1、难点五 复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第 71 页)数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前 n 项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础
2、之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前 n 项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点1由数列的递推关系求通项由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an1 an f (n)型，采用叠加法(2) f (n)型，采用叠乘法an 1an(3)an1 pan q(p0， p1)型，转化为等比数列解决2由 Sn与 an的关系求通项 anSn与 an的关系为： anError!【例 1】 (2017江苏省南京市迎一模模拟)已知数列 an的前 n 项和为 S
3、n，且满足Sn n2 an(nN *)(1)证明：数列 an1为等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若 bn(2 n1) an2 n1，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求满足不等式 2 010 的Tn 22n 1n 的最小值解 (1)证明：当 n1 时，2 a1 a11， a11.2 an Sn n， nN *，2 an1 Sn1 n1， n2，两式相减得 an2 an1 1， n2，即 an12( an1 1)， n2，数列 an1为以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an12 n， an2 n1， nN *；(2)bn(2 n1) an2 n1(2 n1)2 n， Tn3252
4、 2(2 n1)2 n，2 Tn32 252 3(2 n1)2 n1 ，两式相减可得 Tn3222 222 322 n(2 n1)2 n1 ， Tn(2 n1)2 n1 2， 2 010 可化为 2n1 2 010，Tn 22n 12 101 024,2 112 048满足不等式 2 010 的 n 的最小值为 10.Tn 22n 1点评 利用 an Sn Sn1 求通项时，注意 n2 这一前提条件，易忽略验证 n1 致误，当 n1 时， a1若适合通项，则 n1 的情况应并入 n2 时的通项；否则 an应利用分段函数的形式表示二、数列的求和常见类型及方法(1)an kn b，利用等差数列前
5、n 项和公式直接求解；(2)an aqn1 ，利用等比数列前 n 项和公式直接求解；(3)an bncn，数列 bn， cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求 an的前 n 项和；(4)an bncn，数列 bn， cn分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和【例 2】 (扬州市 2017 届高三上学期期末)已知数列 an与 bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且对任意 nN *， an1 an 2(bn1 bn)恒成立(1)若 An n2， b12，求 Bn；(2)若对任意 nN *，都有 an Bn及 成立，求正实数b2a1a2 b3a2a3 b4a3a4 bn 1anan 1
6、 13b1的取值范围；(3)若 a12， bn2 n，是否存在两个互不相等的整数 s， t(1 s t)，使 ， ， 成等差A1B1AsBs AtBt数列？若存在，求出 s， t 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394102】解 (1)因为 An n2，所以 anError!即 an2 n1，故 bn1 bn (an1 an)1，所以数列 bn是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，12所以 Bn n2 n(n1)1 n2 n.12 12 32(2)依题意 Bn1 Bn2( bn1 bn)，即 bn1 2( bn1 bn)，即 2，bn 1bn所以数列 bn是以 b1为首项，2 为
7、公比的等比数列，所以 an Bn b1 b1(2n1)，1 2n1 2所以 ，bn 1anan 1 2nb1 2n 1 2n 1 1因为 bn 1anan 1 b12nb1 2n 1 b1 2n 1 11b1( 12n 1 12n 1 1)所以 b2a1a2 b3a2a3 b4a3a4 bn 1anan 1 ，所以 恒成立，1b1( 121 1 12n 1 1) 1b1( 121 1 12n 1 1) 13即 b13 ，所以 b13.(112n 1 1)(3)由 an1 an2( bn1 bn)得： an1 an2 n1 ，所以当 n2 时， an( an an1 )( an1 an2 )(
8、a3 a2)( a2 a1) a12 n2 n1 2 32 222 n1 2，当 n1 时，上式也成立，所以 An2 n2 42 n，又 Bn2 n1 2，所以 2 ，AnBn 2n 2 4 2n2n 1 2 n2n 1假设存在两个互不相等的整数 s， t(1 s t)，使 ， ， 成等差数列，A1B1AsBs AtBt等价于 ， ， 成等差数列，即 ，121 1 s2s 1 t2t 1 2s2s 1 121 1 t2t 1即 1 ，因为 1 1，所以 1，即 2s2 s1，2s2s 1 t2t 1 t2t 1 2s2s 1令 h(s)2 s2 s1( s2， sN *)，则 h(s1) h(
9、s)2 s20 所以 h(s)递增，若 s3，则 h(s) h(3)10，不满足 2s2 s1，所以 s2，代入 得 2t3 t10( t3)，2s2s 1 121 1 t2t 1当 t3 时，显然不符合要求；当 t4 时，令 (t)2 t3 t1( t4， tN *)，则同理可证 (t)递增，所以 (t) (4)30，所以不符合要求所以，不存在正整数 s， t(1 s t)，使 ， ， 成等差数列A1B1AsBs AtBt点评 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项从而达到求和的目的要注意的是裂项相消法的前提是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消
