1、第四章 几何图形初步4.3 角 4.3.3 余角与补角,余角和补角的概念,巧记乐背,余角补角不孤独， 它们总是成对出； 和为直角称互余， 和为平角称互补.,例1 如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，AOC= BOC=DOE=90. (1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？ (2)1的余角是哪个？ (3)1的补角是哪个？,图4-3.3-1,解：（1）因为AOC=BOC=DOE=90， 所以1+2=90，3+4=90，2+3=90，1+4=90. 所以图中互为余角的角有4对，分别是1与2，3与4，2与3，1与4. (2)由1+2=90，1+4=90， 得1的余角是2和4. （3）由1+BOD
2、=180，得1的补角是BOD.,不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.,余角和补角的性质,巧记乐背,同、等角的余角相等， 同、等角的补角相等； 运用的依据都相同， 图形之中找等角.,例2 如图4-3.3-2，直线AB与COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，1+2=180，找出图中与2相等的角，并说明理由.,分析：图中连同1和2在内总共有9个角(小于平角的角)，2是个锐角，1，5，6，8是钝角，这4个角显然不可能与2相等，再逐一判断3，4，7，O是否与2相等即可.,图4-3.3-2,解：2=7，2=4，2=3. 理由如下： 因为2+8=180，7+8
3、=180（平角的定义）， 所以2=7（同角的补角相等）. 因为1+3=180（平角的定义）， 1+2=180（已知）， 所以2=3（同角的补角相等）. 因为1+4=180（平角的定义）， 1+2=180（已知）， 所以2=4（同角的补角相等）.,“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的补角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的情况下使用起来更简捷.,方位角,巧记乐背,方位角表示方向， 习惯南、北放在前； 多用偏字表旋转， 测得度数知方向.,例3 如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中的方位填空.,图4-3.3-3,（1）射线OA表示
4、_； （2）射线OB表示_； （3）射线OC表示_； （4）射线OD表示_； （5）射线OE表示_.,解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC，OD为一类，表示形式为“偏”，其中注意OC与OD中角度的转化；射线OB，射线OA各为一类.,正南方向,北偏西45或西北方向,南偏西60方向,南偏东70方向,北偏东30方向,误认为多个角的和为90或180时，也称其为互余或互补,例4 如图4-3.3-4，O是直线AB上一点，赵敏说：“因为1，2，3，4四个角组成一个平角，所以它们互为补角.”你认为这种说法正确吗？为什么？,图4-3.3-4,解：这种说法不正确.因为补角特指两个角之间的一种特殊关系.
5、根据补角的概念可知，当多个角的和等于180时，不能称其互为补角.,若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，本题易误认为正确.,根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题不全面,例5 如图4-3.3-5，AB与CD交于点O，且AOE=COF=90，AOC=30，则图中30的角还有哪几个？,图4-3.3-5,解：因为BOD+BOC=AOC+BOC=180，所以BOD=AOC=30. 又因为EOF+COE=AOC+COE=90，所以EOF=AOC=30. 所以图中30的角还有BOD，EOF.,只观察AOC与BOD是BOC的补角，根据同角的补角相等得出答案，未考虑AOC与EOF是COE的余角，从而造
6、成漏解.,对方位角的概念理解不清楚,例6 图4-3.3-6如图4-3.3-6，从点B看点A，点A所在的方向为（ ）A.南偏东58 B.北偏西32C.南偏东32 D.东偏南58,解析：根据题意，可知点B是基准点，则点A的方位角是58的余角，即南偏东32.故选C.,C,错解：不理解方位角是哪个角而误选A；不理解方位角的表示形式具有规定性而误选D；不理解A，B两点中哪个点是基准点而误选B.,易错总结,例7 （1）已知=5017，求的余角和补角；（2）已知的余角是651746，求及的补角.,题型一 有关余角和补角的计算,角度a 求一个角的余角或补角,解：(1)因为90-5017=3943，180-50
7、17=12943，所以的余角是3943，补角是12943. (2)因为90-651746=895960-651746=244214，180-244217=1795960-244214=1551746， 所以是244214，的补角是1551746.,已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可，但要注意相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制.,方法点拨：,角度b 余角和补角的综合运算,例8 一个角的余角比这个角的补角的一半小30，求这个角的度数.,解：设这个角为x， 则这个角的余角为(90-x)， 补角为(180-x）. 由题意，得90-x= (180-x)-30， 解
8、得x=60. 答：这个角的度数是60.,解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设未知数，再由题意列出方程，最后求出结果.注意要充分利用余角、补角这两个条件.,方法点拨：,例9 星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非常开心，但回来后忘记了虎山在公园里所在的位置，只记住了大门和游乐场的位置（如图4-3.3-7），根据同学们的回忆得到下列信息： (1)大象馆在游乐场的正北方向； (2)虎山在大象馆的北偏西66的方向上； (3)虎山在大门的北偏西32的方向上； (4)大象馆在大门的东北方向.,题型二 利用方位角确定点的位置,图4-3.3-7,思路导图,根据信息(1)(4)确定出大象馆的位置,根
9、据信息(2)(3)确定出虎山的位置,解：能. 方法如下：(1)先过大门这个点沿东北方向画射线，再过游乐场这个点沿正北方向画射线，两条射线的交点即为大象馆的位置. (2)先过大门这个点沿北偏西32方向画射线，再过大象馆这个点沿北偏西66方向画射线，两条射线的交点即为虎山的位置，如图4-3.3-8.,图4-3.3-8,用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然后确定观测点的东南西北方向，根据方位角的含义来确定.仅靠一个方位角只能确定点的方向而不能确定点的位置，但两个方位角可以确定点的位置.,方法点拨：,例10 如图4-3.3-9(1)，AOB和COD都是直角. (1)试猜想，AOD和BOC在数量上是
10、否存在相等、互余或互补关系？说明理由. (2)当COD绕点O旋转到图4-3.3-9(2)的位置时，你的猜想还成立吗？说明理由.,题型三 探究角与角之间的关系,图4-3.3-9,解： (1)AOD和BOC互补.理由如下： 因为AOD=AOB+BOD=90+BOD, 所以AOD+BOC=AOB+BOD+BOC. 又因为BOD+BOC=COD=90， 所以AOD+BOC=AOB+COD=90+90=180. 故AOD和BOC互补. 故AOD和BOC互补.,(2)AOD和BOC互补仍然成立. 理由如下： 因为AOB和COD都是直角， 所以AOB+COD=180. 又因为AOB+BOC+COD+AOD=
11、360, 所以BOC+AOD=180.,(1)探究角与角之间的关系，可先用眼观察、用量角器测量，作出大胆猜想，再根据所学知识去推理验证.(2)探究两个角之间的关系主要有三种情况：相等、互余、互补.,方法点拨：,本节内容在中考中的考点主要有： （1）余角和补角的识别与计算，有时单独考查，题型有选择题和填空题，有时融合在其他知识中综合考查，题型有选择题、填空题和解答题； （2）方位角的识别与计算，大多和解直角三角形（后面学习）综合考查，偶尔单独命题，多以选择题和填空题的形式出现.,解读中考：,例11 （湖北宜昌中考）已知M，N，P，Q四点的位置如图4-3.3-10，下列结论，正确的是（ ） A.N
12、OQ=42 B.NOP=132 C.PON比MOQ大 D.MOQ与MOP互补,图4-3.3-10,C,考点一 余（补）角的识别,解析：由题图可知， NOQ=138，故选项A错误；NOP=48，故选项B错误；PON=48，MOQ=42，则PON比MOQ大，故选项C正确；由以上可得，MOQ+MOP180，即MOQ与MOP不互补， 故选项D错误.故选C.,例12 （广西玉林中考）在下面角的图示中，能与30角互补的是（ ）,解析：30角的补角=180-30=150，是钝角，结合各图形，只有选项D是钝角.故选D.,D,例13 （辽宁鞍山中考）一个角的余角是5438，则这个角的补角是 .,考点二 余（补）
13、角的计算,解析：因为一个角的余角是5438 ，所以这个角为90- 5438 =3522，所以这个角的补角为180- 3522 =14438.,14438,例14 （河北中考）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符合条件的示意图是（ ）,解析：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，得D选项符合题意.故选D.,D,考点三 方位角的概念,例15 在点A处有一艘客轮，沿东北方向（即北偏东45）方向以a km/h的速度航行，同时在点A正北处B有一艘加油船以b km/h的速度沿正东方向航行，计划经过t h后在点C处给客轮加油，但客轮因故不
14、能按时起航，待加油船航行至点D时，客轮才出发. (1)请根据题意，画出示意图. (2)若BD=m km，客轮要在待定地点C处按时加油，必须以多大的速度航行？,核心素养,分析：(1)根据题意及方位角的描述方法，正确画出示意图；(2)客轮的速度等于AC的距离除以它行驶的时间，但由于客轮未按时出发，因此行驶的时间不是原计划的t h，而是相当于加油船在CD上行驶的时间.加油船的速度为b km/h，从点B到点C共用了t h，所以BC的距离可以表示为bt km.,因为BD=m km，所以CD=(bt-m)km，在CD这条线段上，加油船的速度不变，仍是b km/h，所以CD段加油船所用的时间为 h，按原计划客轮从A地到C地行驶t h，速度为a km/h，所以AC=at km，所以可以列出式子，求得客轮的实际速度.,图4-3.3-12,解：(1)如图4-3.3-12. (2)由题意，得AC=at km，BC=bt km，CD=(bt-m)km，所以客轮的实际速度为 （km/h）.答：客轮必须以 km/h的速度航行.,
