1、四 函数、不等式中的恒成立问题1(2017 年广东揭阳二模)已知函数 f(x) g(x)| A2|sin x(xR)，213514(logx ,若对任意的 x1， x2R，都有 f(x1)g(x 2)，则实数 A 的取值范围为( )A. B.( ，94 74， )C. D. 74，94 ( ，74 94， )2(2016 年河北衡水调研)设过曲线 f(x)e xx(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1，总存在过曲线 g(x)ax2cos x 上一点处的切线 l2，使得 l1l 2，则实数 a 的取值范围为( )A1,2 B(1,2) C 2,1 D(2,1)3(2014 年辽宁)当
2、 x2,1时，不等式 ax3x 24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A5，3 B. 6， 98C6，2 D4，34设 0a1，函数 f(x)x ，g(x)xln x，若对任意的 x1，x 21，e ，都有a2xf(x1)g( x2)成立，则实数 a 的取值范围是_5(2015 年新课标)设函数 f(x)e 2xaln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f( x)零点的个数；(2)证明：当 a0 时，f (x)2aaln .2a6已知 f(x)2ax ln x 在 x1 与 x 处都取得极值bx 12(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)x 22mxm，若对任意的 x1 ，
3、总存在 x2 ，使得 g(x1)12，2 12，2f(x 2)ln x 2，求实数 m 的取值范围7已知函数 f(x)ax 2ln x(aR)(1)当 a 时，求 f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；12(2)如果函数 g(x)，f 1(x)，f 2(x)，在公共定义域 D 上，满足 f1(x)0 成立，故函数 f(x)单调递增，f(x)x2 4x 3x3 x2 8x 9x4 x 1x 9x4maxf(1) 6，故 a6；当 x 时，a 恒成立，记 f(x) ，f( x) 20) x2 4x 3x3 x2 4x 3x3 ，当 x2， 1)时， f(x)0.故 f(x) x2 8x 9x4
4、x 1x 9x4min f(1) 2，故 a2.综上所述， 实数 a 的取值范围 是 6， 24 ，1 解析：f(x) 1 ，当 0a1，且 x1，e时，f(x)e 2a2x2 x2 a2x20， f(x)在区 间1 ，e上是增函数，f(x 1)minf(1)1a 2.又 g(x) 1 (x0)，易求 g(x )1x0， g(x)在区 间1 ，e上是增函数，g(x 2)maxg(e)e1.由条件知只需 f(x1)ming(x 2)max.即1a 2e1.a 2e 2.即 a1.e 25(1)解：f(x) 的定 义域为(0 ，) ，f(x)2e 2x (x0)ax当 a0 时，f(x)0， f(
5、 x)没有零点；当 a0 时，设 u(x)e 2x，v(x) ，ax因为 u(x)e 2x在区间(0， )内单调递增，v( x) 在(0，)内单调递增，ax所以 f(x) 在(0，)内单调递增又 f(a)0，当 b 满足 00 时，f ( x)存在唯一零点a4 14(2)证明：由(1)，可设 f(x )在区间(0，)内的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x 0)上单调递减，在区 间(x 0，) 内单调递增，所以当 xx 0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)由于 2 0，0eax0所以 f(x0) 2ax 0aln 2aaln .a2x0 2a 2
6、a故当 a0 时，f(x )2aaln .2a6解：(1)f( x)2ax ln x，bxf(x)2a .bx2 1xf(x)2ax ln x 在 x1 与 x 处都取得极值，bx 12f(1)0，f 0. Error!(12)解得 ab .13当 ab 时，13f(x) .23 13x2 1x 2x 1(x 12)3x2函数 f(x)在 x1 与 x 处都取得极值12a b .13(2)由(1)知，函数 yf( x)ln x x 在区间 上单调递减，23 13x 12，2f(x) ln xminf(2) .76又函数 g(x)x 22mx m 图象的对称轴是 xm.当 m2 时，g(x )m
7、ing(2) 43m ，4 3m .m .又 m2，m.76 3118综上所述，m .3 5167解：(1)当 a 时，f(x) x2ln x，12 12f(x)x .1x x2 1x对于 x1，e，有 f(x )0，f(x)在区间1 ，e上为增函数fmax(x)f(e) 1 ，fmin(x)f (1) .e22 12(2)在区间(1，)内，函数 f(x)是 f1(x)，f2(x)的“活动函数” ，则 f1(x) ，令 p(x )0，得极值点 x11， x2 ，12 12a 1当 x2x11，即 0，12此时 p(x)在区间(x 2，)内是增函数，并且在该区间上有 p(x)(p(x2)，)，不
8、合题意；当 x2x11，即 a1 时，同理可知，p(x)在区间(1 ，) 内，有 p(x)(p(1)，)，也不合题意；)若 a ，则有 2a10，此时在区间(1 ，) 内恒有 p(x )0，12从而 p(x)在区间(1，)内是减函数. 要使 p(x)0 在此区间上恒成立，只需满足 p(1)a 0a ，12 12 a .12 12又 h (x) x2a 0，h(x)在区间(1，)内为减函a2x x2 2ax a2x x a2x数，h(x)h(1) 2a0， a .12 14综上所述，实数 a 的范围是 . 12，148解：(1)由已知，有 f( x) 2x2ax 2(a0) 令 f(x )0，解
9、得 x0，或 x .1a当 x 变化时，f( x)，f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0，1a) 1a (1a， )f(x ) 0 0 f(x) 0 13a2 所以 f(x)的单调递增区间是 ；单调递减区间是( ，0) ， .(0，1a) (1a， )当 x0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)0；当 x 时，f(x)有极大值，且极大值 f .1a (1a) 13a2(2)由 f(0)f 0 及(1) 知，(32a)当 x 时，f(x) 0；(0，32a)当 x 时，f(x) 0.(32a， )设集合 A f(x)|x(2， )，集合 BError!.则“对于任意的 x1(2
10、，) ，都存在 x2(1，) ，使得 f(x1)f(x2)1”等价于 AB.显然，0B .下面分三种情况讨论：当 2，即 0a 时，由 f 0 可知，32a 34 (32a)0A，而 0B，所以 A 不是 B 的子集当 1 2 ，即 a 时，有 f(2)0，且此时 f(x)在区 间(2，)内单调递减，故32a 34 32A( ，f(2)，因而 A(， 0)；由 f(1)0，有 f(x)在区间(1，)内的取值范围包含(，0)，则( ， 0)B.所以 AB.当 1，即 a 时，有 f(1)0，32a 32且此时 f(x)在区间(1，)内单调递减，故 B ，A( ， f(2)，所以 A 不是 B(1f1，0)的子集综上所述，实数 a 的取值范围 是 .34，32
