到的交点个数为 个；如图，得到的交点个数为 个；如图、，得到的交点6个数分别为 、 215（2） 的大小直接取决于 条直线中互相平行的直线的数量，因为 条直线中可能有：n7 7一组平行线（ 条； 条； 条； 条； 条； 条） ；3457二组平行线（ 条， 条； 条， 条； 条， 条； 条， 条； 条， 条； 条， 条） ；232425334三组平行线（ 条， 条， 条； 条， 条， 条） ；3没有平行线，所
5、以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究实际上本题的答案共有 个，即15， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中重复数字表示交点0n680241567189201个数相等但图形不同的答案 平移变换例 6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于 31分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多证明 在平面上任取一点 ，过 点分别作这 条直线的平行线 ， ， ， ， ， ，则由O61l23l45l6平行线
6、的特性，知 ， ， ， ， ， 之间互成的角与原来的 条直线 ， ， ， ， ，1l23l45l 612345l之间互成的角相等6ll2l1l3l4l5l6 Ol6l5 l4l3 l1l2现在我们考虑 ， ， 的情况，我们只考察 与 ， 与 ， 与 ， 与 所成的1l26l 1l2l35l6l1角，由图不难发现这 个角成一个平角，即这 个角的和为 680假设这 个角没有一个小于 ，则这 个角都大于或等于 ，从而这 个角的和至少为631，这是不可能的，所以，这 个角中至少有一个小于 ，不妨设 与 所成的角小于318 11l2，则原来的直线 与 所成的角也必小于 311l231数学冲浪知识技能广场
7、1如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角 ，那么吸管与易拉罐下174部夹角 _度2212如图，已知 ， ， ，则 _AEBD1302C21 DABC E3将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与 互余的角是_11234564如图， ， ，则图中与 相等的角（不含 ）有_个；若 ，ADEGBCAEF11150则 _H1FE CBAHGD5在 、 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 地测得 地的走向是南偏东 ，现 、A AB52A两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 地所修公路的走向应该是（ ） A北偏西 B南偏东 C西偏北 D北偏西25252386
8、如图，直线 ，将含有 角的三角板 的直角顶点 放在直线 上，若 ，则lm4BCm1的度数为（ ） A B C D0530321mlCBA7如图，已知 ，那么 （ ） ADACEDA BCEA B C D360270201808如图， 、 是 中 边上的任意两点， ， ，则图中相等的角共有（ GABEBCGHD） A 对 B 对 C 对 D 对4567DGHAB CE9如图，已知 ， ，求 、 、 的度数FAB:2:34DBDBDA BC EF10如图，已知 ，求证： 12FMABCD21 DGMNA BCEF思维方法天地11如图， ，长方形 的顶点 在直线 上，则 _lmABCm65mlCBA
9、D12如图，已知 ， ， ，则 _AD120BE35DCEBECDABC E13某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是_第一次向左拐 ，第二次向右拐 ；第一次向右拐 ，第二次向左拐404050；第一次向右拐 ，第二次向左拐 ；第一次向左拐 ，第二次向左拐 130717114已知两个角的两边分别平行，其中一个角为 ，则另一个角的度数为_15如图， ，则 的度数等于（ ） CBE23A B C D91015080321 ECBA D16如图，已知 ， 平分 ，且 ，则 与 的关系是（ ） ABFAEBFDABEDA B C DE180902ABE
10、DA BCEF17探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于 点的灯泡发出的两束光线 、 经灯碗反射后平行射出，如果图中 ，OOBCABO，则 的度数为（ ） DCCA B C D1801290DO ABC18如图，两直线 、 平行，则 （ ） BC123456A B C D6307208090GHEFDA BC12345619已知 ， AB90EC（1）如图，当 平分 时，求证： 平分 ；AAEBC（2）如图，移动直角顶点 ，使 ，求证： EMCED2BAEMCGECBAD D GMAB CE20如图，已知 ， ，求证： F12ABF2
11、1D GABCEF应用探究乐园21 （1）如图， ，则 _12MAN12A如图， ，则 _13 3如图， ，则 _4124如图， ，则 _15 35从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个证明你的结论 A2A1NM A3A2A1MN A43A2A1NM A5A43A2A1NMNMA1A23A45A6An（2）如图， ，则 _1nMN123nA（3）利用上述结论解决问题：如图已知 ， 和 的平分线相交于 ，BCDECF，求 的度数140EBFDDABC EF22实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（1）如图，一束光线 射到平面镜
12、上，被 反射到平面镜 上，又被 反射，若被 反射出的光线mabb与光线 平行，且 ，则 _， _n15023（2）在（1）中，若 ，则 _；若 ，则 _；31403（3）由（1） 、 （2） ，请你猜想：当两平面镜 、 的夹角 _时，可以使任何射到平面镜b上的光线 ，经过平面镜 、 的两次反射后，入射光线 与反射光线 平行请说明理由abmn321banm相交线与平行线问题解决例 1 ， ， ，80BCFA18040DCFE40BCDFC例 2 D例 3 先证 ，再证 .EB例 4 如图，可分别得到下列关系（证法同） ； ；360A ；A ； .CCDA BCE DA BCE DA BCE DA
13、 BC EDA BCE DA BCE数学冲浪1. 2. 3. 、 、 4. ； 5.A106223451306.A 7.A 8.D9. ， ，71081B10.略 11. 12. 13. 14. 或5915.D 16.D 17.B 18.D19.（1）略；（2）证法较多，如过 点作 或作 平分线 等.EFABMCGH20.作 ，延长 、 交于 点，则 ，因 ，故CKFGCDH12180K2ABC，即 ， .180ABKABG21.（1） ， ， ，3654720（2） n（3）过 点作 ，则 .F则 ，又 ，得 ，故BFDAECD360ABECD20ABECD.1022.（1） ； 9（2） ；（3） 证明略.
