1、课时跟踪训练( 五十一)基础巩固一、选择题1(2017江西九江一模) 若双曲线 mx22y 22 的虚轴长为 4，则该双曲线的焦距为( )A2 B. C2 D.5 5 3 3解析 双曲 线方程为 y2 1， 4，m ，双曲线x2 2m 2m 12的焦距为 2 ，故选 A.5答案 A2(2017全国卷 )若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取x2a2值范围是( )A( ，) B( ， 2)2 2C (1， ) D(1,2)2解析 依题 意得，双曲 线的离心率 e ，因为 a1，所以1 1a2e(1， )，选 C.2答案 C3(2017全国卷 )已知 F 是双曲线 C：x 2 1 的右焦点，y2
2、3P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF的面积为( )A. B. C. D.13 12 23 32解析 解法一：由 题可知，双曲 线的右焦点为 F(2,0)，当 x2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4 1，解得 y3 ，不妨取点 P(2,3)，因y23为点 A(1,3)，所以 APx 轴；又 PFx 轴，所以 APPF，所以 SAPF |PF|AP| 31 .故选 D.12 12 32解法二：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4 1，解得 y3，不妨取点 P(2,3)，因为y23点 A(1,3)，所
3、以 (1,0)， (0，3)，所以 0，所以AP PF AP PF APPF，所以 SAPF |PF|AP| 31 .故选 D.12 12 32答案 D4(2017天津卷 )已知双曲线 1(a0，b0) 的右焦点为x2a2 y2b2F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形( O为原点) ，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. y21 Dx 2 1x23 y23解析 由OAF 是边长为 2 的等边三角形可知，c2， tan60 ，又 c2a 2b 2，联立可得 a1， b ，双曲线ba 3 3的方程为 x2 1.y23答案 D5
4、(2018广东六校联盟联考) 设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两y224个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4| PF2|，则PF 1F2 的面积等于( )A4 B8 C24 D482 3解析 依 题意，得 F1(5,0) ，F2(5,0)，|F1F2|10.3|PF1|4|PF 2|，设|PF 2|x，则| PF1| x.43由双曲线的性质知 xx 2，解得 x6.43|PF1|8，|PF 2|6， F1PF290，PF1F2的面积 8624.故选 C.12答案 C6(2016天津卷 )已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，x24 y2b2双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲
5、线的两条渐近线相交于A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212解析 根据 对称性，不妨设点 A 在第一象限，其坐标为(x ，y)，于是有Error!Error!则 xy b 212.故所求双曲线的方16b2 4b2 b2程为 1，故选 D.x24 y212答案 D二、填空题7若双曲线的渐近线方程为 x2y0，焦距为 10，则该双曲线的方程为_解析 设 双曲线的方程为 x24y 2( 0)，焦距2c 10，c225，当 0 时， 1， 25，20；x2 y24
6、 4当 0)的左、x22 y2b2右焦点和点 P(1， )为顶点的三角形为直角三角形，则 b 等于2_解析 设 双曲线 1(b0)的左、右焦点为 F1(c,0)，x22 y2b2F2(c,0)，依题意， kPF1kPF2 1，c 23，b 21，b1.21 c 21 c答案 19(2017全国卷 )已知双曲线 C： 1(a0，b0)的右x2a2 y2b2顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN60，则 C 的离心率为_解析 双曲 线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方程为 y x，ba即 bxay0， 圆心 A 到此渐近
7、线的距离 d ，因为|ba a0|b2 a2 abcMAN60， 圆的半径 为 b，所以 bsin60 ，即 ，所以 eabc 3b2 abc .23 233答案 233三、解答题10如图，已知 F1、F 2 为双曲线 1(a0，b0)的焦点，x2a2 y2b2过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF 1F230.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程解 (1)PF2F190，PF 1F230.在 RtPF2F1中，|PF1| ，|PF2| |PF1| ，|F1F2|cosPF1F2 2ccos30 43c3 12 23c3又|PF 1|PF 2|2a，即 c2a，
8、 ，233 ca 3e .ca 3(2)对于双曲线，有 c2 a2b 2，b .c2 a2 .ba c2 a2a (ca)2 1 3 1 2双曲线的渐近线方程为 y x.2能力提升11(2017 广东佛山一中段考) 已知双曲线 1 的左、右x2a2 y2b2焦点分别为 F1，F 2，过点 F1 作圆 x2y 2a 2 的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点 B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且| CD|CF 2|，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.6 5 3 2解析 过 F1作圆 x2y 2a 2的切线分别 交双曲线的左、右两支于点 B，C，且 |CD| |CF2|，|
9、DF1|2a，由题意，切线的斜率为 ，切线方程为 y (xc )，ab ab与 y x 垂直， 2ab， c a，e ，故选ba a2 b2 5 ca 5B.答案 B12(2017 吉林长春市二模) 已知双曲线 C1： y 21，双曲线x24C2： 1(a b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，M 是双曲线 C2x2a2 y2b2的一条渐近线上的点，且 OMMF 2，O 为坐标原点，若 SOMF216，且双曲线 C1，C 2 的离心率相同，则双曲线 C2 的实轴长是( )A32 B16 C8 D4解析 双曲 线 C1： y 21 的离心率为 ，设 F2(c,0)，双曲线x24 52C2一条
10、渐近 线方程为 y x，ba可得|F 2M| b，bca2 b2即有|OM | a，c2 b2由 SOMF216，可得 ab16，12即 ab32，又 a2b 2c 2，且 ，ca 52解得 a8，b4， c4 ，5即有双曲线的实轴长为 16，故选 B.答案 B13(2017 江西上饶一模) 已知双曲线方程为 1，若x2m2 4 y2b2其过焦点的最短弦长为 2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B.(1，62 62， )C. D.(1，62) ( 62， )解析 由 题意， 2，a2，2b2ab ，ae ，1 b2a2 1 1a 62e1，10，b0)，x2a2 y2b2其右顶点是
11、A，若双曲线 C 右支上存在两点 B，D ，使ABD 为正三角形，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_解析 双曲 线 C 的渐近线方程为 y x，要使 ABD 为正三角ba形，则只需 过右顶点 A，且斜率为 的直线与双曲 线有两个不同的交33点，即只需该直线的斜率大于渐近线 y x 的斜率 ，b1，所以 10，b0)的右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线与双曲线 M 交于 A，B 两点，与双曲线 M 的两条渐近线交于C， D 两点若|AB | |CD|，则双曲线 M 的离心率是_35解析 设 双曲线的右焦点为 F(c,0)，易知，|AB| .该双曲线2b2a的
12、渐近线方程为 y x，当 xc 时，y ，所以|CD| .由|AB |ba bca 2bca|CD|，得 ，即 b c，所以 a c，所以 e 35 2b2a 35 2bca 35 c2 b2 45 ca.54答案 5416设 A，B 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右顶点，x2a2 y2b2双曲线的实轴长为 4 ，焦点到渐近线的距离为 .3 3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，O 为33坐标原点，且在双曲线的右支上存在点 D，使 t ，求 tOM ON OD 的值及点 D 的坐标解 (1)由 题意知 a 2 .3一条渐近线为 y x，即 b
13、xay 0，右焦点的坐 标为(c, 0)，ba由焦点到渐近线的距离为 ，得 .3|bc|b2 a2 3b23， 双曲线的方程为 1.x212 y23(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x 2tx 0，y1y 2ty 0.将直线的方程 y x2 代入双曲线的方程 1，得33 x212 y23x216 x840，3则 x1x 216 ，y1y 2 (x1x 2)412，333Error!Error!t4，点 D 的坐标为 (4 ，3)3延伸拓展1(2017福州市高三质量检测) 已知双曲线E： 1( a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，|F 1F2|6，
14、Px2a2 y2b2是双曲线 E 右支上一点，PF 1 与 y 轴交于点 A，PAF 2 的内切圆与AF2 相切于点 Q.若|AQ| ，则双曲线 E 的离心率是 ( )3A2 B. C. D.3 5 3 2解析 如图所示，设 PAF2的内切 圆与 PF2相切于点 M.依题意知，|AF1| AF2|，根据双曲线的定义，以及 P 是双曲 线 E 右支上一点，得2a| PF1|PF 2|，根据三角形内切圆的性质 ，得|PF1| AF1|PA |AF 1|(|PM| |AQ|)，|PF2| PM|MF 2|PM| | QF2|PM|(| AF2|AQ|)所以2a2| AQ| 2 ，即 a .因为|F
15、1F2|6，所以 c3，所以双曲线 E3 3的离心率是 e ，故选 C.ca 33 3答案 C2(2017武汉武昌区高三三调) 已知双曲线 1( a0，b0) 的x2a2 y2b2两条渐近线分别为 l1，l 2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交l1，l 2 于 A，B 两点若| OA|，| AB|，|OB| 成等差数列，且 与 反向，AF FB 则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.52 3 5 52解析 设实轴长为 2a，虚轴长为 2b，令AOF，则由题意知tan ，在 AOB 中，AOB180ba2 ，tanAOBtan2 ，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列， 设ABOA|OA| md， |AB|m，|OB|md， OABF，(md) 2m 2(md)2，整理，得 d m，tan2 ，解得 214 2tan1 tan2 ABOA m34m 43 ba或 (舍去) ，b2a，c a，e .故选 C.ba 12 4a2 a2 5 ca 5答案 C
