1、长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 函 数 与 零 点 问 题（ 二 ） 判断函数零点个数的 常用 方法 一、直接法求函数的 零点 （一 ）已知函数的解 析式 判断零点的个数 例1、（ 1）（ 2012 湖北文 ） 函数 x x x f 2 cos ) ( 在区间 2 , 0 上的 零点 的个 数为（ ） 、 A 2、 B 3、 C 4、 D 5 （2）（ 2012 湖北理 ） 函数 2 cos ) ( x x x f 在区间 4 , 0 上的 零点 的个 数为 （ ） 、 A 4、 B 5、
2、 C 6、 D 7 （3）（ 2010 福建 ）函 数 0 , ln 2 0 , 3 2 ) ( 2 x x x x x x f 的零点个 数为 （ ） 、 A 0、 B 1、 C 2、 D 3 （4）（ 2008 辽宁 ）设 ) (x f 是连 续的偶 函数 ，且 当 0 x 时 ) (x f 是单 调函数 ，则 满足 ) 4 3 ( ) ( x x f x f 的所有x 之和 为（ ） 、 A 3 、 B 3、 C 8 、 D 8 （二 ）利用函数的周 期性 、奇偶性判断零点的 个数 例2、（ 1）（ 2005 福建理12 ） ) (x f 是定义 在R 上以3 为周期 的奇 函数， 且
3、0 (2) f ， 则 方 程 0 ) ( x f在区间(0,6) 内解 的个 数的 最小 值是（ ） 、 A 5、 B 6、 C 7、 D 8 （2）（ 2007 安徽理11 ）定 义在R 上的函 数 ) (x f 既是奇 函数 又是周 期为T 的函 数， 若将 方程 0 ) ( x f 在闭区 间 T -T, 上的根 的个 数记 为n ，则n 可能 为 ） 、 A 0、 B 1、 C 3、 D 5 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 （3 ） 定义 在R 上的函 数 ) (x f 满足 1
4、6 ) 5 ( ) ( x f x f ，当 4 , 1 ( x 时， x x x f 2 ) ( 2 ， 则函数 ) (x f 在 2013 , 0 上的零 点的 个数 为_. （4 ） 设 函数 ) (x f 在 ) , ( 上满足 ) 2 ( ) 2 ( x f x f ， ) 7 ( ) 7 ( x f x f ， 在 区间 7 , 0 上 只有 0 ) 3 ( ) 1 ( f f ， 则方程 0 ) ( x f 在闭 区间 2005 , 2005 上的 根个数 为_. （ 三）直接法判断嵌 套式 函数零点的个数 例 3、（ 1） 设函 数 0 , , 0 , sin 2 ) ( 2
5、x x x x x f ， 则函数 1 ) ( x f f y 的 零点个 数为_. （2 ） 函数 0 , 2 , 0 , 1 2 ) ( 2 x x x x f x ， 0 , 1 , 0 , 2 ) ( 2 x x x x x x g ， 则函 数 ) ( x g f 的所 有零点 之和 是 _. （3 ） 已知 函数 0 , log 0 , 1 ) ( 2 x x x x x f ，则 函数 1 ) ( x f f y 的 零点个 数是 （ ） 、 A 4、 B 1、 C 2、 D 3 （4 ） 已知函 数 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , ) ( x x x e x f x ， 则
6、 函数 ) ( ) ( ( ) ( e k k x f f x g 的零 点 的个数 为 （ ） 、 A 0、 B 1、 C 2、 D 4 二 、利用零点存在性 定理 判断零点所在的区间 例 4、（ 1）（ 2011 新课标 ） 在下列 区间 中， 函数 3 4 ) ( x e x f x 的零 点所在 的区 间为 （ ） 、 A ) 0 , 4 1 ( 、 B ) 4 1 , 0 (、 C ) 2 1 , 4 1 (、 D ) 4 3 , 2 1 ( （2）（ 2010 天津 ）函 数 x x f x 3 2 ) ( 的零点所 在的 一个 区间 是 （ ） 、 A ) 1 , 2 ( 、 B
7、 ) 0 , 1 ( 、 C ) 1 , 0 (、 D ) 2 , 1 ( （3）（ 2012 天津 ）函 数 2 2 ) ( 3 x x f x 在区间 ) 1 , 0 ( 内的零 点的 个数 为（ ） 、 A 0、 B 1、 C 2、 D 3 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 （4）（ 2009 福建 ）若 函数 ) (x f 的零点 与 2 2 4 ) ( x x g x 的零点 之差 的绝 对值不 超过 25 . 0 ， 则函数 ) (x f 可以 是（ ） 、 A 1 4 ) (
8、x x f、 B 2 ) 1 ( ) ( x x f、 C 1 ) ( x e x f、 D ) 5 . 0 ln( ) ( x x f三、数形结合判断函 数零 点的个数 （一 ）直接转化为两 个简 单函数图象的交点 例5、（ 1）（ 2010 浙江 ） 0 x 是 函数 x x f x 1 1 2 ) ( 的一个 零点 ， 若 ) , 1 ( 0 1 x x ， ) , ( 0 2 x x ， 则（ ） 、 A 0 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f、 B 0 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f 、 C 0 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f、 D 0 (
9、 , 0 ) ( 2 1 x f x f （2）（ 2011 山东） 已知 函数 ) 1 , 0 ( log ) ( a a b x x x f a ，当 4 3 2 b a 时， 函数 ) (x f的零点 N n n n x ), 1 , ( 0 ，则 . _ _ n （3 ）(2011 年新课标理12)函数 x y 1 1 的图 像与 函数 ) 4 2 ( sin 2 x x y 的图 像 所有交 点 的横坐 标之 和等 于 （ ） 、 A 2、 B 4、 C 6、 D 8 （4）(2009 年辽宁理12) 若 1 x 满足 方程 5 2 2 x x ， 2 x 满足方 程 5 ) 1 (
10、 log 2 2 2 x x ，则 2 1 x x 等于（ ） 、 A 2 5、 B 3、 C 2 7、 D 4 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 （ 二）根据已知条件 转化 为两个函数图象的交 点 例 6、 （1）(2011 年新课标 文 12) 已知 函数 ) (x f 的周 期为2 ，当 1 , 1 x 时 2 ) ( x x f ，那 么函 数 ) (x f y 的图 像与 函数 x y lg 的图 像的 交点个 数为 （ ） 、 A 10、 B 9、 C 8、 D 1 （2 ）已知
11、函数 ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 0 ( 1 2 ) ( x x f x x x f ，把函数 1 ) ( ) ( x x f x g 的零 点 按 照 从 小 到 大 排 列，则 前10 个零点 之和 为 （ ） 、 A 45、 B 55、 C 1 2 10 、 D 1 2 9 （3 ） 已知 函数 2 ), 2 ( 2 1 2 , 1 1 ) ( x x f x x x f ，则 函数 1 ) ( ) ( x xf x F 的 零点个 数为 （ ） 、 A 5、 B 6、 C 7、 D 8 （ 三）数形结合判断 嵌套 式函数的零点个数 例 7、（ 1）（ 13 安徽理10 ）若函 数
12、c bx ax x x f 2 3 ) ( 有极值 点 1 x ， 2 x ，且 1 1 ) ( x x f ，则 关于x 的方程 0 ) ( 2 ) ( ( 3 2 b x af x f 的不 同实 根的 个数是 （ ） 、 A 3、 B 4、 C 5、 D 6（2 ） 设函 数 0 , , 0 , sin 2 ) ( 2 x x x x x f ，则函 数 1 ) ( x f f y 的零 点个数 为_. （3 ） 已知 函数 2 1 3 1 3 ) ( x x x f ， 则函 数 3 ) ( ( ) ( x f f x g 的零点的 个数 为_. 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学
13、 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 函 数 与 零 点 问 题（ 三 ） 已知函数零点的个数 求参 数的取值范围 一、转化为方程的根 的问 题 例8、（ 1） 关 于x 的方程 2 2 kx x x 有四 个不同 的实 根， 则实 数k 的取值范 围是_. （2） 已 知函 数 ) ( 3 4 ) ( R a a x a x x f 有且仅 有3 个不同的 零点 3 2 1 , , x x x （ 3 2 1 x x x ）， 且 3 1 2 2 x x x ，则 a _. （3）（ 北京理14 ） 设函 数 1 ), 2 )(
14、( 4 1 , 2 ) ( x a x a x x a x f x ，若 ) (x f 恰有 两个 零点 ， 则实 数a 的取 值范围 是_. （4） 已知 函数 q x x x f 2 ) ( ，函数 ) ( ( x f f y 有且 仅有一 个零 点， 则q 等于_. 二、转化为两个函数 图象 交点问题 例9、（ 1）（ 2012 天津） 已 知函数 1 1 2 x x y 的图 像与 函数 2 kx y 的图 像恰有 两个 交点 ， 则 实 数k 的范 围是_. （2）（ 湖南理15 ） 已知 函 数 a x x a x x x f , , ) ( 2 3 ， 若 存在 实数b ， 使
15、函数 b x f x g ) ( ) ( 有两 个 零 点，则 实数a 的取 值范 围是_. （3 ） 函 数 ) 0 )( 1 ln( ) 0 ( 1 2 1 ) ( 2 x x x x x f ， 若函 数 kx x f x F ) ( ) ( 有且只 有两个 零点 ， 则k 的范围 是（ ） 、 A ) 1 , 0 (、 B ) 2 1 , 0 (、 C ) 1 , 2 1 (、 D ) , 1 ( 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 （4 ） 已知 函数 1 2 ) ( 2 t x x
16、 x t x f 有且 只有 一 个零点 ，则 实数t 的取 值范 围是（ ） 、 A 3 1 4 3 t t 或、 B 3 1 4 3 t t 或、 C 3 1 t、 D 3 4 3 t （5）（ 天津理14 ） 已知 函数 R x x x x f , 3 ) ( 2 .若方 程 0 1 ) ( x a x f 恰有四 个互 异的 实 根， 则实数a 的取 值范 围是_. （6）（ 江 苏 理 13 ） 已 知 函 数 ) (x f 是定义在R 上且周期为3 的函数，当 ) 3 , 0 x 时， 2 1 2 ) ( 2 x x x f .若函 数 a x f y ) ( 在区间 4 , 3
17、上有10 个零 点 （互不 相同 ） ， 则 实数 a 的取值 范围 是_. 三 、嵌套式函数中已 知函 数零点求参数的范围 例 10、（ 1） 已知函数 x x x x x f 1 1 ) ( ， 关于x 的 方程 0 ) ( ) ( 2 b x af x f （ R b a , ） 恰有6 个不同 的实 数解 ，则a 的取值 范围 是_. （2 ） 函数 0 , log , 0 , 1 ) ( 2 x x x ax x f ， 若函 数 1 ) ( ( x f f y 有 4 个 不同的 零点 ， 则实 数 a 的取 值范 围是_. （3 ） 函 数 0 , ln 0 , ) ( x x
18、x ae x f x ， 关 于x 的方程 0 ) ( ( x f f 有 且只有 一个 实数 解 ， 则a 的 范围是 （ ） 、 A ) 0 , ( 、 B ) 1 , 0 ( ) 0 , ( 、 C ) 1 , 0 (、 D ) , 1 ( ) 1 , 0 ( 长 垣 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 函数零点的应用 一、函数的零点与不 等式 的结合 例11、（ 1）（ 2012 福建理 ）实数a 和b ，定义 运算 “ ”： b a ab b b a ab a b a , , 2 2 ， 设
19、 ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( x x x f ，且 关于x 的方 程 ) ( ) ( R m m x f 恰有三 个互不 相等 的实 根 3 2 1 , , x x x ，则m 的范围 是_ ； 3 2 1 x x x 的范 围是_ ； 3 2 1 x x x 的范围 是_. （2）（ 2010 新课标 ） 已知 函数 10 , 6 2 1 10 0 , lg ) ( x x x x x f ，若 c b a , , 互不相 等， 且 ) ( ) ( ) ( c f b f a f ，则abc 的范 围是 （ ） 、 A ) 10 , 1 (、 B ) 6 , 5 (、 C ) 12
20、, 10 (、 D ) 24 , 20 ( （3）（ 2010 全国 ）函 数 x x f lg ) ( ，若 b a 0 且 ) ( ) ( b f a f ，则 b a 2 的范围 是（ ） 、 A ) , 2 2 ( 、 B ) , 2 2 、 C ) , 3 ( 、 D ) , 3 （4） 函数 d cx bx x x f 2 3 2 1 3 1 ) ( 在 ) 1 , 0 ( 内既有 极大 值 又有极 小值 ，则 ) 1 ( 2 b c c 的范 围是 （ ） A 、 ) 4 1 , 0 (B 、 4 1 , 0 (C 、 ) 16 1 , 0 (D 、 16 1 , 0 ( 长 垣
21、 一 中 学 生 课 堂 导 学 案 提 纲 编 号 ： 高 三 数学（2017.8.24 ） 编 写 人 ： 王 萍 序号006 二 、函数的零点与极 值、 最值的结合 例 12、（ 1 ） （ 新课标理II12 ） 设函 数 m x x f sin 3 ) ( .若存 在 ) (x f 的极值 点 0 x 满足 2 2 0 2 0 ) ( m x f x ，则实 数m 的取值 范围 是 （ ） 、 A ) , 6 ( ) 6 , ( 、 B ) , 4 ( ) 4 , ( 、 C ) , 2 ( ) 2 , ( 、 D ) , 1 ( ) 1 , ( （2）（ 安徽理10 ）若 函数 c
22、bx ax x x f 2 3 ) ( 有极值 点 1 x ， 2 x ，且 1 1 ) ( x x f ，则 关 于x 的 方程 0 ) ( 2 ) ( ( 3 2 b x af x f 的不同 实根 的个 数是 （ ） 、 A 3、 B 4、 C 5、 D 6 （3）（ 湖北理10 ） 已知a 为常 数， 函 数 ) (ln ) ( ax x x x f 有两个 极值 点 2 1 ,x x ) ( 2 1 x x ，则（ ） 、 A 2 1 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f、 B 2 1 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f 、 C 2 1 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f、 D 2 1 ) ( , 0 ) ( 2 1 x f x f
