1、第四单元 三角形第二十一课时 锐角三角形函数及其应用长沙 9 年中考 (2009 2017)命题点 1 解直角三角形的实际应用(9 年 6 考)类型一 解一个直角三角形1(2015 长沙 11 题 3 分)如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为 ，则树 OA 的高度为( )第 1 题图A. 米30tanB. 30sin 米C. 30tan 米D. 30cos 米2(2009 长沙 19 题 6 分)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们在河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在它的正西方向，
2、然后从 A 点出发沿河岸向正北方向行进 550 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的 南偏西 60方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？(结果保留整数，参考数据： 1.414， 1.732)2 3第 2 题图3. (2017 长沙 22 题 8 分)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上(1)求APB 的度数；(2)已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航
3、行是否安全？第 3 题图类型二 解两个直角三角形4(2016 长沙 11 题 3 分)如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A与楼的水平距离为 120 m，这栋楼的高度为( )A. 160 m B. 120 m3 3C. 300 m D. 160 m2第 4 题图5(2010 长沙 19 题 6 分)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)已知立杆 AB 高度是 3 m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45，求路况显示
4、牌 BC 的高度第 5 题图类型三 与特殊四边形结合6(2011 长沙 24 题 9 分)如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成 37角的楼梯 AD、BE 和一段水平平台DE 构成已知天桥高度 BC4.8 米，引桥水平跨度 AC8 米(1)求水平平台 DE 的长度；(2)若与地面垂直的平台立柱 MN 的高度为 3 米，求两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比(参考数据：取 sin370.60，cos370.80，tan 370.75)第 6 题图考情导向7(2017 张家界) 位于张家界核心景区内的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体 AD 和底座 CD
5、 两部分组成如图，在 RtABC 中，ABC70.5，在 RtDBC 中，DBC45，且 CD2.3 米，求像体 AD的高度(最后结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824)第 7 题图8(2013 岳阳) 某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角ABC45 ，坡长 AB2 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯 AD，使ADC30. (1)求舞台的高 AC(结果保留根号 )；(2)在楼梯口 B 左侧正前方距离舞台底部 C 点 3 m 处有一株大树，修
6、新楼梯AD 时底端 D 是否会触到大树？并说明理由. 第 8 题图9(2016 邵阳) 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40 cm，与水平面所形成的夹角OAM 为 75.由光源 O 射出的边缘光线OC，OB 与水平面所形成的夹角OCA，OBA 分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC.(不考虑其他因素，结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin750.97，cos750.26， 1.73)3第 9 题图10(2017 衡阳) 衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内如图，为了测量来雁塔的高度，在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的
7、仰角为 30，再向塔身前进 10.4 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60，求来雁塔的高度(结果精确到 0.1 米)第 10 题图11(2015 岳阳) 如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为 BE，椅脚高为 ED，且 ACBE ，ACCD，AC ED.从点A 测得点 D、E 的俯角分别为 64和 53.已知 ED 35 cm，求椅子高 AC 约为多少？(参考数据：tan53 ，sin53 ，tan642，sin64 )43 45 910第 11 题图12(2016 常德) 南海是我国的南大门如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在 A 处测得北偏
8、东 30方向上，距离为 20 海里的 B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东 75的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在 C 处成功拦截不明船只问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos750.2588，sin750.9659，tan753.732， 1.732， 1.414)3 2第 12 题图答案1C 【解析】根据已知条件，在 RtABO 中， tanABO ，且AOBOBO30 米， ABO ， AO30tan 米2解：由题意得，在 RtABC 中，BAC90， ACB60，AC550( 米) ，ABAC tanACB
9、550 952.6953(米)(4 分)3答：他们测得的湘江宽度约为 953 米(6 分)3. 解：(1)根据题意可知，PAB906030，ABP9030120，APB 1803012030 ；(3 分)(2)如解图，过点 P 作 PCAE 于点 C，第 3 题解图APB 30PAB，ABBP，海监船以每小时 50 海里的速度航行 1 小时从 A 处到达 B 处，ABPB50(海里) ，(5 分)PBA 120，PBC60，PCPB sinPBC 50 sin6025 (海里)，325 25，3海监船不在灯塔 P 的周围 25 海里之内，答：海监船继续向正东方向航行安全(8 分)第 4 题解图
10、4A 【解析】如解图，作 ADBC 交 BC 于点 D，AD120 m，BAD 30，CAD60，则 BDADtanBAD 120tan3040 3m，CDADtanCAD120tan60120 m，BCBD CD160 m.3 35解：在 RtABD 中， BDA 45 ，AB 3 m ，AD 3 m，(2 分)在 RtADC 中，CDA60，tan60 ，CAADCA3 m，(4 分)3BCCAAB(3 3) m，3答：路况显示牌 BC 的高度为(3 3) m(6 分)36解：(1)如解图，延长线段 BE，与 AC 相交于点 F，第 6 题解图AD BF，DEAC，四边形 AFED 是平行
11、四边形，(2 分)DE AF，BFCA37 ，在 RtBCF 中，tanBFCtan37 ，BCFCCF 6.4(米)，(4 分)BCtan37 4.80.75DE AFACCF86.41.6(米) ，答：水平平台 DE 的长度为 1.6 米；(5 分)(2)如解图，延长线段 DE，交 BC 于点 G，DGAC，BGM C90，四边形 MNCG 是矩形，(7 分)CGMN3(米)，BC4.8(米) ，BG BCCG1.8(米)，DGAC，BEG BFC， ， (8 分)BEBF EGFC BGBC 1.84.8 38 ，EFBE 53AD EF， ，ADBE 53答：两段楼梯 AD 与 BE
12、的长度之比为 53.(9 分)7. 解：在 RtBCD 中，CBD45，BCCD 2.3.在 RtABC 中，ABC 70.5，则 ACBC tanABC2.3 tan70.56.5，AD ACCD6.52.34.2.答：像体 AD 的高度为 4.2 米8. 解：(1)在 RtABC 中，AB 2，ABC45，ACAB sinAB C2 sin45 .2答：舞台的高为 m；2(2)在 RtACD 中，ADC30，DAC60 ，CDAC tanDAC tan60 .2 6 3，6修新楼梯 AD 时底端 D 不会触到大树9. 解：在 RtOBC 中，OCBC tanOBC，且 tanOBCtan3
13、0 ，33OC BC，33在 RtAOC 中，OCOAsinOAC，且 sinOAC sin75 ，OC40sin75 ， BC40sin75 ，33BC 40 sin75 67.1 cm.40sin7533 3答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为 67.1 cm.10. 解：如解图，依题意得：CDED，BFED，AEED，AGCD (设垂足为 G)，设 CG 为 x 米，可得 CDCGGD(x1.5)米，第 10 题解图在 RtCBG 中，tanCBG ，CGBGC BG60 ，BG ，x3在 RtCAG 中，tanCAG ，CAG30，CGAGAG x，3x3 3AB x 10.4，3x
14、3解得：x ，265 3CD 1.510.5(米)265 3答：来雁塔的高度约为 10.5 米11. 解：ACBE，ACCD，BECD，ACDE，四边形 BCDE 是矩形，BCDE，BE CD ，ACDABE 90.在 RtABE 中，AEB53，BE ，ABtanAEB AC BCtan53 AC 3543在 RtACD 中，ADC64，CD ，ACtanADC ACtan64AC2 ，AC2 3（AC 35）4解得 AC105 cm.答：椅子高 AC 约为 105 cm.12. 解：如解图，作 ADBC 交 CB 延长线于 D，第 12 题解图在 RtABD 中， DAB 30，cosBAD ，ADABAD ABcos3020 10 (海里)，32 3在 RtADC 中，DAC75，cosDAC ，ADACAC 67(海里) ADcosDAC 103cos75 101.7320.2588答：我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约 67 海里
