1、疯狂专练 20 数学文化题集一、选择题（5 分/题）12017安徽联考我国古代著名的思想家庄子在 庄子天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完这样，每日剩下的部分都是前一日的一半如果把“一尺之棰”看成单位“1” ，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（ ）A 12naB12naC 12naDn【答案】C【解析】由“一尺长的木棒，每日取其一半 ”可知每天剩下的木棒构成一个首项为 12，公比为 12的等比数列所以该数列的通项公式为 12na故选 C22017江淮十校九章算术 是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的
2、经验公式为：弧田面积= （弦 矢+ 矢 2） 弧田（如图） ，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦” 指圆弧所对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为 23，半径等于4 米的弧田按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A6 平方米 B9 平方米 C12 平方米 D15平方米【答案】B【解析】因为圆心角为 23，半径等于 4 米，所以圆心到弦的距离为 2OB，所以矢等于 42米，弦长为 24sin3AB，所以弧田的面积约为213439，故选 B32017奎屯一中齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田
3、忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A 13B 14C 15D 16【答案】A【解析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为 b， c， d，记齐王的上等马、中等马、下等马分别为 1，2，3比赛的情况用符号表示有： 1， 2， 3， 1c， 2， 3， 1d，d， ，共有 9 种田忌的马获胜的情形有 ， ， ，共有 3 种，所以概率为P故选 A42017崇义中学张丘建算经 卷上第 22 题为“ 今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈 ”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2
4、 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布，记该女子一月中的第 n天所织布的尺数为 na，则 145167a的值为（ ）A55 B52 C39 D26【答案】B【解析】因为从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列 na，其中 15， 309S， 30295d， 1629所以 145167 1648d故选 B52017资阳一诊公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后
5、面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n值为（ ） （参考数据： 31.72， sin50.28，sin7.5013）A 12B 24C 48D 96【答案】B【解析】当 6n时， 1360sin2.6310,2612Sn，当 12时， i.1,4，当 4n时， 3604snsin520.83.12S ，输出n，n=24故选 B62017北京大兴远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A336 B
6、510 C1326D3603【答案】B【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为 321776510，故选 B72015全国卷九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66斛【答案】B【解析】设米堆的底面半径为 r尺，则 82r，所以 1
7、6r，所以米堆的体积为21163055439Vr（立方尺） 故堆放的米约有0.69(斛） 故选 B82017滁州中学九章算术 是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)” ，下底面宽 3AD 丈，长 4B 丈，上棱 2EF 丈，EFABCD 平 面 EF与平面 BC的距离为 1 丈，问它的体积是（ ）A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D8 立方丈【答案】B【解析】延长 EF、 分别到 H、 G，且 1FE，则该几何体为直三棱柱，三棱锥 C的体积为 1332BCVS
8、 ，三棱柱的体积为462BHVSA，所以所求体积为 65V故选 B92017皖南八校中国有个名句 “运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是： ，则 9117 用算筹可表示为（ ）A B C D【答案】A【解析】由定义知：千位 9 为横式 ；百位 1 为纵式 ；十位 1
9、 为横式 ；个位 7 为纵式 ，选 A102017韶关期末“ 勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A 312B 32C 43D4【答案】A【解析】小正方形的边长为 2cosin316，所以飞镖落在小正方形内的概率是：231312P，故选 A112017衡水中学中国古代名词 “刍童”原来是草堆的意思，古代
10、用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述， 九章算术注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一 ”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为 12，高为3，且上底面的周长为 6，则该棱台的体积的最大值是（ ）A14 B56 C 634D63【答案】C【解析】设上底面的长为 x，则宽为 3x，因为相似比为 12，所以下地面的长为 2x，
11、宽为 62x由题意得棱台的体积为2134627V x ，所以当 1342时，2max71故选 C122017信阳联考中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“ 优美函数”，给出下列命题：对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个；函数 2ln1fxx可以是某个圆的“优美函数”；正弦函数 siy可以同时是无数个圆的“优美函数” ；函数 fx是“ 优美函数 ”的充要条件为函数 yfx的图象是中心对称图形其中正确的命题是：（ ）A B CD【答案】
12、A【解析】对于，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确；对于可以做出其图象：故不能是某圆的“优美函数” ；对于，只需将圆的圆心放在正弦函数的图象的对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的“优美函数” ；对于函数是中心对称图形时，函数是“优美函数” ，但是“优美函数”不一定是中心对称，如图所示：故选 A二、填空题（5 分/题）132017华师附中莱茵德纸草书 是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17是较小的两份之和，问最大的一份为_【答案】 13【解析】设每人所得面包数构成等差数列 na，公差 0d由题意
13、得123457510aad，即 1462，解得 153142017重庆十一中现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为： 2154yx，将此椭圆绕 y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2） ，其体积等于_【答案】 803【解析】椭圆的长半轴为 5，短半轴为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点
14、，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积： 221802533V 圆 柱 圆 锥152017揭阳调研鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_ （容器壁的厚度忽略不计）【答案】 41【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为 1、2、6 的长方体的外接球设其半
15、径为 R，22143，所以该球形容器的表面积的最小值为241162017吉林实验关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 ,xy；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 ,xy的个数 m；最后再根据统计数 m来估计 的值假如统计结 果是 56m，那么可以估计 _ （用分数表示）【答案】 782【解析】由题意，200 个都小于 1 的正实数对 ,xy，满足 01xy，区域面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 ,xy满足 21y且0xy，区域面积为42，由已知 561042，解得 785
