1、回扣 9 计数原理1分类加法计数原理完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有 m2种方法，在第 n 类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1种方法，做第二步有 m2种方法，做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 N m1m2mn种方法(也称乘法原理)3排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素
2、中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 表示mn(3)排列数公式：A n(n1)( n2)( n m1)mn(4)全排列： n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，A n(n1)( n2)21 n！.排列数公式写成阶乘的形式为 A ，这n mnn！n m！里规定 0！1.4组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出
3、m 个元素的组合数，用 C 表示mn(3)组合数的计算公式：C ，由于 0！1，mnAmnAm n！m！ n m！ nn 1n 2n m 1m！所以 C 1.0n(4)组合数的性质：C C ；C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n5二项式定理(a b)nC anC an1 b1C an kbkC bn(nN *)0n 1n kn n这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做( a b)n的二项展开式，其中的系数C (k0,1,2， n)叫做二项式系数式中的 C an kbk叫做二项展开式的通项，用 Tk1kn kn表示，即展开式的第 k1 项： Tk1 C an kbk.kn6二
4、项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n7二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C C .mn n mn(2)增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k 时，二项式系数是递增的；当 k 时，knn 12 n 12二项式系数是递减的当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 1
5、2nT的二项式系数最大当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 和 12n的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(a b)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C C C C C 2 n.0n 1n 2n kn n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C C C C C C 2 n1 .1n 3n 5n 0n 2n 4n1关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问
6、题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事(2)混合问题一般是先分类再分步(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排(2)合理分类与准确分步(3)排列、组合混合问题先选后排(4)相邻问题捆绑处理(5)不相邻问题插
7、空处理(6)定序问题排除法处理(7)分排问题直排处理(8)“小集团”排列问题先整体后局部(9)构造模型(10)正难则反，等价条件4对于二项式定理应用时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数” ，审题时要仔细项的系数与 a， b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0，1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a， b.1从 8 名女生和 4 名男生中，
8、抽取 3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A224 B112C56 D28答案 B解析 根据分层抽样，从 8 名女生中抽取 2 人，从 4 名男生中抽取 1 人，所以抽取 2 名女生 1 名男生的方法数为 C C 112.281425 人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有( )A12 种 B24 种C48 种 D60 种答案 C解析 可先排甲、乙两人，有 A 2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，2有 A 24(种)排法，由分步乘法计数原理，得共有 22448(种)排法，故选 C.43从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位
9、教师，派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任)，要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )A210 种 B420 种C630 种 D840 种答案 B解析 因为要求 3 位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1 男 2 女或 2 男 1女若选出的 3 位教师是 1 男 2 女，则共有 C C A 180(种)不同的选派方法；若选出的152433 位教师是 2 男 1 女，则共有 C C A 240(种)不同的选派方法，所以共有25143180240420(种)不同的方案，故选 B.4将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，
10、则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )A150 种 B180 种C240 种 D540 种答案 A解析 先将 5 个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有 C C 25(种)，再将35 15C24C22三组全排列有 A 6(种)，故总的方法数有 256150(种)35(2016四川)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48C60 D72答案 D解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5.分为两步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数有 C 种选法，再将剩下的 4 个数字排列有 A 种排法，则满足条件的
11、13 4五位数有 C A 72(个)故选 D.13 46.如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A180 B240C360 D420答案 D解析 若 5 个花池栽了 5 种颜色的花卉，方法有 A 种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，5则 2,4 两个花池栽同一种颜色的花，或 3,5 两个花池栽同一种颜色的花，方法有 2A 种；45若 5 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方法有 A 种，所以最多有 A 2A A 420(种)35 5 45 357某天连续有 7 节课，其中语文、英语、物理、化学
12、、生物 5 科各 1 节，数学 2 节在排课时，要求生物课不排第 1 节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )A408 B480C552 D816答案 A解析 数学在第(1,2)节，从除英语外的 4 门课中选 1 门安排在第 3 节，剩下的任意排，故有 C A 96(种)排法；数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的 3 门课中选 1 门安排在第1441 节，从除英语外剩下的 3 门课中再选 1 门安排在第 4 节，剩下的任意排，故有C C A 54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第 1 节时，其他任13133意排，故有 A 24(
13、种)排法，当英语不在第 1 节时，从除英语，生物外的 3 门课中选一门4安排在第 1 节，再从除英语外剩下的 3 门中选 2 门放在数学课前 1 节和后 1 节，剩下的任意排，有 C A A 36(种)排法，故共有 3(2436)180(种)排法；数学在第(6,7)节时，13232当英语在第一节时，其他任意排，故有 A 24(种)排法，当英语不在第 1 节，从除英语，4生物外的 3 门课中选一门安排在第 1 节，再从除英语外的剩下的 3 门中选 1 门放在第 5 节，剩下的任意排，有 C C A 54(种)排法，故有 245478(种)排法，根据分类加法计数原13133理，共有 9654180
14、78408(种)排法故选 A.8设 i 为虚数单位，则( xi) 6的展开式中含 x4的项为( )A15 x4 B15 x4C20i x4 D20i x4答案 A解析 由题可知，含 x4的项为 C x4i215 x4.故选 A.269在二项式 n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和(x21x)为( )A32 B32C0 D1答案 C解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n32，解得 n5.因此，令 x1，则该二项展开式中的各项系数的和等于 50，故选 C.(1211)10已知(1 x)(1 x)2(1 x)3(1 x)n a0 a1x a2x2 anxn，且a0 a1
15、 a2 an126，那么 n的展开式中的常数项为( )(x 1x)A15 B15C20 D20答案 D解析 令 x1 得a0 a1 a2 an22 22 n2 2 n1 21262 n1 1282 n1 2 7n2n 12 16，又 Tk1 C ( )6 k kC (1) kx3 k，k6 x ( 1x) k6所以由 3 k0，得常数项为C 20.36故选 D.11已知等比数列 an的第 5 项是二项式 4展开式中的常数项，则 a3a7_.(x1x)答案 36解析 4的展开式的通项为 Tk1 C x42 k，(x1x) k4令 42 k0，得 k2，常数项为 C 6，即 a56.24 an为等
16、比数列， a3a7 a 6 236.2512书架上原来并排放着 5 本不同的书，现要再插入 3 本不同的书，那么不同的插入方法共有_种答案 336解析 由题意得 3 本不同的书，插入到原来的 5 本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来 5 本不同的书排成的一排所形成的 6 个间隔中，有 A 6(种)方16法；第二步：再插入第二本，插入到原来 6 本不同的书排成的一排所形成的 7 个间隔中，有 A 7(种)方法；第三步：再插入第三本，插入到原来 7 本不同的书排成的一排所形成17的 8 个间隔中，有 A 8(种)方法，共有 678336(种)不同的插入方法1813某大学的 8
17、 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名，分别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种答案 24解析 分类讨论，有 2 种情形孪生姐妹乘坐甲车，则有 C C C 12(种)乘车方式；孪生231212姐妹不乘坐甲车，则有 C C C 12(种)乘车方式根据分类加法计数原理可知，共有 24131212种乘车方式14已知(12 x)6 a0 a1x a2x2 a6x6，则|a0| a1| a2| a6|_.(用数字作答)答案 72
18、9解析 | a0| a1| a2| a6|相当于(12 x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x1，得| a0| a1| a2| a6|3 6729.15如果 n的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是_(3x 13x2) 1x3答案 21解析 n的展开式中各项系数之和为 n2 n128，所以 n7，所以(3x 13x2) (31 1312)n 7，其展开式的通项为 Tk1 C (3x)7 k k(3x 13x2) (3x 13x2) k7 ( 13x2)5773C(1)kkx.由 7 3，5k3得 k6，所以 的系数为(1) 631C 21.1x3 6716( x2 x1) 10展开式中 x3项的系数为_答案 210解析 ( x2 x1) 101( x2 x)10的展开式的通项公式为 Tk1 C (x2 x)k，对于k10(x2 x)k通项公式为Tm1 C x2k2 m( x)m(1) mC x2k m，mk mk令 2k m3 且 m k10， mN， kN，得 k2， m1 或 k3， m3，( x2 x1) 10的展开式 x3系数为 C C (1)21012C C (1) 3210.3103
