1、回扣 2 函 数1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；若已知 f(x)的定义域为 a， b，则 f(g(x)的定义域为不等式 a g(x) b 的解集；反之，已知 f(g(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域为函数 y g(x)(x a， b)的值域(2)常见函数的值域一次函数 y kx b(k0)的值域为 R；二次函数 y ax2 bx c(a0)：当 a0 时，值域为 ，当 a0 时，值域4ac b24a ， )为 ；( ，4ac b24a 反比例函数 y (k0)的值域为 yR| y0kx2函
2、数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f( x) f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f( x) f(x)成立，则 f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x 的值，若 f(x T) f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数， T 是它的一个周期3关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性若函数 f(x)满足 f(x a) f(x a)，则 f(x)为周期函数，2 a 是它的一个周期；设 f(x)是 R 上的偶函数，且图象关于直线 x
3、a(a0)对称，则 f(x)是周期函数，2 a 是它的一个周期；设 f(x)是 R 上的奇函数，且图象关于直线 x a(a0)对称，则 f(x)是周期函数，4 a 是它的一个周期(2)函数图象的对称性若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于直线 x a 对称；若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于点( a,0)对称；若函数 y f(x)满足 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x 对称a b24函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的
4、局部性质单调性的定义的等价形式：设 x1， x2 a， b，那么( x1 x2)f(x1) f(x2)0 0 f(x)在 a， b上是增函数；fx1 fx2x1 x2(x1 x2)f(x1) f(x2)0 0f(x)在 a， b上是减函数fx1 fx2x1 x2若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内， f(x) g(x)是减函数；若函数 f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内， f(x) g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y f(g(x)的单调性5函数图象的基本变换(1)平移变换y f(x) y f(x h)， h 0， 右 移 h0， 左 移y f(x) y
5、 f(x) k. k 0， 上 移 k0， 下 移(2)伸缩变换y f(x) y f(x )， 0 1， 伸 1， 缩y f(x) y Af(x) 0A1， 缩 A 1， 伸(3)对称变换y f(x) y f(x)， x轴 y f(x) y f( x)， y轴 y f(x) y f( x) 原 点 6准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点： y ax (a0，且 a1)恒过(0,1)点；ylog ax(a0，且 a1)恒过(1,0)点(2)单调性：当 a1 时， y ax在 R 上单调递增； ylog ax 在(0，)上单调递增；当 0a1 时， y ax在 R 上单调递减； ylog
6、 ax 在(0，)上单调递减7函数与方程(1)零点定义： x0为函数 f(x)的零点 f(x0)0( x0,0)为 f(x)的图象与 x 轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程 f(x)0；零点定理法：根据连续函数 y f(x)满足 f(a)f(b)0，判断函数在区间( a， b)内存在零点数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解1解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则2解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围3求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接或用“， ”隔开单调区间必须是“区间
7、” ，而不能用集合或不等式代替4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响5准确理解基本初等函数的定义和性质如函数 y ax(a0， a1)的单调性容易忽视字母 a 的取值讨论，忽视 ax0；对数函数 ylog ax(a0， a1)容易忽视真数与底数的限制条件6易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化1下列各图形中，是函数图象的是( )答案 D解析 函数 y f(x)的图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点，故 A，B，C 均不正确，故选 D.2若函数 f(x)Error
8、!则 f(3)的值为( )A5 B1C7 D2答案 D解析 依题意， f(3) f(32) f(1) f(12) f(1)112，故选 D.3定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时， f(x)3，则奇函数 f(x)的值域是( )A(，3 B3，)C3,3 D3,0,3答案 D解析 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x)， f(0)0，设 x0，则 x0， f( x) f(x)3， f(x)3， f(x)Error!奇函数 f(x)的值域是3,0,34已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x) g(x) ax a x2( a0， a1)，若 g
9、(2) a，则 f(2)等于( )A2 B.154C. D a2174答案 B解析 因为 f(x) g(x) ax a x2( a0， a1)，若 g(2) a，则 f(2) g(2) a2 a2 2，因为 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，当 x2 时， f(2) g(2) f(2) g(2) a2 a22，解得 g(2)2，又 g(2) aa2，所以 f(2)2 22 2 ，故选 B.1545函数 f(x)e x4 x3 的零点所在的区间为( )A. B.(14， 0) (0， 14)C. D.(14， 12) (12， 34)答案 C解析 由题意可知， f(0)20， f 10，(1
10、2) ef 2 0 根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为 ，故选 C.(14) 4e (14， 12)6已知函数 f(x)为奇函数，且在0,2上单调递增，若 f(log2m) f(log4(m2)成立，则实数 m 的取值范围是( )A. m2 B. m214 14C2 m4 D2 m4答案 A解析 因为函数 f(x)是奇函数，且在0,2上单调递增，所以函数 f(x)在2,2上单调递增故由 f(log2m) f(log4(m2)，可得Error!故有Error! 解得 m2.14综上可知， m 的取值范围是 m2.147定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)， f(x2)
11、 f(x2)，且当 x(1,0)时，f(x)2 x ，则 f(log220)等于( )15A1 B.45C1 D45答案 C解析 由 f(x2) f(x2) f(x) f(x4)，因为 4log 2205，所以 0log 22041，14log 2200.又因为 f( x) f(x)，所以 f(log220) f(log2204) f(4log 220) f 1.(log245)8(2016山东)已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x0 时， f(x) x31；当1 x1 时，f( x) f(x)；当 x 时， f f ，则 f(6)等于( )12 (x 12) (x 12)A2 B1 C0
12、 D2答案 D解析 当 x 时， f f ，即 f(x) f(x1)， T1， f(6) f(1)当 x012 (x 12) (x 12)时， f(x) x31 且当1 x1 时， f( x) f(x)， f(6) f(1) f(1)2，故选 D.9已知函数 f(x)Error!函数 g(x)3 f(2 x)，则函数 y f(x) g(x)的零点个数为( )A2 B3 C4 D5答案 A解析 当 x2 时， g(x) x1， f(x)( x2) 2；当 0 x2 时， g(x)3 x， f(x)2 x；当 x0 时， g(x)3 x2， f(x)2 x.由于函数 y f(x) g(x)的零点个
13、数就是方程 f(x) g(x)0 的根的个数当 x2 时，方程 f(x) g(x)0 可化为 x25 x50，其根为 x 或 x (舍5 52 5 52去)；当 0 x2 时，方程 f(x) g(x)0 可化为 2 x3 x，无解；当 x0 时，方程 f(x) g(x)0 可化为 x2 x10，其根为 x 或 1 52x (舍去) 1 52所以函数 y f(x) g(x)的零点个数为 2.10定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)2 f(x)2，当 x(0，2时， f(x)Error!若当x(0,4时， t2 f(x)3 t 恒成立，则实数 t 的取值范围是( )7t2A1,2 B.2
14、，52C. D2，)1，52答案 A解析 当 x(0,1)时， f(x) x2 x，函数无最大值，最小值为 ；当 x1,2时， f(x)14 ，函数最大值为 1，最小值为 ；当 x(2,3)时， f(x)2 f(x2)22 x210 x10，1x 12函数值满足 f(x)2；当 x3,4时， f(x)2 f(x2)2 2，函数值满足52 2x 21 f(x)0.综上，当 x(0,4时，函数 f(x)的最小值为 ，最大值为 1.52由 t2 f(x)3 t 恒成立，得Error!7t2Error!1 t2，故选 A.11已知函数 f(x)Error!且 f(a)1，则 f(6 a)_.答案 1解
15、析 f(a)1， a0，log 2(a1)21， a7， f(6 a) f(1)2 01.12设奇函数 y f(x)(xR)满足对任意 tR 都有 f(t) f(1 t)，且当 x 时，0，12f(x) x2，则 f(3) f 的值为_(32)答案 14解析 由于 y f(x)为奇函数，根据对任意 tR 都有 f(t) f(1 t)，可得 f( t) f(1 t)，所以 f(t) f(2 t)，所以函数 y f(x)的一个周期为 2，故 f(3) f(1) f(01) f(0)0，f f ，(32) (12) 14所以 f(3) f .(32) 1413若函数 f(x)Error!有两个不同的
16、零点，则实数 a 的取值范围是_答案 (0,1解析 当 x0 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当 x0 时，函数 f(x)2 x a 有一个零点，令 f(x)0，得 a2 x，因为 02 x2 01，所以 0 a1，所以实数 a 的取值范围是 0 a1.14已知函数 f(x) 2 |x|，且满足 f(a1) f(2)，则实数 a 的取值范围是_|x|答案 (1,3)解析 因为 f( x) f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，当 x0 时， f(x) x2 x是单调增函数，故由偶函数的性质及 f(a1) f(2)可得| a1|2，即2 a12，即1
17、a3.15偶函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，且当 x0,1时， f(x) ，若直线2x x2kx y k0( k0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点，则 k 的取值范围是_答案 (1515， 33)解析 由 f(1 x) f(1 x)可知，函数关于 x1 对称，因为 f(x)是偶函数，所以 f(1 x) f(1 x) f(x1)，即 f(x2) f(x)，所以函数的周期是 2，由 y f(x) ，2x x2得( x1) 2 y21( y0， x0,1)，作出函数 y f(x)和直线 y k(x1)的图象，要使直线 kx y k0( k0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点，则由图象可知， k .1515 3316某驾驶员喝了 m 升酒后，血液中的酒精含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)Error!酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不超过 0.02 毫克/毫升此驾驶员至少要过_小时后才能开车(不足 1 小时部分算 1 小时，结果精确到 1 小时)答案 4解析 因为 0 x1，所以2 x21，所以 52 5 x2 5 1 ，而 52 0.02，又由 x1，得 x ，35 (13) 150得 x ，所以 x4，(13) 130故至少要过 4 小时后才能开车
