1、大题规范练(五)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 6Sn3 n1 a(nN *)(1)求 a 的值及数列 an的通项公式；(2)若 bn(1 an)log3(a an1 )，求数列 的前 n 项和 Tn.2n1bn解：(1)6 Sn3 n1 a(nN *)，当 n1 时，6 S16 a19 a，当 n2 时，6 an6( Sn Sn1 )(3 n1 a)(3 n a)23 n，即 an3 n1 ， an是等比数列， a11，则 9 a6，得 a3，数列 an
2、的通项公式为 an3 n1 (nN *)(2)由(1)得 bn(1 an)log3(a an1 )(3 n2)(3 n1)，2n ，1bn 1 3n 2 3n 1 13( 13n 2 13n 1) Tn 1b1 1b2 1bn 114 147 1 3n 2 3n 113(1 14) (14 17) ( 13n 2 13n 1) .n3n 12(本小题满分 12 分)如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， DAB DBE60，设 AC与 BD 相交于点 O，且 FA FC.(1)求证：平面 FBC平面 EAD；(2)求二面角 AFCB 的余弦值解：(1)因为四边形 ABCD 与 BDE
3、F 均为菱形，所以 AD BC， DE BF.因为 AD平面 FBC， DE平面 FBC，所以 AD平面 FBC， DE平面 FBC.又 AD DE D， AD平面 EAD， DE平面 EAD，所以平面 FBC平面 EAD.(2)如图所示，连接 FO， FD，因为四边形 BDEF 为菱形，且 DBF60，所以 DBF 为等边三角形因为 O 为 BD 的中点，所以 FO BD.因为 O 为 AC 的中点，且 FA FC，所以 AC FO.又 AC BD O，所以 FO平面 ABCD.由 OA， OB， OF 两两垂直，则以 O 为坐标原点 OA， OB， OF 所在直线分别为 x 轴， y 轴，
4、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设 AB2，因为四边形 ABCD 为菱形， DAB60，则 BD2， OB1， OA OF ，所以3O(0,0,0)， A( ，0,0)， B(0,1,0)， C( ，0,0)， F(0,0， )， ( ，0， )，3 3 3 CF 3 3( ，1,0)CB 3设平面 BFC 的法向量为 n( x， y， z)，则有Error!所以Error!令 x1，则 n(1， ，1)3为平面 BFC 的一个法向量因为 OB平面 AFC，所以平面 AFC 的一个法向量为 (0,1,0)OB 因为二面角 AFCB 为锐二面角，设其平面角为 ，则 cos |cos n， |
5、 .OB |nOB n|OB | | 35| 155所以二面角 AFCB 的余弦值为 .1553(本小题满分 12 分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响23(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解：(1)设甲正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 1,2,3.P( 1) ； P(
6、2) ； P( 3) .C14C2C36 15 C24C12C36 35 C34C02C36 15应聘者甲正确完成题数 的分布列为 1 2 3P 15 35 15E( )1 2 3 2.15 35 15设乙正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 0,1,2,3.P( 0)C ；03(13)3 127P( 1)C ；13(23)1 (13)2 627P( 2)C ； P( 3)C .23(23)2 (13) 1227 3(23)3 827应聘者乙正确完成题数 的分布列为 0 1 2 3P 127 627 1227 827E( )0 1 2 3 2.(或因为 B ，所以 E( )3 2)127
7、627 1227 827 (3， 23) 23(2)因为 D( )(12) 2 (22) 2 (32) 2 ，15 35 15 25D( )3 .23 13 23所以 D( ) D( )综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲面试通过的可能性大4(本小题满分 12 分)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M， N 两点，且| MN|8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 l MN， P 为 l 上一点，求 的最小值PM
8、PN 解：(1)由题意可知 F ，则直线 MN 的方程为： y x ，代入 y22 px(p0)中，(p2， 0) p2得 x23 px 0，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则有p24x1 x23 p，| MN|8， x1 x2 p8，即 3p p8，解得 p2，抛物线的方程为 y24 x.(2)设 l 的方程为 y x b，代入y24 x 中，得 x2(2 b4) x b20， l 为抛物线 C 的切线， 0，即(2 b4) 24 b20，解得 b1， l： y x1.由(1)可知： x1 x26， x1x21，设 P(m， m1)，则 ( x1 m， y1( m1)， ( x
9、2 m， y2( m1)，PM PN ( x1 m)(x2 m) y1( m1) y2( m1) x1x2 m(x1 x2)PM PN m2 y1y2( m1)( y1 y2)( m1) 2. x1 x26， x1x21，( y1y2)216 x1x216， y1y2( x11)( x21)4， y y 4( x1 x2)， y1 y24 4，21 2x1 x2y1 y2 16 m m244( m1)( m1) 2PM PN 2(m24 m3)2( m2) 2714，当且仅当 m2，即点 P 的坐标为(2,3)时， 取得最小值14.PM PN 5(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x
10、aln x， g(x) ，其中 aR.1 ax(1)设函数 h(x) f(x) g(x)，求函数 h(x)的单调区间；(2)若存在 x01，e，使得 f(x0) g(x0)成立，求 a 的取值范围解：(1) h(x) x aln x，1 axh( x)1 1 ax2 ax x2 ax 1 ax2 ， x 1 x 1 a x2当 a10，即 a1 时，在(0,1 a)上 h( x)0，在(1 a，)上 h( x)0，所以 h(x)在(0,1 a)上单调递减，在(1 a，)上单调递增当 1 a0，即 a1 时，在(0，)上 h( x)0，所以函数 h(x)在(0，)上单调递增(2)若存在 x01，
11、e，使得 f(x0) g(x0)成立，即存在 x01，e，使得 h(x0) f(x0) g(x0)0 成立，即函数 h(x) x aln x 在1，e上的最小值小于零1 ax由(1)可知：当 1 ae，即 ae1 时， h( x)0， h(x)在1，e上单调递减，所以 h(x)在1，e上的最小值为 h(e)，由 h(e)e a0 可得 a ，1 ae e2 1e 1因为 e1，所以 a .e2 1e 1 e2 1e 1当 1 a1，即 a0 时， h(x)在1，e上单调递增，所以 h(x)的最小值为 h(1)，由 h(1)11 a0 可得 a2.当 11 ae，即 0 ae1 时，可得 h(x
12、)的最小值为 h(1 a)，因为 0ln(1 a)1，所以 0 aln(1 a) a，故 h(1 a)2 a aln(1 a)20，不合题意综上可得，所求 a 的取值范围是 .( ， 2) (e2 1e 1， )请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆 C 的极坐标方程是 2 asin ，直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)(1)若 a2， M 为直线 l 与 x 轴的交点， N 是圆 C 上一动点，求| MN|的最大值；(2)若直线 l
13、 被圆 C 截得的弦长为 2 ，求 a 的值6解：(1)由 24 sin 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 y24 y0，即 x2( y2) 24.将直线 l 的参数方程化为普通方程，得 y (x2)，43令 y0，得 x2，即点 M 的坐标为(2,0)又圆 C 的圆心坐标为(0,2)，半径 r2，则| MC|2 ，2所以| MN|的最大值为| MC| r2 2.2(2)因为圆 C： x2( y a)2 a2，直线 l：4 x3 y4 a0，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d ，|3a 4a|5 |a|5所以 2 2 ，即 |a|2 ，a2 a225 6 465 6解得 a .527(本小题
14、满分 10 分)选修 45：不等式选讲设函数 f(x)| x a|.(1)当 a2 时，解不等式 f(x)4| x1|；(2)若 f(x)1 的解集为 x|0 x2， a(m0， n0)，求证： m2 n4.1m 12n解：(1)当 a2 时，不等式 f(x)4| x1|即为| x2|4| x1|，当 x1 时，原不等式化为 2 x4( x1)，得 x ，故 x ；12 12当 1 x2 时，原不等式化为 2 x4( x1)，得 25，故 1 x2 不是原不等式的解；当 x2 时，原不等式化为 x24( x1)，得 x ，故 x .72 72综合知，原不等式的解集为 .( ， 12 72， )(2)证明：由 f(x)1 得| x a|1，从而1 a x1 a， f(x)1 的解集为x|0 x2，Error!得 a1， a1.1m 12n又 m0， n0， m2 n( m2 n) 2 22 4，当且仅当 (1m 12n) (2nm m2n) 2nmm2n 2nm，即 m2 n 时，等号成立，此时，联立 1，得Error! 则 m2 n4，故 m2 n4，得证m2n 1m 12n
