1、3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难 点).3.了解函数的零点与方程的根的 联系( 重点)预习教材 P86P88 ，完成下面问题：知识点 1 函数的零点(1)概念：函数 f(x)的零点是使 f(x)0 的实数 x.(2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数 f(x)x 24x 的零点是_(2)若 2 是函数 f(x)a2 xlog 2x 的零点， 则 a_.解析 (1)令 f(x)0，即 x24x0，解得 x0 或 x4，所以 f(x)的零
2、点是 0 和 4.(2)由 f(2)4a10 得 a .14答案 (1)0 和 4 (2)14知识点 2 函数零点的判断(1)条件：函数 yf(x )在区间a，b 上的图象是连续不断 的一条曲线；f (a)f(b)0.(3) 反例：f(x)x(x1)( x2) ，区间为( 1,3)， 满足条件，但 f(x)在( 1,3)内有 0,1,2 三个零点题型一 函数零点的概念及求法【例 1】 (1)函数 y1 的零点是( )1xA(1,0) Bx 1 Cx 1 Dx0(2)设函数 f(x) 21x 4，g(x)1log 2(x3)，则函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为_(3)若 3 是函数
3、f(x)x 2mx 的一个零点，则 m_.解析 (1)令 1 0，1x解得 x1，故 选 B(2)令 f(x)2 1 x40 解得 x1，即 f(x)的零点为1，令 g(x)1log 2(x3)0，解得 x1，所以函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为2.(3)由 f(3)3 23m0 解得 m3.答案 (1)B (2) 2 (3)3规律方法 函数零点的两种求法(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根，若存在 实数根， 则函数存在零点，否则函数不存在零点(2)几何法：与函数 yf(x )的图象联系起来， 图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点【训练 1】 函数 f(x)axb 有一
4、个零点是 2，那么函数 g(x)bx 2ax 的零点是_解析 函数 f(x)axb 有一个零点是 2，2ab0 b2a，g(x)bx 2ax2ax 2axax(2 x1)，ax(2x1) 0x0，x ，函数 g(x)12bx 2ax 的零点是 0， .12答案 0，12题型二 确定函数零点的个数【例 2】 判断下列函数零点的个数(1)f(x)x 2 x ；34 58(2)f(x)ln xx 23.解 (1)由 f(x) 0，即 x2 x 0，得 24 0，所以 f(1)f(2)0，且 x1)的图象1x 1 1x 1有两个交点故函数 f(x)ln x 的零点有 2 个1x 1答案 C题型三 判断
5、函数零点所在的区间【例 3】 (1)二次函数 f(x)ax 2bxc 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 m 4 6 6 4 n 6不求 a，b，c 的值，判断方程 ax2bx c0 的两根所在区间是( )A(3，1)和(2,4) B(3，1) 和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(，3)和(4，)(2)已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)解析 (1)易知 f(x)ax 2bxc 的图象是一条连续不断的曲线，又 f(3)f(1) 6(4)240， f(2)6x3lo
6、g 2220 ，f(4) 2 0.所以方程2x24x30 有两个根，即 f(x)有两个零点答案 C2函数 f(x)4 x2 x2 的零点是( )A(1,0) B1 C D112解析 由 f(x)4 x2 x2(2 x2)(2 x1)0 得 2x2，解得 x1.答案 B3函数 f(x)2 x 的零点所在的区间是 ( )1xA(1，) B C D(12，1) (13，12) (14，13)解析 f(1)211，f 2 2 20，即 f f(1)0，且 f(x)的图象在 内是一(12) 122 (12) (12，1)条连续不断的曲线，故 f(x)的零点所在的区间是 .(12，1)答案 B4函数 f(
7、x)x 22 x在 R 上的零点个数是 _解析 由题意可知，函数 f(x)x 22 x的零点个数，等价于函数 y2 x，yx 2 的图象交点个数如图，画出函数 y2 x，y x2 的大致图象由图象可知有 3 个交点，即 f(x)x 22 x有 3 个零点答案 35若 是函数 f(x)2x 2ax 3 的一个零点，求 f(x)的零点32解 由 f 2 a30 得 a5，则 f(x)2x 25x 3，令 f(x)0，即(32) 94 322x25x30，解得 x1 ，x21，所以 f(x)的零点是 和 1.32 32课堂小结1在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的； (2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 yf (x)g(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础
