1、2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求 幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数yx， yx 2，y x3，y ，yx 的图象，掌握它们的性质( 重点).3.能利用幂函数的单调性比较1x 12指数幂的大小(重点)预习教材 P77P78 ，完成下面问题：知识点 1 幂函数的概念一般地，函数 yx 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 yx 是幂函数( )45(2)函数 y2 x 是幂函数( )(3)函数 yx 是幂函数( )12提示 (1) 函数 yx 符合幂函数的定义，所以是 幂函数；45(2) 幂函数中自变量 x 是底数
2、，而不是指数，所以 y2 x 不是幂函数；(3) 幂函数中 x的系数必须为 1，所以 yx 不是幂函数12知识点 2 幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数 yx yx 2 yx 3yx12yx 1定义域 R R R 0，)(，0)(0，)值域 R 0，) R 0，) y|yR，且 y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x0 ，)，增x(，0，减增 增x (0，) ，减x (，0) ，减公共点 都经过点(1,1)【预习评价】(1)设函数 f(x) x ，则 f(x)是( )53A奇函数B偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D既是奇函数又是偶函数(2)3.173
3、 与 3.713 的大小关系为_解析 (1)易知 f(x)的定义域为 R，又 f(x)f(x)，故 f(x)是奇函数(2)易知 f(x)x 3 在(0 ，) 上是减函数，又 3.17f(3.71)，即1x33.173 3.713 .答案 (1)A (2)3.17 3 3.713题型一 幂函数的概念【例 1】 (1)在函数 yx 2 ，y2x 2，y(x1) 2，y 3x 中，幂函数的个数为( )A0 B1 C2 D3(2)若 f(x)(m 24m4)x m 是幂函数，则 m_.解析 (1)根据幂函数定义可知，只有 yx 2 是幂函数，所以选 B(2)因为 f(x)是幂 函数，所以 m24m41
4、，即 m24m 5 0，解得 m5 或 m1.答案 (1)B (2)5 或1规律方法 判断函数为幂函数的方法(1)只有形如 yx (其中 为任意实数， x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 yx ( 为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数， 底数为自变量，底数系数为 1.形如 y(3x)，y 2x，yx 5形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数， 则该函数也必具有这一形式【训练 1】 若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)3f (2)，则 f 的值等于_(12)解析 设 f(x)x ，因为 f(4)
5、3f (2)，4 32 ，解得： log 23，f log23 .(12) (12) 13答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例 2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数 yx n 在第一象限的图象，已知 n 取2，四个值，则相应于 C1，C 2，C 3，C 4 的 n 依次为( )12A2， ，2 B2， ，21212 12 12C ，2,2， D2，2，12 12 12 12(2)点( ，2)与点 分别在幂函数 f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，分别有：2 ( 2， 12)f(x) g(x)；f(x)g(x) ；f(x )0 时，n 越大，yx n递增速度越快，故 C1 的
6、 n2，C 2 的 n ；当 ng(x) ；当 x1 时，f( x)g( x)；当 x(0,1)时，f(x)1mnCm 是偶数，n 是奇数，且 1mn解析 由图象可知 yx 是偶函数，而 m，n 是互质的，故 m 是偶数，n 是奇数，又当mn x(1， ) 时，y x 的图象在 yx 的图象下方，故 ，所以 0.3 0.3.2513 (25) (13)(2)因为幂函数 yx 1 在( ，0)上是单调递减的，又 1 .23 35 ( 23) ( 35)【迁移 1】 (变换条件)若将例 1(1)中的两数换为“ 0.3 与 0.3 ”，则二者的大小关系(25) (13)如何？解 因为 0.3 3 0
7、.3，而 yx 0.3 在(0 ，)上是单调递增的，(13)又 ，又因为函数 y2x(25) 25 (25) (25)25在(0， ) 上 为增函数，且 0.3，所以 0.3 ，所以 0.30.3 .2525 (25)2525(25) 25规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练 3】 比较下列各组数的大小：(1) 0.5 与 0.5；(2)3.14 3 与 3；(23) (35)(3) 与 .(12)34(34)12解 (1)yx 0.5 在0，)上是增函数且 ，23 35 0.5 0.5.(23) (35)(2)yx 3 是 R 上的增函数，且 3.14，3.143 3，3.14 3 3
8、.(3)y x 是 R 上的减函数， .(12) (12)34(12)12yx 是0，)上的增函数，12 . .(34)12(12)12(34)12(12)34课堂达标1已知幂函数 yf( x)的图象经过点 ，则 f(2)( )(4，12)A B4 C D14 22 2解析 设幂函数为 yx ，幂函数的图象经过点 ，(4，12) 4 ， ，yx ，f(2)2 ，故 选 C12 12 121222答案 C2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )Ayx By x Cy x Dyx13125323解析 A 中定义域值域都是 R；B 中定义域值域都是(0，)；C 中定义域值域都是 R；D中定义域
9、为 R，值域为0，) 答案 D3设 a ，则使函数 yx a 的定义域是 R，且为奇函数的所有 a 的值是( ) 1，1，12，3A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3解析 当 a1 时，y x 1 的定义域是x|x0，且为奇函数；当 a1 时，函数 yx 的定义域是 R 且为奇函数；当 a 时，函数 yx 的定义域是 x|x0 ，且 为非奇非偶函数当12 12a3 时，函数 yx 3 的定义域是 R 且为奇函数故选 A答案 A4函数 yx 的图象是( )13解析 显然代数表达式“f( x)f (x )”，说明函数是奇函数同时由当 0x，13当 x1 时，x ，则 .从而78(18)78781819 (18)78(19)788 ，所以 .466 ( 23) 23(6) 23课堂小结1幂函数 yx 的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线 x1 的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线 x1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为 1 时，函数值为 1，即 f(1)1.(2)如果 0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果 0，幂函数在 x0 处无意义，在(0，) 上是减函数
