1、1第 2 课时 平面与平面垂直学习目标 1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用知识点一 平面与平面垂直的定义1条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直2结论：两个平面互相垂直3记法：平面 ， 互相垂直，记作 .知识点二 平面与平面垂直的判定定理思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤” ，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地
2、面什么关系？答案 都是垂直梳理 平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直图形语言符号语言 a ， a 2知识点三 平面与平面垂直的性质定理思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直3梳理 文字语言 图形语言 符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ， CD， BA，BA CD， B 为垂足 BA 1若 l ，则过 l 有无数个平面与 垂直( )2若平面 平面
3、 ，任取直线 l ，则必有 l .( )3已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面( )类型一 面面垂直的判定例 1 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上，求证：平面 AEC平面 PDB.证明 设 AC BD O，连接 OE， AC BD， AC PD， PD， BD 为平面 PDB 内两条相交直线， AC平面 PDB.又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 PDB.4反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤跟踪训练 1 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直底面， ACB90， A
4、C AA1， D12是棱 AA1的中点证明：平面 BDC1平面 BDC.证明 由题设知 BC CC1， BC AC， CC1 AC C，所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1平面 ACC1A1，所以 DC1 BC.由题设知 A1DC1 ADC45，所以 CDC190，即 DC1 DC.又 DC BC C，所以 DC1平面 BDC.又 DC1平面 BDC1，所以平面 BDC1平面 BDC.类型二 面面垂直的性质定理及应用例 2 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC.求证： BC AB.证明 如图，在平面 PAB 内，作 AD PB 于 D.平面 PAB平
5、面 PBC，5且平面 PAB平面 PBC PB. AD平面 PBC.又 BC平面 PBC， AD BC.又 PA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC，又 PA AD A， BC平面 PAB.又 AB平面 PAB， BC AB.反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直(2)直线必须在其中一个平面内(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练 2 如图所示， P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点， ABCD 是 DA
6、B60且边长为a 的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD， G 为 AD 边的中点求证：(1) BG平面 PAD；(2)AD PB.证明 (1)平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，又四边形 ABCD 是菱形且 DAB60， ABD 是正三角形， BG AD. BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BG AD， PG AD.又 BG PG G， AD平面 PBG，又 PB平面 PBG， AD PB.类型三 垂直关系的综合应用例 3 如图所示， ABC 为正三角形， CE平面 ABC， BD CE，且 CE AC2 BD， M， N 分别是 AE，
7、 AC 的中点，求证：(1)DE DA；(2)平面 BDMN平面 ECA；(3)平面 DEA平面 ECA.6解 (1)取 CE 的中点 F，连接 DF，易知 DF BC，因为 CE平面 ABC，所以 CE BC，所以 CE DF.因为 BD CE，所以 BD平面 ABC，所以 BD AB.在 Rt EFD 和 Rt DBA 中，因为 EF CE DB， DF BC AB，12所以 Rt EFDRt DBA，所以 DE DA.(2)因为 EC平面 ABC，所以 EC BN，因为 ABC 为正三角形，所以 BN AC.因为 EC AC C，所以 BN平面 ECA.又因为 BN平面 BDMN，所以平
8、面 BDMN平面 ECA.(3)因为 M， N 分别是 AE， AC 的中点，所以 MN 綊 CF 綊 BD，所以四边形 MNBD 是平行四边形，所以 DM BN，由(2)知 BN平面 ECA，所以 DM平面 ECA.又因为 DM平面 DEA，所以平面 DEA平面 ECA.反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：7跟踪训练 3 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD， AB AD， CD2 AB，平面 PAD底面ABCD， PA AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC
9、的中点，求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1) PA AD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，由平面和平面垂直的性质定理可得 PA平面 ABCD.(2) AB CD， AB AD， CD2 AB， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，故四边形 ABED 为平行四边形，故有 BE AD.又 AD平面 PAD， BE平面 PAD， BE平面 PAD.(3)在平行四边形 ABED 中，由 AB AD 可得， ABED 为矩形，故有 BE CD.由 PA平面 ABCD，可得 PA AB，再由 AB AD
10、可得 AB平面 PAD， CD平面 PAD，故有 CD PD.再由 E、 F 分别为 CD 和 PC 的中点，可得 EF PD， CD EF.而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线，故有 CD平面 BEF.由于 CD平面 PCD，平面 BEF平面 PCD.1下列四个命题垂直于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；垂直于同一个平面的两个平面相互平行其中错误的命题有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 B解析 垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就8不成立；垂直于同一个平面的
11、两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立故选 B.2如图，设 P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，则平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD的位置关系是( )A平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直B它们两两垂直C平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直D平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直答案 A解析 PA平面 ABCD， PA BC.又 BC AB， PA AB A， BC平
12、面 PAB， BC平面 PBC，平面 PBC平面 PAB.由 AD PA， AD AB， PA AB A，得 AD平面 PAB. AD平面 PAD，平面 PAD平面 PAB.由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直，故选 A.3如图，在四面体 ABCD 中，已知 AB AC， BD AC，那么 D 在面 ABC 内的正投影 H 必在( )A直线 AB 上 B直线 BC 上C直线 AC 上 D ABC 内部答案 A解析 在四面体 ABCD 中，已知 AB AC， BD AC， AB BD B， AC平面 ABD.又 AC平面 ABC，平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB
13、，D 在面 ABC 内的射影 H 必在 AB 上9故选 A.4如图所示，已知 AF平面 ABCD， DE平面 ABCD，且 AF DE， AD6，则 EF_.答案 6解析 AF平面 ABCD， DE平面 ABCD， AF DE.又 AF DE，四边形 AFED 为平行四边形，故 EF AD6.5如图所示，在四棱锥 S ABCD 中，底面四边形 ABCD 是平行四边形， SC平面 ABCD， E为 SA 的中点求证：平面 EBD平面 ABCD.证明 连接 AC 与 BD 交于 O 点，连接 OE. O 为 AC 的中点， E 为 SA 的中点， EO SC. SC平面 ABCD， EO平面 AB
14、CD.又 EO平面 EBD，平面 EBD平面 ABCD.1面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：102运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直一、选择题1设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l ， m ，则下列说法正确的是( )A若 l ，则 B若 ，则 l mC若 l ，则 D若 ，则 l m答案 A解析 l ， l ， (面面垂直的判定定理)，故 A 正确2如果直线 l， m 与平面 ， ， 满足： l，
15、l ， m 和 m ，那么必有( )A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 答案 A解析 B 错，有可能 m 与 相交；C 错，可能 m 与 相交；D 错，有可能 与 相交3下列命题中正确的是( )A平面 和 分别过两条互相垂直的直线，则 B若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条平行直线，则 C若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则 D若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 答案 C解析 当平面 和 分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面 和 有可能平行，故A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D 错，C 正确4.如图，已知 PA矩形 ABCD
16、所在平面，则图中互相垂直的平面有( )11A1 对 B2 对C3 对 D5 对答案 D解析 DA AB， DA PA， DA平面 PAB.同理 BC平面 PAB，又 AB平面 PAD， DC平面 PAD，平面 PAD平面 AC，平面 PAB平面 AC，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面PDC平面 PAD，共 5 对5如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ABD 沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成几何体 A BCD，则在几何体 A BCD 中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面
17、BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC答案 D解析 由已知得 BA AD， CD BD，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD， CD平面 ABD，从而 CD AB，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC.6下列命题中错误的是( )A如果 ，那么 内所有直线都垂直于平面 B如果 ，那么 内一定存在直线平行于平面 C如果 不垂直于平面 ，那么 内一定不存在直线垂直于平面 D如果 ， ， l，那么 l 答案 A12解析 若 ，则 内必有垂直于 的直线，并非 内所有直线都垂直于 ，A 错7过两点与一个已知平面垂直的平面( )A有且
18、只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在答案 C解析 设两点为 A， B，平面为 ，若直线 AB ，则过 A， B 与 垂直的平面有无数个；若直线 AB 与 不垂直，即直线 AB 与 平行、相交但不垂直或在平面 内，均存在唯一平面垂直于已知平面8在正四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A BC平面 PDF B DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC答案 C解析 如图所示， BC DF， BC平面 PDF，A 正确由 BC PE， BC AE，得 BC平面 PAE， DF平面
19、PAE，B 正确平面 ABC平面 PAE(BC平面 PAE)，D 正确二、填空题9.如图， A， B， C， D 为空间四点，在 ABC 中， AB2， AC BC ，等边三角形 ADB 以 AB2为轴运动，当平面 ADB平面 ABC 时，则 CD_.答案 2解析 如图，取 AB 的中点 E，连接 DE， CE，13因为 ADB 是等边三角形，所以 DE AB.当平面 ADB平面 ABC 时，因为平面 ADB平面 ABC AB，所以 DE平面 ABC.又 CE平面 ABC可知 DE CE.由已知可得 DE ， EC1，3在 Rt DEC 中， CD 2.DE2 CE210如图所示，已知两个正方
20、形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M， N 分别为 AB， DF 的中点若 CD2，平面 ABCD平面 DCEF，则线段 MN 的长为_答案 6解析 取 CD 的中点 G，连接 MG， NG，因为 ABCD， DCEF 为正方形，且边长为 2，所以MG CD， MG2， NG .2因为平面 ABCD平面 DCEF，所以 MG平面 DCEF，可得 MG NG，所以 MN .MG2 NG2 611.如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)1
21、4答案 DM PC(或 BM PC 等)解析 由定理可知， BD PC.当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.三、解答题12.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上，A1D B1C1.求证：(1) EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.证明 (1)由 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点知 EF BC.因为 EF平面 ABC， BC平面 ABC.所以 EF平面 ABC.(2)由三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱知 CC1平面 A
22、1B1C1.又 A1D平面 A1B1C1，故 CC1 A1D.又因为 A1D B1C1， CC1 B1C1 C1，故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D平面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C.13.如图，已知平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC， AE平面 PBC， E 点为垂足(1)求证： PA平面 ABC；(2)当 E 为 PBC 的垂心时，求证： ABC 是直角三角形证明 (1)在 ABC 内取一点 D，作 DF AC 于点 F，15因为平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，所以 DF平面 PAC，又 PA平面 PAC，所以 DF AP.作 DG AB
23、于点 G，同理可证 DG AP.因为 DG、 DF 都在平面 ABC 内，且 DG DF D，所以 PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H.因为 E 是 PBC 的垂心，所以 PC BE.又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，所以 PC AE.又 BE AE E，所以 PC平面 ABE.因为 AB平面 ABE，所以 PC AB.又因为 PA平面 ABC， AB平面 ABC，所以 PA AB.又 PC PA P，所以 AB平面 PAC.又 AC平面 PAC，所以 AB AC，即 ABC 是直角三角形四、探究与拓展14如图所示， AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异
24、于点 A， B)，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点有以下四个命题： PA平面 MOB； MO平面 PAC； OC平面 PAC；平面 PAC平面 PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案 解析 因为 PA平面 MOB，所以不正确；因为 MO PA，而且 MO平面 PAC，所以正确；OC 不垂直于 AC，所以不正确；因为 BC AC， BC PA， AC PA A，所以 BC平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC，所以正确15.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PC平面 ABCD， AB DC， DC AC.16(1)求证： DC平面 PAC
25、；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由(1)证明 PC平面 ABCD， DC平面 ABCD， PC DC.又 AC DC， PC AC C， PC平面 PAC， AC平面 PAC， DC平面 PAC.(2)证明 AB CD， CD平面 PAC， AB平面 PAC，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF， CE， CF，又 E 为 AB 的中点， EF 为 PAB 的中位线， EF PA.又PA平面 CEF， EF平面 CEF， PA平面 CEF.
