1、二次函数一、选择题1.若二次函数 y(a1)x 23xa 21 的图象经过原点，则 a 的值必为（ ） A. 1 或1 B. 1 C. 1 D. 02.对于抛物线 yax 2(2a1)xa3，当 x1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3.把抛物线 y- 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y-(x-1) 2-3 B. y-(x1) 2-3 C. y-(x-1)23 D. y-(x1) 234.已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 . ， ，其对称轴在 轴右侧，有下列结论
2、：抛物线经过点 ；方程 有两个不相等的实数根； .，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.当 axa+1 时，函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 0 或2 D. -1 或 26.二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）A. B. C. D.7.已知二次函数 ( 为常数),当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值 的最大值为-1,则 的值为( ) A. 3 或 6 B. 1 或6 C. 1 或 3 D. 4 或 68.已知抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数
3、）经过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与线段 BC 有交点，其中点 B（1，0），点 C（3，0），则 c 的值不可能是（ ）A4 B6 C8 D10 9.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为 20 米，拱顶距离水平面 4 米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深 6 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A. 2.76 米 B. 6.76 米C. 6 米 D. 7 米10.已知抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0（t 为实数）在10； 4a+b
4、=0；若点 A 坐标为(1，0)，则线段 AB=5； 若点 M(x1 ， y 1)、N(x 2 ， y 2)在该函数图象上，且满足 00，解得：a1，2a-10， 0a0 经过点 ，a-b+c=0 经过点 ，c=3a-b=-3b=a+3，a=b-3-30，当 x=-1 时，a-b+c=0，由抛物线与 y 轴的交点得出 c=3，从而得出 b=a+3，a=b-3，故-3 | x 2 2 | ，即可得 y1y 2。12.【答案】C 【解析】 ：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，则PBQ 的面积 S= PBBQ= （3-t）2t=-t 2+3t，故PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象
5、大致是二次函数图象，开口向下故答案为：C【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出 S 与 t 的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。二、填空题13.【答案】（-2,4） 【解析】 ：抛物线 y=2(x+2)+4 的顶点坐标为：（-2,4）故答案为：（-2,4）【分析】此抛物线的解析式为顶点式，可直接写出其顶点坐标。14.【答案】【解析】 ：二次函数 的图像向上平移 3 个单位长度， +3=x2+2.故答案为： .【分析】根据平移的性质：上+下-，由此即可得出答案.15.【答案】【解析】 ：y=x 22mx=(xm)2m2 ， 若 m2，当 x=2 时，y=
6、44m=2，解得：m= 2，若 1m2 三种情况，根据 y 的最小值为-2，结合二次函数的性质即可求解。16.【答案】pabq 【解析】 如下图，关于 x 的方程 2-(x-a)(x-b)=0 的两根 p、q(Pq)是二次函数 y=-(x-a)(x-b)与直线 y=-2 的两个交点的横坐标，由图可得 pabq.故答案为：pabq.【分析】根据二次函数的图像和性质可得，若 p、q 是关于 x 的方程 2-(x-a)(x-b)=0 的两根，则相对应的二次函数 y=2-(x-a)(x-b)与 x 轴有两个公共点，且已知 a0,根据条件可画出简易图像，然后从图像中比较大小即可。17.【答案】 ， 【解
7、析】 ：抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（-2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于 x 的方程 ax2-bx-c=0 的解为 x1=-2，x 2=1所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，x 2=1故答案为 x1=-2，x 2=1【分析】方程 a x 2 = b x + c 的解就是抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 交点横坐标。18.【答案】2 【解析】 ：如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当 y=0 时，x 2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=1，x 2=3，A（3，0），
8、B（1，0），AB=3+1=4，AC=BC=2，m=2，故答案为：2【分析】根据 B，C 是线段 AD 的三等分点，得出 AC=BC=BD，根据平移的性质得出 AC=BD=m，由抛物线与坐标轴交点的坐标特点得出 A,B 两点的坐标，从而得出 AB 的长。进而得出 m 的值。19.【答案】24-8 【解析】 如图，建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，由题意可得，AQ=12，PQ=MD=6，AP=6，AG=36，RtAPM 中，MP=8，故 DQ=8=OG，BQ=128=4，BQCGBQ：CG=AQ：AG,即 4：CG=12：36，CG=1
9、2，OC=12+8=20，C(20,0)，水流所在抛物线经过点 D(0,24)和 B(12,24)，设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C(20,0),B(12,24)代入抛物线得解之：y=- x2+ x+24点 E 的纵坐标为 10.2，当 y=10.2 时,则 10.2= x2+ x+24，解之：x 1=6+8 ，x 2=682 (舍去)，点 E 的横坐标为 6+8 ，又ON=30，EH=30(6+8 )=248 .故答案为：248 .【分析】先建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，根据平行线分线段成比例（BQCG），求得点 C（
10、20，0），再根据水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24），可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0），B（12，24）代入抛物线， 求出抛物线的解析式，最后根据点 E的纵坐标为 10.2，得出点 E 的横坐标，根据 ON 的长，可求出 EH 的长。20.【答案】【解析】 ：DEBC，垂足为 E，tanC= = ，CD=x，DE= ，CE= ，则 BE=10 ，S= SBED = （10 ） 化简得： 故答案为： s 【分析】根据锐角三角函数的定义，可得出 ,因此设 CD=x，可表示出 DE、CE 的长，就可求出BE 的长，再利用三角形的面积公式，可得出 s 与
11、x 的函数解析式。三、解答题21.【答案】 ：由图象可知：抛物线的对称轴为 x=1， 设抛物线的表达式为：y=a（x1） 2+k抛物线经过点（1，0）和（0，3） 解得 ，抛物线的表达式为：y=（x1） 24，即 y=x22x3 【解析】【分析】设顶点式 y=a（x1） 2+k，然后把图象上的两点坐标代入得到 a 与 k 的方程组，再解方程组即可22.【答案】解：（）设 P=kx+b，根据题意，得： ，解得： ，则 P=x+120；（）y=（x60）（x+120）=x 2+180x7200=（x90） 2+900；（）销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 50%，60x（1+50%）60，即
12、 60x90，又当 x90 时，y 随 x 的增大而增大，当 x=90 时，y 取得最大值，最大值为 900，答：销售单价定为 90 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 900 元 【解析】【分析】（）抓住已知条件：销售量 P（件）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，当销售单价为 65 元时销售量为 55 件，当销售单价为 75 元时销售量为 45 件，利用待定系数法求出 P 与 x 的函数关系式即可。（）根据商场获得利润 y=每一件的利润销售量 P，可建立 y 与 x 的函数解析式。（）将（）的二次函数解析式配方成顶点式，再根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，求出自变量 x
13、 的取值范围，利用二次函数的性质，即可求解。23.【答案】（1）将 A（0，6）代入 y=a（x+1）（x-9），得： 抛物线解析式为 （2） 的值不变如图 10，过点 E 作 DGAB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G四边形 OABC 为矩形，DGOC，BD=GC由 BEEF，易证BDEEGF，得： ，即 由 A（0，6），抛物线对称轴为直线 ，得 B（8，6），即 OC=6.易知 ， （3）如图 11，过点 E作 PQx，FPPQ，CQPQ易证FPEBQE可知 QE=4，FP=3则 CQ=3，BQ=9 BE=BE= 【解析】【分析】（1）将 A 点的坐标代入 y=a（x+1）（x-9
14、），即可求出 a 的值，从而得出抛物线的解析式；（2）如图 10，过点 E 作 DGAB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G，根据矩形的性质由 DGAB 得出DGOC，BD=GC，然后证出BDEEGF，根据相似三角形对应边成比例得出 BEEF = BD EG ，即 BE EF =GCEG,根据 A 点的坐标及对称轴得出 B 点的坐标，从而得出 AB 的长度，根据矩形的性质得出OC 的长，根据锐角三角函数的关系得出 GC EG =COAO = 8 6 = 4 3 ，从而得出答案；（3）过点 E作 PQx，FPPQ，CQPQ，易证FPEBQE可知 QE=4，根据相似三角形对应边成比例得出 FP
15、=3，根据矩形的性质及 B 点的坐标得出 CQ=3，BQ=9，根据勾股定理得出 BE，根据对称性得出 BE=BE从而得出结论。24.【答案】（1）证明：连接 BE CD 与 B 相切于点 E BE CD设点 D 的坐标为（ x ， 0），则 BD=x1在 OCD 和 EBD 中， OCD EBD 即 CD=2x2 在 Rt OCD 中，OC2+OD2=CD2即 22+x2=（2 x2） 2解得 x1= ， x2=0（舍去）即点 D 的坐标为（ ，0）把 C（0，2），D（ ，0）代入 y=ax22 ax+c 中得:函数解析式为： y= x2+ x+2（2）解：连接 BE ， CB ， CB 交
16、 OE 于 H CD 与 O 相切于 E ， CO OB 于 O ， BO 为 O 半径 CO 与 O 相切于 O BC OE 于点 H OCH+ COH= BOH+ COH=90， BOH= COH即 AOE= OCB sin AOE= sin OCB= 在 Rt OCB 中， OB=1， OC=2 由勾股定理得 = （3）存在，理由如下：连接 DM ， 据题意有 CM=t， OC=2， OD= ，则 OM=2-t MN/CD ONM= ODC 且 S QMN=S DMN tan ONM=tan ODC ON= S=S QMN=S DMN= S= 点 M 在 OC 上运动 S 与 t 成二次
17、函数关系，且 0当 t=1 时， S 有最大值， MISSING IMAGE: , 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出 BE CD， 设点 D 的坐标为（ x ， 0），则 BD=x1，然后证出 OCD EBD ，根据相似三角形对应边成比例得出 OCEB=CDBD,即 21=CDx-1,从而得出CD=2x2 ，在 Rt OCD 中，根据勾股定理列出关于 x 的方程，求解得出 x 的值，得出 D 点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）连接 BE ， CB ， CB 交 OE 于 H，根据切线的判定定理判断出 CO 与 O 相切于 O，根据切线长定理得出 BC OE 于点 H
18、 ，根据同角的余角相等得出 BOH= COH， 即 AOE= OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出 sin AOE= sin OCB= O B C B ，在 Rt OCB 中，由勾股定理得出 BC 的长度，从而得出答案；（3）连接 DM ， 据题意有 CM=t， OC=2， OD= ， 则 OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出 ONM= ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出 S QMN=S DMN ， 再根据等角的同名三角函数值相等得出 tan ONM=tan ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出 ON 的长度，进而表示出 ND，根据 S=S QMN=S DMN= N D O M，从而得出 s 与 t 之间的函数关系式；根据点 M 在 OC 上运动故 0 t 2 ， S 与 t 成二次函数关系中二次项的系数 0，从而得出答案当 t=1 时， S 有最大值， S 最 大 值 = 。
