1、课时跟踪训练( 四十七)基础巩固一、选择题1已知点 A(1，1)，B (1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )Ax 2y 2 2 Bx 2y 2 2C x2y 21 Dx 2y 24解析 AB 的中点坐标为 (0,0)，|AB| 2 ，1 12 1 12 2圆的方程为 x2y 22.答案 A2(2017豫北名校 4 月联考) 圆(x2) 2y 24 关于直线 y x33对称的圆的方程是( )A( x )2(y1) 24 B(x )2(y )243 2 2C x2( y2) 24 D(x 1) 2(y )243解析 设圆 (x2) 2y 24 的圆心(2,0) 关于直 线 y x 对
2、称的33点的坐标为( a，b)，则有Error!解得 a1，b ，从而所求 圆的方程为3(x1) 2( y )24. 故选 D.3答案 D3(2017湖南长沙二模) 圆 x2y 22x2y 10 上的点到直线xy 2 距离的最大值是 ( )A1 B2 C1 D22222 2解析 将圆 的方程化 为(x 1) 2(y1) 2 1，圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆 心到直线 xy2 的距离 d ，故圆上|1 1 2|2 2的点到直线 xy 2 距离的最大 值为 d1 1，选 A.2答案 A4若曲线 C：x 2y 2 2ax4ay5a 240 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为(
3、)A( ，2) B(，1)C (1，) D(2，)解析 曲 线 C 的方程可以化为(x a) 2(y2a) 24，则该方程表示圆心为( a,2a) ，半径等于 2 的圆因为圆上的点均在第二象限，所以 a2.答案 D5点 P(4， 2)与圆 x2y 24 上任一点连线的中点轨迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21B (x2) 2(y1) 24C (x4) 2(y2) 24D( x2) 2( y1) 21解析 设圆 上任一点坐标为( x0，y0)，则 x y 4，连线中点坐20 20标为( x，y)，则Error!Error!代入 x y 4 中得(x2) 2(y 1) 21.20 20答
4、案 A6(2017福建厦门 4 月联考) 若 a ，则方程 2，0，1，34x2y 2ax 2ay 2a 2a10 表示的圆的个数为 ( )A0 B1 C2 D3解析 方程 x2y 2ax2ay2a 2a10 表示圆的条件为a24a 24(2a 2a1)0，即 3a24a40)，因为该圆 与直线 yx3 相切，所以 r ，故该圆的标准方程是 x2( y1) 22.| 1 3|2 2答案 x 2 (y1) 2 214(2017 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A( 12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x 2y 250 上若 20 ，则点 P 的横坐标的取PA PB 值范围是_解析
5、本 题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交解法一：设 P(x，y)，则 由 20 可得，PA PB (12 x)(x )(y )(6y) 20，即(x 6) 2 (y3) 265 ，所以 P 为圆( x6) 2(y3) 265 上或其内部一点又点 P 在圆 x2y 250 上，联立得Error!解得Error!或Error!即 P 为圆 x2y 250 的劣弧 MN 上的一点(如图)，易知5 x 1.2解法二：设 P(x，y)，则 由 20，PA PB 可得(12x)(x ) (y )(6y) 20，即 x212x y 26y20，由于点 P 在圆 x2y 2 50 上，故
6、 12x6y300，即 2xy50，点 P 为圆 x2y 250 上且满足 2xy5 0 的点，即 P 为圆x2y 250 的劣弧 MN 上的一点(如图)同解法一，可得 N(1,7)，M(5，5)，易知5 x 1.2答案 5 ，1215已知点 P(2,2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP| |OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化为 x2(y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.设 M(x，y)，则 ( x，y4)， (
7、2x,2y) CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2x)(y4)(2 y)0，即(x 1) 2 (y3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x 1) 2(y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆2由于|OP| |OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在 圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 y x .13 83又|OM |OP|2 ，O 到 l 的距离为 ，|PM| ，24105 4105所以POM 的面积为 .12 4105 4105 1
8、6516(2017 吉林省实验中学模拟) 已知圆 M 过 C(1，1)，D( 1,1)两点，且圆心 M 在直线 xy2 0 上(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值解 (1)设圆 M 的方程为(xa) 2( yb) 2r 2(r0)，根据题意得Error!解得 ab1，r2，故所求圆 M 的方程为(x 1) 2(y1) 24.(2)由题 意知，四边形 PAMB 的面积为 SS PAMS PBM (|AM|PA|BM| PB|)12又|AM|BM |2，|PA| |PB|，所以 S2
9、|PA|，而|PA|2| PM|2|AM| 2 |PM|24，所以 S2 .因此要求 S 的最小值，只需求 |PM|的最小值，|PM|2 4即在直线 3x4y 8 0 上找一点 P，使得| PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 2 .|PM|2 4 5延伸拓展1若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2y 2kx 2yk 2150 相切，则实数 k 的取值范围是_解析 由 k244( k215)0，得 0，得 k2.所以 k 的取 值范围是 .( 833， 3) (2，833)答案 ( 833， 3) (2，833)2(2017山西运城二模) 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心C 到直线 l： x2y0 的距离为 ，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长55之比为 31，则圆 C 的方程为_解析 设圆 C 的方程为(x a) 2(yb) 2r 2，则点 C 到 x 轴，y轴的距离分别为|b|，|a |.由题意可知Error!Error!或Error!故所求圆 C 的方程为(x1) 2( y1) 22 或(x 1) 2( y1) 22.答案 (x1) 2(y 1)22 或(x1) 2(y 1)22
