1、专题限时集训(八) 空间几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第 93 页)(限时：40 分钟)题型 1 几何体的三视图、表面积和体积 2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19题型 2 球与几何体的切接问题 1,7,8,9,10,12,13,18,20一、选择题1一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图 812 所示，图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是( )图 812A B3C4 D6B 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 ，3此四面体的外接球的表面积
2、为 4 3，故选 B.(32)2 2(2017惠州三调)某四棱锥的三视图如图 813 所示，该四棱锥最 长棱的棱长为( ) 【导学号：07804060】图 813A1 B 2C. D23C 四棱锥的直观图如图所示， PC平面 ABCD， PC1，底 面四边形 ABCD 为正方形且边长为 1，故最长棱 PA 12 12 12 .33(2017沈阳一模)已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的不同点， SA平面ABC， AB BC， AB1， BC ，若球 O 的表面积为 4，则 SA( )2A. B122C. D232B 根据已知把 SABC 补成如图所示的长方体因为球 O 的表面积为 4
3、，所以球 O 的半径 R1,2 R 2，解得SA2 1 2SA1，故选 B.4(2017广州一模)如图 814，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )83图 814A BC DD 由题意可得该几何体可能为四棱锥 ，如图所示，其高为 2，其底面为正方形，面积为 224，因为该几何体的体积为 4213，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形 .选 D.835(2017江西五校联考)如图 815 是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )图 8
4、15A. 1 B 33 33 13C. D 133 33A 由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 V 圆柱 r2h.正三棱柱底面三角形的高为 3r，边长为 2 r，则 V 正三棱柱3 2 r3rh3 r2h，所以该几何体的体积 V(3 ) r2h，则该几何体的体积与12 3 3 3挖去的圆柱的体积的比值为 1. 33 r2h r2h 336(2017郑州第一次质量检测)某几何体的三视图如图 816 所示，则该几何体的体积为( )图 816A80 B160C240 D480B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱 ABCA B C中截去一个三棱锥 AA B C
5、后所剩余的部分，其中底面 ABC 是直角三角形， AC AB， AC6， AB8， BB10，因此题中的几何体的体积为10 (1268) 13 (1268)10 2310160，选 B.(1268)7(2017南昌十校二模联考)三棱锥 PABC 的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面5003ABC 所在的小圆面积为 16，则该三棱锥的高的最大值为( )A4 B6C8 D10C 依题意，设题中球的球心为 O、半径 R， ABC 的外接圆半径为 r，则 ，解得 R5，由 r216，解得 r4，又球心 O 到平面 ABC 的距离为4 R33 50033，因此三棱锥 PABC 的高的最大值为 538
6、，选 C.R2 r28(2017兰州实战模拟)某几何体的三视图如图 817 所示，则下列说法正确的是( ) 【导学号：07804061】图 817该几何体的体积为 ；16该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为 ；32 3该几何体外接球的表面积为 3.A BC DB 根据该几何体的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，其底面为一个直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为1，它的另外三条棱长均为 ，显然其是一个正三棱锥，正确；2该几何体的体积 V 111 ，正确；该几何体的表13 12 16面积 S3 11 ，错误；该几何体外接球的直径为 2R12 12 2 2 32 32 32 ，所以其外接
7、球的表面积为 4 R23，正确故选 B.12 12 12 39(2017广州高中毕业班综合测试)如图 818，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是( )图 818A25 B 254C29 D 294D 由俯视图，可得该三棱锥底面外接圆的半径 r ，54三棱锥的外接球的半径 R ，三棱锥的外接球的表面积 S4 R2294.29410(2017石家庄、唐山联考)已知三棱锥 PABC 的顶点都在同一个球面上(球 O)，且PA2， PB PC ，当三棱锥 PABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球6O 的体积的比值是( )A. B316
8、 38C. D116 18A 三棱锥 PABC 的三个侧面的面积之和为 2 sin APB 2 sin APC 12 6 12 6 12 sin BPC，由于 APB， APC， BPC 相互之间没有影响，所以只有当上述三个角6 6均为直角时，三棱锥 PABC 的三个侧面的面积之和最大，此时 PA， PB， PC 两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥 PABC 与该长方体有共同的外接球，故球 O 的半径 r 2，所以三棱锥 PABC 的体积与球 O 的体积1222 6 2 6 2的比值是 .131226643 23 31611从点 P 出发的三条射线 PA， PB， PC
9、两两成 60角，且分别与球 O 相切于 A， B， C 三点，若OP ，则球的体积为( )3A. B 3 23C. D43 83C 设 OP 交平面 ABC 于 O，由题得 ABC 和 PAB 为正三角形，所以 O A AB AP.33 33因为 AO PO， OA PA，所以 ， ， ，OPOA APAO AOAB 33 AOAP 33所以 OA 1，OPO AAP 3 33即球的半径为 1，所以其体积为 1 3 .选 C.43 4312(2017开封模拟)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3， AC1， BAC60， AA12，则该三棱柱的外接球的体
10、积为( )A. B403 403027C. D203203027B 如图，设 A1B1C1的外心为 O1， ABC 的外心为 O2，连接 O1O2， OB， O2B.由题意可得，球心 O 为 O1O2的中点在 ABC 中，由余弦定理可得BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC3 21 2231cos 607，所以 BC .7由正弦定理可得， ABC 外接圆的直径 2r2 O2B ，所以 r .BCsin 60273 73 213而球心 O 到截面 ABC 的距离 d OO2 BB11，12设直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的半径为 R，由球的截面的性质可得R2 r2 d2 1 2 ，
11、(213)2 103所以球的体积为 V R3 .故选 B.43 40302713(2017惠州模拟)已知一个平放的棱长为 4 的三棱锥内有一小球 O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该78三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于( ) 【导学号：07804062】A. B 76 43C. D 23 12C 由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的 ，18正四面体的各棱长均为 4，正四面体体积为 42 ，13 34 16 163 1623没有水的部分的体积是 ，223设其棱长为 a，则 a2 a ，13 34 63
12、 223 a2，设小球的半径为 r，则 4 22r ，13 34 223 r ，66球的表面积 S4 .16 23故选 C.14(2017宁德三模)已知正 ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是( )图 819A. B274C. D394C 设正 ABC 的中心为 O1，连接 O1A， O1O， O1E， OE(图略)， O1是正 ABC 的中心， A， B， C 三点都在球面上， O1O平面 ABC，球的半径 R2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，得 O1O1，R
13、t O1OA 中， O1A ，OA2 OO21 3又 E 为 AB 的中点， ABC 是等边三角形， AE AO1cos 30 .32过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径 r ，32可得截面面积为 S r2 .故选 C.94二、填空题15(2017郑州二模)正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为_如图，四面体 ABCD 的所有棱均为正方体的面对角线，设3正方体的棱长为 a，则正方体的表面积为 6a2，正四面体的棱长均为 a，其表面积为 4 a a2
14、a2，则212 2 32 2 3 .6a223a2 316(2017南昌一模)如图 820，直角梯形 ABCD 中， AD DC， AD BC， BC2 CD2 AD2，若将该直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_图 820( 3) 根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面2半径为 1，高为 1)，下半部分为圆柱(底面半径为 1，高为 1)，如图所示则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为1 21 21 2( 3).12 12 217(2017武汉 4 月模拟)在四面体 PABC 中， PA PB PC BC1，则该四面体体积的最大
15、值为_由题意知， PBC 的面积为定值，如图，当 PA 垂直于平312面 PBC 时，该四面体的体积最大， Vmax 1 .13 34 31218(2017山东日照一模)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_. 【导学号：07804063】设球的半径为 R，正方体的棱长为 a.由题意得当正方体体积最大时，63a2 R2， R a，所得工件体积与原料体积之比的最大值为 (22a)2 62 a31243 R3 .6319(2016宁夏银川一中月考)已知 E、 F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AA1， CC1的中
16、点，则四棱锥 C1B1EDF 的体积为_. 【导学号：07804064】a3 法一：(直接法)如图所示，连接 A1C1， B1D1交于点16 O1，连接 B1D， EF，过 O1作 O1H B1D 于 H.因为 EF A1C1，且 A1C1平面 B1EDF， EF平面 B1EDF，所以 A1C1平面 B1EDF.所以 C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离易知平面 B1D1D平面 B1EDF，又平面 B1D1D平面 B1EDF B1D，所以 O1H平面 B1EDF，所以 O1H 等于四棱锥 C1B1EDF 的高因为 B1O1H B1DD1，所以 O1H a.B1
17、O1DD1B1D 66所以 VC1B1EDF S 四边形13B1EDFO1H EFB1DO1H a a a a3.13 12 13 12 2 3 66 16法二：(体积分割法)连接 EF， B1D.设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1， D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1 h2 B1D1 a.2由题意得， VC1B1EDF VB1C1EF VDC1EF S C1EF(h1 h2) a3.13 1620(2017江西五校联考)已知在三棱锥 SABC 中， SA SB SC ， BC6，若点 A 在侧面21SBC 内的射影恰是 SBC 的垂心，则三棱锥 SABC 的内切球的体积为_
18、 因为点 A 在侧面 SBC 内的射影恰是 SBC 的垂心，记为 O，连接 AO， SO(图略)，则43AO平面 SBC， SO BC，所以 AO BC，又 SO AO O，所以 BC平面 SAO，所以SA BC，同理得 SB AC， SC AB.记点 S 在平面 ABC 内的射影为 O，连接SO， AO， BO， CO(图略)，则 SO平面 ABC，所以 SO AC，又SB AC， SO SB S，所以 AC平面 SBO， BO AC，同理得 AO BC， CO AB，则点 S 在平面 ABC 内的射影为 ABC 的垂心又 SA SB SC ，则点 S 在平面 ABC 内21的射影为 ABC 的外心，从而 AB BC CA6， SO 3，故 VSABC9 ，在 SBC3中， BC 边上的高为 2 ，三棱锥的表面积 SSABC27 .设三棱锥 SABC 的内切球半3 3径为 r，则 VSABC rSSABC，13得 r1，因此所求内切球的体积为 .43
