1、好题速递 151（2015 湖北第 17 题）a 为实数，函数 在区间 上的最大值记为 ， 2fxa0,1ga当 _时， 的值最小ag解：若 时， 在区间 上单调递增，故022fxax0,11ga若 ，即 时，12a 221,02mx0,1max0,124agff 若 ，即 时， 在区间 上单调递增，12a22fx0,11ga综上， ，故当 时， 取得最小值为2,41,agaga32好题速递 152（2015 重庆第 14 题）设实数 ， ，则 的最大值为 。,0ab513ab解法一： 213423918ab即 b当且仅当 且 ，即 时，取得等号5b7,2a解法二：换元使得题干更清晰，设 13
2、xby则题目变为“实数 ， ，求 的最大值。,1xy29y利用不等式链条 ，得2当且仅当 时取得等号32xy解法三：三角换元，令 ，且满足cos,3inxy1cos,in3则 3cosin32si4xy当 时取得最大值 ，且此时满足41cos,in3解法四：令 ，则 ，即 在 上有解2xyt229xt2290xt1,3则 ，217ft2360ft满足 或130f2134890ftt解得 ，且2tt故 的最大值为 3好题速递 153（2015 湖北理科第 9 题）已知集合 ，2,|1,AxyxyZ，,|2,BxyxyZ定义集合 ，则 中元素的个数为1212|,ABAA77 B49 C45 D30
3、解：因为集合 ，所以集合2,|,xyxy中有 5 个元素（即 5 个点） ，即图中圆中的整点，集合中有 25 个元素（即 25,|2,BxyxyZ个点） ，即图中正方形 中的整点，集合ABCD中的元1212,|,AxyxyyB素表示 中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，B即 的元素可看作正方形 中的整点（除去四个顶点） ，即 个1ACD745好题速递 154（2015 浙江理科第 7 题）存在函数 满足，对任意 都有（ ）fxxRA. (sin2)ifx B. 2(sin) C. 1 D. 21fx 解：对 A 选项，取 ，可知 ，再取 ，可知 ，矛盾0x0f01f对 B 选项，取 ，可知
4、 ，再取 ，可知 ，矛盾f2x24f对 C 选项，取 ，可知 ，再取 ，可知 ，矛盾1x2f10f对 D 选项，令 ，所以 ，符合题意，故选 D0t2 1fttfx本题与浙江文科第 8 题异曲同工，都是考查函数概念的问题。（2015 浙江文科第 8 题）设实数 满足 ，则（ ）,abt1sinbtA若 确定，则 唯一确定 B若 确定，则 唯一确定t2bt2aC若 确定，则 唯一确定 D若 确定，则 唯一确定sin解：因为 ，所以 ，所以 ，故当 确定时，1iabt221sinabt221att确定，所以 唯一确定，故选 B。2t2好题速递 155（2015 广东理科第 8 题）若空间中有 个不
5、同的点两两距离都相等，则正整数 的取值n nA至多等于 3 B至多等于 4 C至多等于5 D可以大于 5解析 显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等，因此至少有 4 个点下面证明 不会大于 4若已有正四面体 ，nABD则第 5 个点 与其中三点 也可以构成正四面体 ，E,BCDEC相当于两个正四面体共底面 ，但 正四面体边长，故不可能存在第 5 个BCD2AEH点好题速递 156（2015 全国文科第 16 题）已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点，F2:18yCxPC，当 周长最小时，该三角形的面积为 0,6AAP解：设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知1 12PFa所以 周长为AP
6、F1PFAA由于 是定值，要使 周长最小，则 最小，即 三点共线2a1PF1,PAF因为 ， ，所以直线 的方程为0,613,0136xy代入 整理得 ，解得 或 （舍去）2:8yCx2690y286所以 6P所以 1116262AFPFSS好题速递 157（2015 全国理科第 16 题）在平面四边形 中， ， ，则ABCD75BC2B的取值范围是 AB解：如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合于 E 点时，AB 最长，在 中， ， ， ，BC75302BC由正弦定理可得 ，即 ，解得sinioo2siniE，62BE平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB
7、 最短，此时与 AB 交于 F，在 中，BC， ，75BFC30B由正弦定理知， ，即 ，解得sinsiCFoo2sin30i75B62BF所以 AB 的取值范围为 62,好题速递 158（2015 天津理科第 8 题）已知函数 ，函数 ，2,xf2gxbfx其中 ，若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是bRyfxgb（A） （B） （C） （D）7,47,70,7,24解：由 得 ，2,xf2,(),xfx所以 ，22,0()2)4(),yfxxx即22,0(),58,2yfxxx,所以()()fgfb恰有 4 个零点等价于方程yx有 4 个不同的解，即函数 与函()2)0fbyb数 的
8、图象的 4 个公共点，由图象可知(yxf724b（2015 天津文科第 8 题）已知函数 ，函数 ，则2,xf32gxfx函数 的零点的个数为 yfxg解：当 时， ，此时方程 的小于 0 的零点为0x2fx21fxgx152当 时， ，方程 无零点0x2fxx2fxgx当 时， ，24f 方程 有一个大于 2 的根22730fxgxx321x故共有 2 个零点好题速递 159（2015 上海理科第 13 题）已知函数 ，若存在 满足sinfx12,mx，且（ ） ，则 的最小值为 1206mxx 2,mN解：因为对任意 和任意 都有,xR1mfxf由 知122312fxffxfff 7但当
9、时，必须使7m12,3456,mffx则 依次取 ，不合题意1267,xx 35791,2当 时， 依次取 可满足题意，所以 的最8167, 10,622m小值为 8好题速递 160（2015 江苏第 13 题）已知函数 ， ，则方程lnfx20,14,xg的实根个数为 1fxg解： 1fxgxfx作出函数 与 的图象，观察共有 4 个交点。yyf好题速递 161（2015 湖北理科第 8 题）将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时1e1Caba增加 个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则0m22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab12eab1eab12eC对任意的 ，
10、D当 时， ；当 时，2解：不妨设双曲线 的焦点在 轴上，即其方程为 ，1xxyab双曲线 22:xyamb，2211e2221ambbmea当 时， ，ab0bma所以 ，即 12e当 时， ，ab0bamba所以 ，即m21e故选 D评注：这是糖水不等式的应用。好题速递 162（2015 上海理科第 14 题）在锐角 中， ， 为 边上的点， 与ABC1tan2DBCABD的面积分别为 2 和 4，过 分别作 于 ， 于 ，则 ACDDEFEF解：如图，由 得 ABDS由 得 4ACD8F由 得6Bsin12而 ， 得 5sin5co5ABC由可得 ，81DEF所以 516coscos5A
11、好题速递 163（2015 上海文科第 13 题）已知平面向量 满足 ，且 ，则,abc,1,23abc的最大值是 abc解： ，当且仅当 同向时取等号。abc,abc由 得ab2当 分别为 1，2，3 时， 分别为cab13,05故 max,02,b好题速递 164函数模块 1设二次函数 ，已知对于任意 ，恒有2,fxbcR,R和 成立，则 sin0f2cos0fln解：在 中令 ，可产生2,fxbcR1xbc因为 且 恒成立，所以1sinsin0f0f因为 且 恒成立，所以2co32cof1f从而 ，所以 ，即 ，得10f10bbcln0bc好题速递 165函数模块 2 已知定义在 上的函
12、数 满足 ，且 ，Rfx2,0,1xf2fxf，则方程 在区间 上的所有实根之和为 52xgfxg5,1解：由题意知， 252g函数 的周期为 2，则 与 在区间 上的图象如右图fxfxg5,1所示由上图可知，函数 与 在区间 上的交点为 ，易fxg5,1,ABC知点 的横坐标为 ，若设 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，所以B3C0t4t在区间 上的所有实数根之和为fxg5,1347t好题速递 166函数模块 3设 的定义域为 ，若 满足条件：存在 ，使得 在fxDfx,abDfx上的值域是 ，则称 为“半缩函数” 若函数 为“半缩函数”,ab,2abf lnxfet，则 的取值范围是 t解
13、： 为单调递增函数lnxfet由已知由 ，即2afxfbln2xet变形得 ，令 ，进一步转化为 与 两个函数图象2xet20xme1yt20m的交点，结合图象，可得 1,4t【点评】本题是函数两域一致问题的应用好题速递 167函数模块 4已知 为正实数，函数 ，且对任意 ，都有,at2fxa0,xt成立若对每一个正实数 ，记 的最大值为 ，则函数 的值域是 afxatgga解：作出 的图象，由图象可知2fxa当 ，即 时， ，即1a12t2ga当 ，即 时， ，且0a1t2ftta解得 （舍去）或 ，即12tt12ga所以 ，故 的值域是1210agaga0,12【点评】这里“对任意 ，都有
14、 恒成立”与“当 时， 的值,xtafx0,xtfx域为 ”是不一样的一个是恒成立问题，一个是值域问题，注意区分,a好题速递 168函数模块5已知 ，若关于 的方程2fxx有 4 个不同的实数根，且所有实数根之和为 2，则 的取值范围是 0fxfaxt t解：构造 ，显然 可知 的图象关于 对称，FxffaxFaxyFx2ax与 的图象四个横坐标之和应为 ，故yyt 21由此可知，当 时满足条件312好题速递 169函数模块 6当且仅当 （其中 ）时，函数 的图象,xabcdbc2fx在函数 的图象下方，则 的取值范围是 21gxtad解：令 ，22 1,23,xhx,xtmxt画出图象如图当
15、直线 分别与 ，yxt21yx相切时，23t直线 分别与 相切时，t21t结合图象可知，直线 ，符合题意3,1,2mxt又 是方程 的两个根；,ab240xt是方程 的两个根cdt所以 ，22bat242dccdt所以 0,badct【点评】这个题目难度很大，不过其中带给我们的启示是将方程的根问题转变为两个能方便画图的函数看交点的问题。两个函数图象一般是一个定，一个动。好题速递 170三角模块 1 设函数 ，存在 使得 和 成3sinxfxm00fxf220xfm立，则 的取值范围是 m解：由 可知 ，即 ，且0fxf02xk0,2mxkZ03fx所以 ，所以23k13所以 ，所以2110,2
16、kkZ 10kor当 时， ，所以24morm当 时， ，所以0k综上， or三角模块 2 设 中的内角 所对边为 ，且 ，则 的最大值是 ABC,ABC,abcacbsinA解：由 222 74cos 8bcbcac所以22715in18A好题速递 171三角模块 3 两点在 的边 上， ，若 ，且 ，,CDPABACBD90P210APB则 的最大值为 AB解：取 中点为 ，则 ， O224O又 ，所以12PCD0AB所以21AB所以 10【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式已知 a，b 是两个向量，则(a b) 2=a22a bb 2
17、(ab) 2=a22a bb 2 得“极化恒等式”：4ab(ab) 2(ab) 2得“平行四边形对角线性质”：2(|a | 2| b |2)( ab) 2(ab) 2平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方好题速递 172三角模块 4在 中，若 ，则 的最大值为 ABCsin2sinABtaB解法一：胆子大！ ，故11sii3t当 6BA解法二： sin2cos2insiBAB所以 ，所以co 22sinsincotanta2co331AA因为若 ，则 ， 均为钝角，不可能，故tan0Atan0, ta0所以 2t31B好题速递 173三角模块 5在 中， ，
18、 ， 是角平分线，且 ，则当ABC2A1BCSADADkC取最小值时 BCk解：设 ， ，,mkm由角平分线定理得 2D所以 ，即23AB2 22448cos99ACBAmk故 28cos9k又 ，所以1ABCS21sinm再由余弦定理得 2254cos54cs3in当且仅当 时， ，所以cosmin3BC210k好题速递 174三角模块 6如图，已知正 边长为 ，点 为 外接圆的劣弧 上一点，记ABCaPABCAB与 的面积分别为 ，则 的最大值为 APBC12,S12S解法一：设 ，则03在 中，由余弦定理得 22cosP即 22cosAPaB在 中，由余弦定理得C22ACAPC即 22得
19、 cscos0aPa即 cos故 21211ininsinsi0223SBACAPBCa 所以 21a解法二：设 ，则03ABPAP在 中， ， ，CCB由正弦定理得 23sinsinsin33a于是 22i,iPBaPCa故 cosC 23sinsin2cos3Baa后续同解法一解法三：如图建系，有 ， ，0,3Aa13,26a，于是圆方程为13,26Ba2xy直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，A30yaAC30xya设 37cos,in26Pa记 ，13cossin1aad23cossin1aad故 21221csSABdC故当 时，12maxS好题速递 175不等式模块 1已知 为正实
20、数，则 的最大值为 ,xy4xy解：222244833411955x xy yxy当且仅当 时取得等号2评注：齐次化的应用好题速递 176不等式模块 2设实数 满足 ，则 的取值范围是 ,xy14xy解： 44xxy当 同号时，, 8xy当 异号时，,xy440xxyy评注：齐次化的应用，因为齐次的启发，才有 这一步。4xy好题速递 177不等式模块 3已知 为正实数，且 ，则 的最小值为 ,xy2xy221xy解法一：221212111333yxyxxyxy 解法二：令 ， ，则题目变为xm1yn若 ，则n 22 2121233mnmnn 评注：换元法有助于简化问题，看穿本质。好题速递 17
21、8不等式模块 4 设正实数 满足 ，则实数 的最小值为 ,xyxyx解法一： 210xy将其视为关于 的一元二次方程有正根，所以22140321xxx解法二： ，解得12xyyx21x好题速递 179不等式模块 5 已知实数 满足 ，则 的最大值为 ,xy621yxzxy解：画出可行域， 为可行域内任意一点，目标函数 理,Exy zxy解为长方形 的面积，当 取最大值时，点 必在线段 上，OPFzPAB即 6xy又因为 ，即2xy9xy点评：本题和今年四川高考第 9 题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。（2015 四川第 9 题）如果函数 在区间21810,fxmxn
22、mn上单调递减，则 的最大值为（ ）1,2nA16 B18 C25 D 812解：画出可行域 或 或208,mn20,n08,mn（或用导数 对 恒成立，即 ）280fxmxn1,2x2180,nm令 ，则 ，当函数 与可行域相交变化中，看 的变化可得，当 与nttntyt tyn相切时，取得最大值，则两式联立 ，解得162y 08,1nt好题速递 180不等式模块 6已知 ，若 ，20fxab12f，且 ，则实数 的取值范围是 214f2cc解：因为 ， ，f14f故 ， ，12abab在直角坐标系 中，作出可行域，得O0,3ba由 得 ，解得20acb20,31bca321,c好题速递 1
23、81不等式模块 7 设 ，若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有 301bax2xba个，则 的取值范围是 a解： 2110xbaxbaxb若要使不等式恰有三个整数解，必有 ，所以解集为1bxa又 ，所以 ，所以01ba0,1ba321ba所以 满足 ，画出可行域，可知,ab2301a1,3a好题速递 182不等式模块 8 不等式 对于任意的 及 恒成立，则实数 的220xay1,2x,3ya取值范围是 解： 220xayyx又 及 ，所以 ，所以 ，所以1,31,32max292y92a好题速递 183不等式模块 9已知 ，满足 ，则 的取值范围,xyR24,1yx221xy是 解： 222
24、2 111yxyxy xk其中 视为可行域内的点与 连线的斜率， ，故1ykx1,1,3k102,3k好题速递 184不等式模块10已知实数 满足 ，若不等式 恒成立，则,xy053y22mxy的最大值为 m解： 的可行域如图，053xy2221xyxymxy令 ，则31,2ykxmin25113k点评：最近几天的题目都是线性规划为背景，利用齐次化思想，将两元的问题转为为关于k 的一元问题，从而变为函数求值域的问题。好题速递 185数列模块 1数列 满足 ， ，则此数列最多有 项na123,4a211nnna解：由 得2110nnna121nn故新数列 是首项为 48，公差为 的等差数列，所以
25、1n 2148490nan得 ，故最多 ，最多 50 项。4950a好题速递 186数列模块 2已知函数 ，记 若 是递减数2318,3xtxf*nafNna列，则实数 的取值范围是 t解： 是递减数列，从 开始，必须满足na4a130t又对 ，根据二次函数的性质，需要满足对称轴1,23n 352t注意还要满足 ，即 ，4a9183tt综上得 53t好题速递 187数列模块 3已知集合 ，若 中有且仅有 3 个元素，则实数 的21|,*nANA取值范围是 解：令 ，考查 的单调性，21nbanba11252nnnba当 时， ，即10n21当 时， ，此时 单调递减31nbanba， ， ，1
26、2ba43584716由题意知， 中有且仅有 3 个元素，只需大于第四项即可，所以A 7162点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量 取正整数，函数图象是不连续的点。n因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与 0 比较大小解决。这个题目最经典的题根就是“递增数列 的通项公式为 ，则 的取值范围是 na2na。 ”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用 的角度来求解。10好题速递 188数列模块 4在各项均为正整数的单调递增数列 中， 且na12,a，则 1321,*kkaN9解：当 时，由 及 得132kka12
27、,a4312a又数列 是各项均为正整数的单调递增数列，所以na 3312a所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以230317722a*N45a当 时，由 ，所以k51a58当 时，由 ，所以3628613a当 时，由 ，所以4k713a72继续下去，可得 95本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由 得1321,*kkaN12321kkkkaa可以发现 ，即斐波那契数列1,ka好题速递 189数列模块 5设 是等差数列 的前 项和，若数列 满足 且nSnana2nSABnC，则 的最小值是 0A1BC解：设 ，则napq232npqnpqaS n故 ，解得23ApqBC3CA故 1323AB好题速
28、递 190数列模块 6已知函数 ，若数列1sin2,1,2xnfx nNx 满足 ，且 的前 项和为 ，则 ma*2fmNmamS20146S解： 1sin2,4,2,*,4m nf nx N所以 ， ， ，42na412n421na432na故 0160728018S好题速递 191向量模块 1在平面直角坐标系 中，已知点 在椭圆 上，点 满足xOyA2159xyP，且 ，则线段 在 轴上的投影长度的最大值为 APOR72APP解： ，即 ，则 三点共线，1,O故 72PA设 在 轴的夹角为 ，设点 ， 为点 在 轴上的投影，则 在 轴上的投影Ox,AxyBAxPx长度为 22277cos
29、1569OBPxyx 当且仅当 时取得等号。154x好题速递 192向量模块 2 已知 是 的外心， ，若 ，则 的最大值OABC1cos3AOmABnCn为 解：由 ，得AOmBnC22AOBmnACB即 ，解得2213cbcbmn9316cbn所以293939631681814cbcbcbc点评：这是用向量法处理三角形外心问题的一般套路，在向量等式的两边同时点积两边，可以将向量点积问题转变为边的长度问题。好题速递 193向量模块 3在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 交于xOy2yx220yr两点， 为坐标原点，若圆上有一点 满足 ，则 ,ABOC534OAB解：22 2 25353941
30、6416CABAB即 ，整理得22 219cos68rrr3cos5A过点 作 的垂线交 于 ，则由 得OABD21OBD21cos5AOD又圆心到直线的距离为 ，故 ，所以2O221cos5Ar20,r好题速递 194向量模块 4已知圆 的半径为 1， 为圆 的一条动弦，OADO以弦 为一条边向圆 外作正方形 ，连结ADBC，设 ，若 ，,OCBtan2，则 的值为 解：过点 作 于 ，HAt1HD1322OCDOAOD故 13,2好题速递 195向量模块 5已知两个不共线的向量 满足 ， ，设 的夹角为 ，,32 ,则 的最小值是 cos解法一：代数法：由 两边平方整理得2 273183c
31、os500解法二：几何法，以 ，由 得 ，画出,OACB2 2BCA图象可知 的终点 在阿氏圆 上B2516xy故 最大为 与阿氏圆相切时，此时 3cos好题速递 196向量模块 6在 中， ， 分别为三角形的重心和外心，且 ，ABC5,GO5OGBCA则 的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D上述三种情况都有可能解： 15552OGCBAAA又 ，所以131132故 ，故 为钝角，所以 是钝角三角形502CABCAB好题速递 197向量模块 7已知向量 ， ，0abA0cbA， ，则 的最大值是 3ac1c解：数形结合，如图所示可知 60ABDC故 2cos603a即 ，
32、得223acac又由恒等式 知222ac2234cac注意这里出现不等式打架，故调整思路为： 2239accac故 3ac好题速递 198解析几何模块 1已知椭圆 的右焦点为 ，直线 与曲线2:1xyEab2Fl相切于点 ，且交椭圆 于 两点，则 的周长为 22:0CxybxME,PQ2P解：设 ，122,0PQyFc因为 与圆 相切于点:xbx所以222221111xcxPMOybba同理 2cxQa所以 222222 212111 1 1xccPFyxcbxaxa所以 2122,caxa21212FPQCPQFPMQcccxxxaaa好题速递 199解析几何模块 2在平面直角坐标系中，已知
33、圆 ，点 ，若22: 1Cxay0,2A圆 上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是 CM210AO解法一：设 ，则 的轨迹为 ，化简得,xy22210xyxy2214xy若圆 上存在点 ，满足 只需圆 与 有公共点210C224所以 ，即 ，解得13CN2213a,3a解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得 22240MAON故 （其中 为 中点） ，故 ，下同解法一2MNAO2214xy好题速递 200解析几何模块 3若对任意 ，直线 与圆R:cosin2si46lxy均无公共点，则实数 的取值范围是 22: 1Cxmym解：cos3insi4611d故对任意 ， 恒成立R2sim等价于对任意 ， 或 恒成立in562sin36m显然对任意 ， 不恒成立2si故只有对任意 ， 恒成立Rin36m即 ，得23m15,2
