1、1第 1 课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法知识点一 集合的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合集合常用大写字母 A， B， C， D，标记(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素常用小写字母 a， b， c， d，表示集合中的元素知识点二 元素与集合的关系思考 1 是整数吗？ 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？12答案 1 是整数； 不是整数；没有12梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为、.知
2、识点三 元素的三个特性思考 1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因标准确定元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合 A，那么任何一个对象 a 是不是这个集合中的元素就确定了2思考 2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案 2 个集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性思考 3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆” ；乙同学说
3、：“上海、北京、重庆、天津” ，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性知识点四 常用数集及表示符号名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N 或 N* Z Q R1 y x1 上所有点构成集合 A，则点(1,2) A.( )20N 但 0N .( )3由形如 2k1，其中 kZ 的数组成集合 A，则 4k1 A.( )类型一 判断给
4、定的对象能否构成集合例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合(1)不超过 20 的非负数；(2)方程 x290 在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4) 的近似值的全体3考点 集合的概念题点 集合的概念解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过 20 的非负数” ，所以能构成集合(2)能构成集合(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似33值，所以不能构成集合反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象
5、，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素跟踪训练 1 下列各组对象可以组成集合的是( )A数学必修 1 课本中所有的难题B小于 8 的所有素数C直角坐标平面内第一象限的一些点D所有小的正数考点 集合的概念题点 集合的概念答案 B解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合类型二 元素与集合的关系命题角度 1 判定元素与集合的关系例 2 给出下列关系： R； Q；|3|N；| |Q；0 N，其中正确的个数为( )12 2
6、 3A1 B2 C3 D4考点 元素与集合的关系题点 判断元素与集合的关系答案 B解析 是实数，对；12不是有理数，对；2|3|3 是自然数，错；| | 为无理数，错；3 30 是自然数，错故选 B.反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件4跟踪训练 2 用符号 “”或“”填空 _R；3_Q；1_N；_Z.2考点 元素与集合的关系题点 判断元素与集合的关系答案 命题角度 2 根据已知的元素与集合的关系推理例 3 集合 A 中的元素 x 满足 N， xN，则集合 A 中的元素为_63 x考
7、点 元素与集合的关系题点 伴随元素问题答案 0,1,2解析 xN， N，63 x0 x2 且 xN.当 x0 时， 2N；63 x 63当 x1 时， 3N；63 x 63 1当 x2 时， 6N.63 x 63 2 A 中元素有 0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征跟踪训练 3 已知集合 A 中的元素 x 满足 2x a
8、0， aR，若 1A,2 A，则( )A a4 B a2C40， a4，4 a2.类型三 元素的三个特性的应用例 4 已知集合 A 有三个元素： a3,2 a1， a21，集合 B 也有三个元素：0,1， x.(1)若3 A，求 a 的值；(2)若 x2 B，求实数 x 的值；(3)是否存在实数 a， x，使集合 A 与集合 B 中元素相同考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值解 (1)由3 A 且 a211，可知 a33 或 2a13，当 a33 时， a0；当 2a13 时， a1.经检验，0 与1 都符合要求 a0 或1.(2)当 x0,1，1 时，都有 x2 B，但考
9、虑到集合元素的互异性， x0， x1，故 x1.(3)显然 a210.由集合元素的无序性，只可能 a30 或 2a10.若 a30，则 a3， A 包含的元素为 0,5,10，与集合 B 中元素不相同若 2a10，则 a ， A 包含的元素为 0， ，与集合 B 中元素不相同12 5254故不存在实数 a， x，使集合 A 与集合 B 中元素相同反思与感悟 元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等跟踪训练 4 已知集合 M 中含有三个元素：
10、 a，1，集合 N 中含有三个元素： a2， a b,0，ba若集合 M 与集合 N 中元素相同，求 a， b 的值考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值解 集合 M 与集合 N 中元素相同Error!解得Error! 或Error!由集合中元素的互异性，得 a1， a1， b0.61下列给出的对象中，能组成集合的是( )A一切很大的数B好心人C漂亮的小女孩D方程 x210 的实数根考点 集合的概念题点 集合的概念答案 D2下面说法正确的是( )A所有在 N 中的元素都在 N 中B所有不在 N 中的数都在 Z 中C所有不在 Q 中的实数都在 R 中D方程 4x8 的解既在 N
11、 中又在 Z 中考点 常用的数集及表示题点 常用的数集及表示答案 C3由“book 中的字母”构成的集合中元素的个数为( )A1 B2 C3 D4考点 元素与集合的关系题点 集合中元素的个数答案 C4下列结论不正确的是( )A0N B. Q C0Q D1Z13考点 常用的数集及表示题点 常用的数集及表示答案 C5已知集合 A 是由 0， m， m23 m2 三个元素组成的集合，且 2 A，则实数 m 的值为( )A2 B3C0 或 3 D0,2,3 均可考点 元素与集合的关系7题点 由元素与集合的关系求参数的值答案 B解析 由 2 A 可知：若 m2，则 m23 m20，这与 m23 m20
12、相矛盾；若 m23 m22，则 m0 或 m3，当 m0 时，与 m0 相矛盾，当 m3 时，此时集合 A 的元素为 0,3,2，符合题意1考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合2元素 a 与集合 A 之间只有两种关系： a A， aA.3集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合(2)互异性：集
13、合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素 a， b， c 与由元素 b， a， c 组成的集合是相等的集合这个性质通常用来判断两个集合的关系.一、选择题1已知集合 A 由满足 x1 的数 x 构成，则有( )A3 A B1 A C0 A D1 A考点 元素与集合的关系题点 判断元素与集合的关系答案 C解析 很明显 3,1 不满足不等式，而 0，1 满足不等式2由实数 x， x，| x|， ， 所组成的集合，最多含( )x2 3x3A2 个元素 B3 个元素C4 个元素 D5 个元素考点 元素与集合的关系8
14、题点 集合中元素的个数答案 A解析 由于| x| x， | x|， x，并且 x， x，| x|之中总有两个相等，所以x2 3x3最多含 2 个元素3下列结论中，不正确的是( )A若 aN，则 aN B若 aZ，则 a2ZC若 aQ，则| a|Q D若 aR，则 R3a考点 常用的数集及表示题点 常用的数集及表示答案 A解析 A 不对反例：0N，0N.4已知 x， y 为非零实数，代数式 的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是( )x|x| y|y|A0 M B1 MC2 M D2 M考点 元素与集合的关系题点 判断元素与集合的关系答案 D解析 当 x， y 为正数时，代数式 的值为 2；
15、当 x， y 为一正一负时，代数式x|x| y|y| 的值为 0；当 x， y 均为负数时，代数式 的值为2，x|x| y|y| x|x| y|y|所以集合 M 的元素共有 3 个：2,0,2，故选 D.5已知集合 S 中三个元素 a， b， c 是 ABC 的三边长，那么 ABC 一定不是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形考点 集合中元素的特征题点 集合中参数的取值范围答案 D解析 由元素的互异性知 a， b， c 均不相等6已知 A 中元素 x 满足 x3 k1， kZ，则下列表示正确的是( )A1 A B11 AC3 k21 A D34 A考点 元素与集合的关系题
16、点 判断元素与集合的关系9答案 C解析 令 3k11，解得 k0Z，1 A.令 3k111，解得 k Z，11 A；103 kZ， k2Z，3 k21 A.令 3k134，解得 k11Z，34 A.二、填空题7在方程 x24 x40 的解集中，有_个元素考点 元素与集合的关系题点 集合中元素的个数答案 1解析 易知方程 x24 x40 的解为 x1 x22，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有 1 个元素8下列所给关系正确的个数是_R； Q；0N ；|4|N .3考点 常用的数集及表示题点 常用的数集及表示答案 2解析 是实数， 是无理数，0 不是正整数，|4|4 是正整数，正确，3不正确，
17、正确的个数为 2.9如果有一个集合含有三个元素：1， x， x2 x，则实数 x 的取值范围是_考点 集合中元素的特征题点 集合中参数的取值范围答案 x0,1,2，152解析 由集合元素的互异性可得 x1， x2 x1， x2 x x，解得 x0,1,2， .15210已知集合 P 中元素 x 满足： xN，且 2 x a，又集合 P 中恰有三个元素，则整数a_.考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值答案 6解析 xN,2 x a，且 P 中只有三个元素，结合数轴知 a6.三、解答题11已知集合 A 是由 a2,2 a25 a,12 三个元素组成的，且3 A，求实数 a 的值
18、10考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值解 由3 A，可得3 a2 或32 a25 a， a1 或 a .32当 a1 时， a23,2 a25 a3，不满足集合中元素的互异性，故 a1 舍去当 a 时， a2 ，2 a25 a3，满足题意32 72实数 a 的值为 .3212已知集合 A 含有两个元素 a3 和 2a1， aR.若 a A，试求实数 a 的值考点 集合中元素的特征题点 集合中参数的取值范围解 因为 a A，所以 a a3 或 a2 a1.当 a a3 时，有 03，不成立；当 a2 a1 时，有 a1，此时 A 中有两个元素2,1，符合题意综上所述，满足题
19、意的实数 a 的值为 1.13数集 A 满足条件：若 a A，则 A(a1)11 a(1)若 2 A，试求出 A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于 A，然后求出 A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理” 考点 元素与集合的关系题点 伴随元素问题解 (1)2 A，则 A，即1 A，则 A，11 2 11 1即 A，则 A，即 2 A，12 11 12所以 A 中其他所有元素为1， .12(2)如：若 3 A，则 A 中其他所有元素为 ， .12 23(3)分析以上结果可以得出： A 中只能有 3 个元素，它们分别是 a， ， (a0，且
20、a1)，且三个数的乘积为1.11 a a 1a11证明如下：若 a A， a1，则有 A 且 1，11 a 11 a所以又有 A 且 1，11 11 a a 1a a 1a进而有 a A.11 a 1a又因为 a (因为若 a ，则 a2 a10，11 a 11 a而方程 a2 a10 无解)，同理 ， a .11 a a 1a a 1a又因为 a 1，11 a a 1a所以 A 中只能有 3 个元素，它们分别是 a， ， (a0，且 a1)，11 a a 1a且三个数的乘积为1.四、探究与拓展14已知集合 A 中有 3 个元素 a， b， c，其中任意 2 个不同元素的和的集合中的元素是1,
21、2,3.则集合 A 中的任意 2 个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是_考点 元素与集合的关系题点 根据新定义求集合答案 1,2解析 由题意知Error!解得Error!集合 A0,1,2，则集合 A 中的任意 2 个不同元素的差的绝对值分别是 1,2.故集合 A 中的任意 2 个不同元素的差的绝对值的集合是1,215已知集合 A 中的元素 x 均满足 x m2 n2(m， nZ)，求证：(1)3 A；(2)偶数 4k2( kZ)不属于集合 A.考点 元素与集合的关系题点 判断元素与集合的关系证明 (1)令 m2Z， n1Z，得 x m2 n2413，所以 3 A.(2)假设 4k2 A，则存在 m， nZ，使 4k2 m2 n2( m n)(m n)成立当 m， n 为同奇或同偶时， m n， m n 均为偶数，12所以( m n)(m n)为 4 的倍数与 4k2 不是 4 的倍数矛盾当 m， n 为一奇一偶时， m n， m n 均为奇数，所以( m n)(m n)为奇数，与 4k2 是偶数矛盾所以假设不成立综上，4 k2 A.
