1、第 28 讲 图形的相似第 1 课时 相似形1比例线段考试内容考试要求定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段比例线段基本性质若 ，则 adbc. 当 bc 时，b 2ad，那么 b 是 a、d 的ab cd比例中项黄金分割点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(ACBC)，如果 AC 是线段 AB 和 BC的比例中项，且 0.618，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金ACAB BCAC 5 12分割点a2.平行线分线段成比例考试内容考试要求基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
2、的延长线) ，所得的对应线段成比例c3.相似图形的有关概念考试内容考试要求相似图形_相同的图形称为相似图形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应 的比叫做相似比相似多边形 (1)相似多边形周长的比等于相似比；(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三角形 两个三角形的三个角分别_ ，三条边 ，则这两个三角形相似当相似比等于 1 时，这两个三角形 a4.相似三角形的判定考试内容考试要求判定 1_于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判定 2 三边 的两个三角形相似判定 3 两边 且夹角 的两个三角形相似判定 4 两
3、角分别 的两个三角形相似判定 5 满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似a5.相似三角形的性质考试内容考试要求性质 1.相似三角形的对应角 ，对应边 a2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于 3.相似三角形面积的比等于相似比的_.三角形三条中线的交点叫做重心三角形的重心 三角形的重心分每一条中线成 12 的两条线段拓展如图，ABC 中，ACB90，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论AC 2ADAB；BC 2BDAB ；CD 2ADBD； ABCDACBC.考试内容考试要求基本思想转化思想：证角
4、相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决b1(2017杭州)如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，若BD2AD ，则( )A. B. C. D. ADAB 12 AEEC 12 ADEC 12 DEBC 122(2015嘉兴)如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1， l2，l 3 于点 A，B，C；直线DF 分别交 l1， l2，l 3 于点 D，E，F.AC 与 DF 相交于点 H，且 AH2，HB1，BC5，则的值为( )DEEFA. B2 C. D.12 25 353(2015
5、嘉兴)如图是百度地图的一部分 (比例尺 14000000)按图可估测杭州在嘉兴的南偏西_度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约 2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为_【问题】如图，点 D 在ABC 的边 AC 上(1)要判断ADB 与ABC 相似，添加一个条件是_；(2)若ADB ABC，AB4，AD2，则 AC_；(3)通过(1)、(2) 解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定类型一 比例性质、黄金分割等相关概念(1)(2016山西)宽与长的比是 (约 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏例 15 12着丰富的美学价
6、值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD、BC 的中点 E、F，连结 EF；以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GHAD，交 AD 的延长线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A矩形 ABFE B矩形 EFCD C矩形 EFGH D矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得 DF 的长，再根据 DFGF 求得 CG 的长，最后根据 CG 与 CD 的比值为黄金比，判断矩形 DCGH 为黄金矩形(2) 已知 0，求 的值x3 y4 z6 x y zx y z【解后感悟】这类题我们一
7、般是设辅助未知数 k，即比值为 k，把所有字母都用含有 k的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的1在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为( )A12.36cm B13.6cm C32.36cm D7.64cm2(2015扬州)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A、B、C 都在横格线上，若线段 AB4cm，则线段 BC cm.类型二 相似多边形已知矩形 ABCD 中，AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，例 2使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形
8、 EFDC 与矩形 ADCB 相似，则 AD( )A. B. C. D25 12 5 12 3【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比3(2015葫芦岛)如图，在矩形 ABCD 中，AD2，CD1，连结 AC，以对角线 AC为边，按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB1C1C，再连结 AC1，以对角线 AC1 为边作矩形 AB1C1C 的相似矩形 AB2C2C1，按此规律继续下去，则矩形 ABnCnCn1 的面积为_类型三 相似三角形的判定与性质(2016南充)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在例 3AB 上，且满足PBC
9、PAM ，延长 BP 交 AD 于点 N，连结 CM.(1)如图 1，若点 M 在线段 AB 上，求证：AP BN；AMAN；(2)如图 2，在点 P 运动过程中，满足 PBC PAM 的点 M 在 AB 的延长线上时，AP BN 和 AMAN 是否成立？(不需说明理由)是否存在满足条件的点 P，使得 PC ？请说明理由12【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题4(1)如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ，则 SAEAB ADAC 12ADES 四边形 BCED
10、 的值为( )A1 B12 C13 D143(2) (2016河北 )如图，ABC 中，A 78，AB4，AC 6.将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )5(1)(2015自贡)将一副三角板按图叠放，则AOB 与 DOC 的面积之比等于 .(2)(2015无锡市南长区模拟)如图，ABC 中，AB5，BC3，CA 4，D 为 AB 的中点，过点 D 的直线与 BC 所在直线交于点 E，若直线 DE 截ABC 所得的三角形与ABC 相似，则 DE .类型四 与相似三角形相关的问题如图，点 A，B，C，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD，AC 交 BD 于点例
11、4E，CE 4，CD6，则 AE 的长为( )A4 B5 C6 D7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出CAD CDB，证明ACD DCE.6(1)已知：在ABC 中，BC10，BC 边上的高 h5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作EFBC ，交 AC 边于点 F.点 D 为 BC 上一点，连结 DE、 DF.设点 E 到 BC 的距离为 x，则DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为( )(2)(2015杭州模拟)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为 3，4，5 的三角形按图的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为
12、1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是( )A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对(3) (2015滨州 )如图，在 x 轴的上方，直角BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转，若BOA 的两边分别与函数 y 、y 的图象交于 B、A 两点，则OAB 的大小的变化1x 2x趋势为( )A逐渐变小 B逐渐变大 C时大时小 D保持不变7(2016龙东)已知，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上，AE AD，连结13CE 交 BD 于点 F
13、，则 EFFC 的值是 .【课本改变题】教材母题浙教版教材九上第 149 页第 5 题课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC120mm，高 AD 80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上问加工成的正方形零件的边长是多少 mm?小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能
14、确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式【找不准相似三角形中的对应边】如图，ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且ABC DBA，则下列结论一定正确的是( )AAB 2BCBD BAB 2ACBDCABAD BDBC DAB ADADCD参考答案第 28 讲 图形的相似第 1 课时 相似形【考点概要】2成比例 3.形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 4.平行 成比例 成比例 相等
15、 相等 成比例 5.相等 成比例 相似比 平方【考题体验】1B 2.D 3.45 80km【知识引擎】【解析】(1) 添加条件是ABD C 或ADB ABC 或者 ； (2)由ADAB ABACADB ABC，得 ，得 AC8； (3)相似三角形知识：性质、判定等ADAB ABAC【例题精析】例 1 (1)设正方形的边长为 2，则 CD2，CF1.在直角三角形 DCF 中，DF ， FG ，CG 1， ，矩形 DCGH 为黄金矩形故12 22 5 5 5CGCD 5 12选 D. (2)设 k(k0) ，根据题意，得 x3k，y4k，z6k，所以 x3 y4 z6 x y zx y z . 3
16、k 4k 6k3k 4k 6k k5k 15例 2 B 例 3(1)如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，AB BCCDAD，DAB ABCBCDD90，PBC PAM， PAMPBC， ，PBC PBA 90，PMPC AMBC PAPBPAM PBA90，APB90，AP BN ， ABPABN，APB BAN 90，BAPBNA， ， ， ABBC ，ANAM. (2)仍然成立，APBN 和PAPB ANAB ANAB AMBCAMAN. 理由如图 2 中， 四边形 ABCD 是正方形，AB BCCDAD，DAB ABCBCDD90，PBC PAM， PAMPBC， ，PBC PBA
17、 90，PMPC AMBC PAPBPAM PBA90，APB90，AP BN ， ABPABN，APB BAN 90，BAPBNA， ， ， ABBC ，ANAM. 这样的点 P 不存在理由：假PAPB ANAB ANAB AMBC设 PC ，如图 3 中，以点 C 为圆心 为半径画圆，以 AB 为直径画圆，12 12CO ，两个圆外离，APB 90，这与 APPB 矛盾，假BC2 BO252 12 12设不可能成立，满足 PC 的点 P 不存在12例 4 设 AEx，则 ACx 4，AC 平分BAD ，BACCAD ，CDB BAC(圆周角定理)，CAD CDB，ACD DCE，ACD D
18、CE， ，即 ，解CDCE ACDC 64 x 46得：x5.故选 B.【变式拓展】1A 2.12 3. 4.(1)C (2)C 5.(1)13 (2)2 或 6.(1)D (2)A (3)D 7.5n22n 1 103或23 43【热点题型】【分析与解】(1)设矩形的边长 PN2ymm，则 PQymm，由条件可得APNABC， ，即 ，解得 y ，PN 2 (mm)，答：这个矩形PNBC AEAD 2y120 80 y80 2407 2407 4807零件的两条边长分别为 mm， mm； (2)设 PNxmm，由条件可得APN2407 4807ABC， ，即 ，解得 PQ80 x.SPNPQx(80 x)PNBC AEAD x120 80 PQ80 23 23 x280x (x60) 22400，S 的最大值为 2400mm2，此时23 23PN 60mm，PQ80 6040( mm)23【错误警示】AABCDBA， ，AB 2BDBC.ABBD BCAB
