1、第 14 讲 反比例函数及其图象1反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试要求反比例函数的概念一般地，形如 y (k 为常数，k_)的函kx数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数自变量的取值范围是_b确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法图象 所在象限 性质k0一、三象限(x、y 同号)在每个象限内，y随 x 增大而_.k0)的图象交于点 A(1，a)，kx点 B 是此反比例函数图形上任意一点(不与点 A 重合) ，BCx 轴于点 C.求 k 的值；求OBC 的面积类型三 反比例函数与其他函数、方程和不等式的问题反比例函数 y (k0)，例 3kx(1)如图，该函数的图象
2、(x0)与直线 yax 交于点 A(1，2) ，则不等式 ax 的解集是kx_(2)设 k3，该函数的图象与 y2x6 的图象的交点坐标为 (a，b)，则 的值是1a 2b_(3)如图，设 k3，该函数的图象与一次函数 yaxb 的图象交于 A，B 两点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，1x0 或 x3，则一次函数的解析式为_【解后感悟】一次函数与反比例函数的交点坐标求法，以及正确地识别图象是解题的关键；注意掌握方程思想与数形结合思想的应用3(1)(2017扬州市邗江区模拟) 点 A(a，b)是一次函数 yx1 与反比例函数 y 的交4x点，则 a2bab 2_.(2)(2015衢州)如图
3、，已知点 A(a，3)是一次函数 y1xb 图象与反比例函数 y2 图6x象的一个交点求一次函数的解析式；在 y 轴的右侧，当 y1y 2时，直接写出 x 的取值范围类型四 反比例函数图象与几何图形的相关问题例 4(1) (2017烟台 )如图，直线 yx2 与反比例函数 y 的图象在第一象限交于点 P，kx若 OP ，则 k 的值为_10(2)(2017丽水模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(1，1)，B(2，2)，双曲线 y与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是_kx(3)(2017宁波)已知ABC 的三个顶点为 A(1，1) ，B(1，3)，C(3，3)，将ABC 向右平
4、移 m(m0)个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数 y 的图象3x上，则 m 的值为_(4)(2017绍兴模拟)如图，点 A 在双曲线 y 上，点 B 在双曲线 y (k0) 上，3x kxABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D，连结 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则 k的值为_【解后感悟】解题的关键是灵活转换点的坐标与长度之间的关系，充分利用 k 的几何意义，数形结合，函数方程思想4(1)(2017成都模拟)如图，若正方形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在函数 y (x0)的图象上，则点 E 的坐标是 .1x (， )(2) (201
5、7兰州模拟 )如图，一次函数 yx4 的图象与反比例函数 y (k 为常数，kx且 k0) 的图象交于 A(1，a) 、B 两点求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；在 x 轴上找一点 P，使 PAPB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标及PAB 的面积类型五 反比例函数的应用(2015衡阳)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人例 5体实验测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克/毫升)与服药时间 x 小时之间的函数关系如图所示( 当 4x10 时，y 与 x 成反比) (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式；(2)问血液中药物
6、浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间为多少小时？【解后感悟】这是一道关于反比例函数的简单的图象信息题，解这类问题既要能根据图象信息理解其实际意义，又要能根据实际问题想象出其图象的特点另外，还要关注一些特殊点的位置和坐标运用等5(2016盐城)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为1520的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度 y() 随时间x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线 y 的一部分，请根据图中kx信息解答下列问题：(1)求 k 的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在 15及 15以上的时间有多少小时？【探索
7、研究题】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y (x0)的图象和矩形 ABCD 在第一象限，kxAD 平行于 x 轴，且 AB2，AD4，点 A 的坐标为(2， 6)(1)直接写出 B、C、D 三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式【方法与对策】把线段的长转化为点的坐标，在求 k 的值的时候，由于 k 的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程 2(6a) 6(4a)，求出平移距离 a 后再由坐标求 k，实际上也可把 A，C 两点坐标代入 y 中，得到关于 a、k 的方程组从而直接求得
8、kkx的值该题型是图形变换，是中考的常见题型【忽视反比例函数图象所在象限，求 k 时出现错解现象】如图，反比例函数 y (k0)的图象上有一点 A，AB 平行于 x 轴交 y 轴于点 B，kxABO 的面积是 1，则 k 的值为 _参考答案第 14 讲 反比例函数及其图象【考点概要】10 x0 减小 增大 双曲线 原点 2.常数 |k| |y| |x| |xy| k |k| |k| 12|k|12【考题体验】1C 2.C 3.(4，1) 4.( 1)由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy2000，即y ；( 2)当 x20( 米)时， y 100(米)，所以当鱼塘的宽是 20 米时，鱼塘
9、的长为2000x 200020100 米【知识引擎】【解析】(1) 不唯一，如 k0，图象在一、三象限等(2)不唯一，如 k12，直线 yx，OP OQ 等43【例题精析】例 1 (1)2 (2)y 1，y 3，y 2 (3)y (4)(1 ，4) (5)m1 例 2 (1)y ； (2)6x 4x2； (3)2. 例 3 (1)x 1； (2)2；(3)yx2. 例 4 (1)3； (2)1k4； (3)AB 边的中点( 1，2)，BC 边的中点 (2，0)，AC 边的中点( 2，1)，向右平移 m(m0)个单位后，AB 边的中点(1 m，2)，AC 边的中点( 2 m，1) 2(1m)3
10、或1( 2m)3.m2.5 或 m1( 舍去)故答案为 2.5. (4) 过点 B 作 BEx 轴于E，延长线段 BA，交 y 轴于 F，四边形 AFOD 是矩形，四边形 OEBF 是矩形，而DE2OD ， S 矩形 OEBF3S 矩形 AFOD9，k9，故答案为 9.例 5 (1)由图象可知，当 0x4 时，y 与 x 成正比例关系，设 ykx.由图象可知，当 x4 时，y8，4k8，解得：k2；y2x(0x4) 又由题意可知：当4x10 时，y 与 x 成反比，设 y .由图象可知，当 x4 时，y8，mmx4832；y (4x10) 即：血液中药物浓度上升时 y2x(0x4)；血液32x
11、中药物浓度下降下时 y (4x10) (2)血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升即：32xy4，2x4 且 4，解得 x2 且 x8；2x8，即持续时间为 6 小时32x【变式拓展】1(1) (2) (3)m 132. (1)2 (2) (3)直线 y2x 与反比例函数 y (k0，x0)的图象交于32 kx点 A(1， a)，先将 A(1，a)代入直线 y2x，得：a2， A(1，2)，将 A(1，2)代入反比例函数 y 中得：k2；B 是反比例函数 y 图象上的点，且 BCx 轴于点kx kxC，BOC 的面积 |k| 21. 12 123. (1)4 (2)将 A(a，3)代入 y2 得
12、 a2，A(2 ，3)，将 A(2，3)代入6xy1xb 得 b1，y 1x1；A(2，3) ，根据图象得在 y 轴的右侧，当 y1y2时，x2. 4.(1) (2) 由已知可得，a 3，k3，反比例函数的表达式为5 12 5 12y ，B(3，1)；3x如图，点 B 关于 x 轴对称，得到 B(3，1)，PAPB PAPB AB，当 P 点和P点重合时取到等号易得直线 AB：y2x5，P ，即满足条件的 P 的坐标(52， 0)为 ，设 yx4 交 x 轴于点 C，则 C(4，0) ，S PAB S APC S (52， 0)BPC PC(yAy B)，即 SPAB (31) . 12 12
13、 (4 52) 325.(1)把 B(12，20)代入 y 中得： k1220240 (2)设 AD 的解析式为：kxymxn，把(0，10)、(2 ， 20)代入 ymx n 中得： 解得 AD 的n 10，2m n 20， ) m 5，n 10.)解析式为：y5x10，当 y15 时，155x10，x1，15 ，x 16，16115h.答：恒温系统在一天内保持大240x 24015棚里温度在 15及 15以上的时间有 15 小时【热点题型】【分析与解】(1)先根据矩形的对边平行且相等的性质得到 B、C、D 三点的坐标，B(2，4) ，C(6，4)，D(6 ，6)(2)从矩形的平移过程发现只
14、有 A，C 两点能同时在双曲线上 (这是一种合情推理，不必证明) ，设平移距离为 a，把 A，C 两点坐标代入 y 中，得到关于 a，k 的方程组从而求kx得 k 的值如图，矩形 ABCD 平移后得到矩形 ABCD，平移距离为 a，则 A(2，6a)，C(6，4a) 点 A，点 C在 y 的图象上，2(6 a)6(4a) ，解得 a3，点kxA(2，3) ，反比例函数的解析式为 y .6x【错误警示】如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C.则四边形 ABOC 是矩形，S ABO S AOC 1，|k|S 矩形 ABOCS ABO S AOC 2，k2 或 k2.又函数图象位于第二象限，k0，k2.
