1、课时跟踪训练( 六十一)基础巩固1(2016全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数) 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin 2 .( 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解 (1)C1的普通方程为 y 21.C 2的直角坐标方程为x23xy 40.(2)由题 意，可设点 P 的坐标为( cos，sin)因为 C2是直线，所3以|PQ| 的最小 值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值，d(
2、 ) .| 3cos sin 4|2 2|sin( 3) 2|当 sin 1 时， d 的最小值为 ，此时( 3) 2 2k，k Z，P 点坐 标为 .6 (32，12)2(2016全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2 (y1) 2a 2，C1是
3、以(0,1)为圆 心，a 为半径的圆将 x cos，ysin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22sin1a 20.(2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos28sincos1a 20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos 0，从而 1a 20，解得 a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，在 C3上，所以 a1.3(2018湖北七市联考) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( t 是参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为
4、8cos .( 3)(1)求曲线 C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求|AB |的最大值和最小值解 (1)对 于曲线 C2有 8cos ，即( 3)2 4cos4 sin，因此曲线 C2的直角坐标方程为 x2y 24x43y 0，其表示一个 圆 3(2)联立曲 线 C1与曲线 C2的方程可得t22 sint130，| AB|t 1t 2| 3 t1 t22 4t1t2 ，23sin2 4 13 12sin2 52因此|AB |的最小值为 2 ，最大值为 8.134(2017东北三省四市二模) 已知在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极
5、点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 4cos，直线 l 的参数方程是Error! (t 为参数) (1)求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；(2)若曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C1上的点 P的极角为 ，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 的距4离的最大值解 (1)由 4cos 得 24cos，又 x2y 2 2，xcos，ysin，所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2y 24x 0，由直线 l 的参数方程消去参数 t 得直线 l 的普通方程 为x2y 30.(2)因为 点 P 的极坐标为 ，直角坐 标为
6、 (2,2)，(22，4)点 Q 的直角坐标为(2cos，sin)，所以 M ，(1 cos，1 12sin)点 M 到直线 l 的距离d ，|1 cos 2 sin 3|5 105|sin( 4)|当 k(kZ )，即 k(kZ)时，点 M 到直线 l 的距4 2 4离 d 的最大值为 .1055(2017西宁统一测试) 已知曲线 C： 1，直线x24 y29l：Error!( t 为参数) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点A，求 |PA|的最大值与最小值解 (1)曲 线 C 的参数方程为Err
7、or!( 为参数 )直线 l 的普通方程为 2xy 60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为d |4cos3sin6| ，55则|PA | |5sin()6|，其中 为锐角，且 tan .dsin30 255 43当 sin()1 时，| PA|取得最大值，最大 值为 .2255当 sin()1 时，|PA| 取得最小值，最小值为 .255能力提升6(2017陕西西安地区高三八校联考) 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin，0,2(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)在曲线
8、C 上求一点 D，使它到直线 l：Error!( t 为参数) 的距离最短，并求出点 D 的直角坐标解 (1)由 2sin ，0,2，可得 22sin.因为 2x 2y 2，siny ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22y 0(或 x2( y1)21) (2)因为 直线 l 的参数方程 为Error!(t 为参数) ，消去 t 得直线 l 的普通方程为 y x5.3因为曲线 C：x2( y1) 21 是以 G(0,1)为圆心、 1 为半径的圆，(易知 C、l 相离 )设点 D(x0，y0)，且点 D 到直线 l：y x5 的距离最短，3所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l：y
9、x5 平行3即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即 ( )1，y0 1x0 3又 x (y 01) 21，20可得 x0 (舍去)或 x0 ，所以 y0 ，32 32 32即点 D 的坐标为 .(32，32)7(2017湖南五市十校高三联考) 在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数 )，直线 l 与曲线C： Error!( 为参数)相交于不同的两点 A，B.(1)若 ，求线段 AB 的中点的直角坐标；3(2)若直线 l 的斜率为 2，且过已知点 P(3,0)，求|PA|PB |的值解 (1)由曲 线 C：Error!( 为参数)，可得曲线
10、C 的普通方程是x2y 21.当 时，直 线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，3代入曲线 C 的普通方程，得 t26t160，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t 26，所以 线段 AB 的中点对应的 t 3，t1 t22故线段 AB 的中点的直角坐标为 .(92，332)(2)将直 线 l 的参数方程代入曲 线 C 的普通方程，化简得(cos2sin 2)t26tcos80，则|PA |PB|t 1t2| ，|8cos2 sin2| |81 tan21 tan2|由已知得 tan2，故|PA|PB| .4038在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Erro
11、r!( 为参数) ，其中 ab0.以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2cos，射线 l：(0)若射线 l 与曲线 C1交于点 P，射线 l 与曲线 C2交于点 Q，当 0 时，| PQ|1；当 时，2|OP| .3(1)求曲线 C1的普通方程；(2)设直线 l：Error! (t 为参数，t0) 与曲线 C2交于点 R，若 ，求OPR 的面积3解 (1)因 为曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，且 ab0，所以曲线 C1的普通方程为 1，而其极坐标方程为 x2a2 y2b2 2cos2a21.2sin2b2将 0( 0) 代入 1，得 a，即点 P
12、的极坐2cos2a2 2sin2b2标为( a,0)，将 0( 0) 代入 2cos，得 2，即点 Q 的坐标为(2,0)因为|PQ| 1，所以| PQ| a2|1，所以 a1 或 a3.将 ( 0)代入 1，得 b，即点 P 的极坐2 2cos2a2 2sin2b2标为 ，(b，2)因为|OP| ，所以 b ，因为 ab0，所以 a3，3 3所以曲线 C1的普通方程为 1.x29 y23(2)因为 直线 l的参数方程 为Error!(t 为参数， t0)，所以直线l的普通方程为 y x(x0) ，而其极坐 标方程为3 (R，0) ，3所以将直线 l的方程 代入曲线 C2的方程 2cos，得31，即 |OR|1.因为将射线 l 的方程 (0)代入曲线 C1的方程 3 2cos291 ，得 ，即|OP| ，所以 S2sin23 3105 3105OPR |OP|OR|sinPOR 1sin .12 12 3105 3 33020
