1、突破点 5 数列的通项与求和核心知识提炼提炼 1 an与 Sn的关系若 an为数列 an的通项， Sn为其前 n项和，则有 anError!在使用这个关系式时，一定要注意区分 n1， n2 两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼 2 求数列通项常用的方法(1)定义法：形如 an1 an c(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1 kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如 an1 an f(n)，利用 an a1( a2 a1)( a3 a2)( an an1 )，求其通项公式(3)叠乘法：形如 f(n)0，利用 an a1
2、 ，求其通项公式an 1an a2a1 a3a2 anan 1(4)待定系数法：形如 an1 pan q(其中 p， q均为常数， pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为 an1 t p(an t)，其中 t ，再转化为等比数列求解q1 p(5)构造法：形如 an1 pan qn(其中 p， q均为常数， pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以 qn1 ，得 ，构造新数列 bn ，得 bn1 bn ，an 1qn 1 pq anqn 1q (其 中 bn anqn) pq 1q接下来用待定系数法求解.提炼 3 数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(
3、拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法高考真题回访回访 1 an与 an1 的关系1(2014全国卷)数列 an满足 an1 ， a82，则 a1_.11 an an1 ，12 11 an an1 11 an 11 11 an 1 1 an 11 an 1 1 1 1 1(1 an2 ) an2 ，1 an 1 an 1 1an 1 111 an 2周期 T( n1)( n2)3. a8 a322 a22.而 a2 ， a1 .11 a1 12回访 2 数列求和2(2012全国卷)数列 an满足 an1 (1) nan2 n1，则 an
4、的前 60项和为( )A3 690 B3 660 C1 845 D1 830D an1 (1) nan2 n1， a21 a1， a32 a1， a47 a1，a5 a1， a69 a1， a72 a1， a815 a1， a9 a1， a1017 a1， a112 a1， a1223a1，a57 a1， a58113 a1， a592 a1， a60119 a1， a1 a2 a60( a1 a2 a3 a4)( a5 a6 a7 a8)( a57 a58 a59 a60)102642234 1 830.15 10 23423(2013全国卷改编)已知等差数列 an的前 n项和 Sn满足 S
5、30， S55.则(1)an的通项公式为_；(2)数列 的前 n项和为_1a2n 1a2n 1(1)an2 n (2) (1)设 an的公差为 d，则 Sn na1 d.n1 2n n n 12由已知可得Error!解得Error!故 an的通项公式为 an2 n.(2)由(1)知 1a2n 1a2n 1 1 3 2n 1 2n ，12( 12n 3 12n 1)从而数列 的前 n项和为1a2n 1a2n 1 .12(1 1 11 11 13 12n 3 12n 1) n1 2n4(2014全国卷改编)已知 an是递增的等差数列， a2， a4是方程 x25 x60 的根，则(1)an的通项公
6、式为_；(2)数列 的前 n项和为_an2n(1)an n1 (2)2 (1)方程 x25 x60 的两根为 2,3，由题意得12 n 42n 1a22， a43.设数列 an的公差为 d，则 a4 a22 d，故 d ，12从而 a1 .32所以 an的通项公式为 an n1.12(2)设 的前 n项和为 Sn，an2n由(1)知 ，则an2n n 22n 1Sn ，322 423 n 12n n 22n 1Sn .12 323 424 n 12n 1 n 22n 2两式相减得Sn 12 34 (123 12n 1) n 22n 2 .34 14(1 12n 1) n 22n 2所以 Sn2
7、 .n 42n 1热点题型 1 数列中 an与 Sn的关系数列中的 an与 Sn的关系题型分析：以数列中 an与 Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力【例 1】(1)(2017郑州模拟)设数列 an的前 n项和为 Sn.若 S24， an1 2 Sn1， nN *，则a1_， S5_.1 121 由Error!解得 a11， a23，当 n2 时，由已知可得：an1 2 Sn1，an2 Sn1 1，得 an1 an2 an， an1 3 an.又 a23 a1， an是首项为 1，公比为 3的等比数列 Sn (3n1)， S5121.12(2)数列 an中， a1
8、1， Sn为数列 an的前 n项和，且满足 1( n2)求数列 an的2ananSn S2n通项公式【导学号：04024060】解 由已知，当 n2 时， 1，2ananSn S2n所以 1， 2分2 Sn Sn 1 Sn Sn 1 Sn S2n即 1，2 Sn Sn 1 Sn 1Sn所以 4分1Sn 1Sn 1 12又 S1 a11，所以数列 是首项为 1，公差为 的等差数列， 6分1Sn 12所以 1 (n1) ，1Sn 12 n 12即 Sn 8分2n 1所以当 n2 时， an Sn Sn1 10分2n 1 2n 2n n 1因此 anError! 12分方法指津给出 Sn与 an的递
9、推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn Sn1 an(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n之间的关系，再求an.提醒：在利用 an Sn Sn1 (n2)求通项公式时，务必验证 n1 时的情形变式训练 1 (1)已知数列 an前 n项和为 Sn，若 Sn2 an2 n ，则 Sn_.(2)已知数列 an的各项均为正数，其前 n项和为 Sn，且 2Sn23 an(nN *)，则an_.(1)n2n(nN *) (2)23 n1 (nN *) (1)由 Sn2 an2 n得当 n1 时， S1 a12；当n2 时， Sn2( Sn Sn1
10、 )2 n，即 1，所以数列 是首项为 1，公差为 1的Sn2n Sn 12n 1 Sn2n等差数列，则 n， Sn n2n(n2)，当 n1 时，也符合上式，所以Sn2nSn n2n(nN *)(2)因为 2Sn23 an，所以 2Sn1 23 an1 ，由，得 2Sn1 2 Sn3 an1 3 an，所以 2an1 3 an1 3 an，即 3.an 1an当 n1 时，22 S13 a1，所以 a12，所以数列 an是首项为 2，公比为 3的等比数列，所以 an23 n1 (nN *)热点题型 2 裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和
11、的方法，主要适用于 或 (其中 an为等差数列)等形式的数列求和1anan 1 1anan 2【例 2】 已知等差数列 an的公差 d0，它的前 n项和为 Sn，若 S570，且 a2， a7， a22成等比数列，(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 的前 n项和为 Tn，求证： Tn .1Sn 16 38解 (1)由已知及等差数列的性质得 S55 a3， a314， 1分又 a2， a7， a22成等比数列，所以 a a2a22 2分27所以( a16 d)2( a1 d)(a121 d)且 d0，解得 a1 d， a16， d4 4分32故数列 an的通项公式为 an4 n2， nN
12、 * 6分(2)证明：由(1)得 Sn 2 n24 n， ，8 分n a1 an2 1Sn 12n2 4n 14(1n 1n 2) Tn14(1 13 12 14 1n 1n 2) 10分38 14( 1n 1 1n 2)又 Tn T1 ，38 14(12 13) 16所以 Tn 12分16 38方法指津裂项相消法的基本思想就是把通项 an分拆成 an bn k bn(k1， kN *)的形式，常见的裂项方式有：(1) ；1n n k 1k(1n 1n k)(2) ；1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) ( )1n n k 1k n k n提醒：在裂项变形时，务必注意
13、裂项前的系数变式训练 2 (名师押题)已知数列 an是递增的等比数列，且 a1 a49， a2a38.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Sn为数列 an的前 n项和， bn ，求数列 bn的前 n项和 Tn. an 1SnSn 1【导学号：04024061】解 (1)由题设知 a1a4 a2a38， 2分又 a1 a49，可得Error!或Error!(舍去) 4分由 a4 a1q3得公比 q2，故 an a1qn1 2 n1 6分(2)Sn 2 n1 8分a1 1 qn1 q又 bn ， 10分an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1所以 Tn b1 b2
14、bn 1(1S1 1S2) (1S2 1S3) (1Sn 1Sn 1) 1S1 1Sn 1 12分12n 1 1热点题型 3 错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有 1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练【例 3】 设等差数列 an的公差为 d，前 n项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知b1 a1， b22， q d， S10100.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn.anbn解 (1)由题意有Error!即Error! 2分解得Er
15、ror!或Error! 4分故Error!或Error! 6分(2)由 d1，知 an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，于是 Tn1 2n 12n 1 32 522 723 924，2n 12n 1Tn . 8分12 12 322 523 724 925 2n 12n可得Tn2 3 ， 10分12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n故 Tn6 12分2n 32n 1方法指津运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列 an， bn中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘公比，再把前 n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减
16、时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心提醒：为保证结果正确，可对得到的和取 n1,2 进行验证变式训练 3 已知在公比大于 1的等比数列 an中， a2， a4是函数 f(x)( x2)( x8)的两个零点(1)求数列 an 的通项公式；(2)求数列2 nan的前 n项和 Sn. 【导学号：04024062】解 (1)因为 a2， a4是函数 f(x)( x2)( x8)的两个零点，且等比数列 an的公比 q大于 1，所以 a22， a48， 2分所以 q2，所以数列 an的通项公式为 an2 n1 (nN *) 6分(2)由(1)知 2nan n2n ，所以 Sn1222 2 n2n， 7分2Sn12 222 3( n1)2 n n2n1 ， 8分由，得 Sn22 22 32 n n2n1 n2n1 ，11 分2 2n21 2所以 Sn2( n1)2 n1 (nN *) 12分
