1、跟踪强化训练( 十八) 一、选择题1在数列a n中，a 11，对于所有的 n2，nN 都有a1a2a3ann 2，则 a3a 5( )A. B. C. D.6116 259 2516 3115解析 解法一：令 n 2,3,4,5，分别求出a3 ，a5 ，a3a 5 ，故选 A.94 2516 6116解法二：当 n2 时，a 1a2a3ann 2.当 n3 时，a1a2a3an1 ( n1) 2.两式相除得 an 2，a3 ，a5 ，a3a 5 ，故选 A.(nn 1) 94 2516 6116答案 A2已知 a11，a nn(a n1 a n)(nN *)，则数列a n的通项公式是 an(
2、)An B. n1(n 1n )C n2 D2n1解析 由 ann(a n1 a n)，得 ，所以数列 为常数an 1n 1 ann ann列，所以 1，所以 ann，故选 A.ann an 1n 1 a11答案 A3已知数列a n满足 a12，a n1 (nN *)，则1 an1 ana1a2a3a2017( )A6 B6 C 2 D2解析 a12， an1 ，a2 3，同理，1 an1 an 1 21 2a3 ，a4 ，a52 ，an4 a n，a1a2a3a41，a 1a2a3a201712 13(a 1a2a3a4)504a11 22.故选 D.答案 D4(2017衡水中学二调) 已知
3、 Sn是数列a n的前 n 项和，a11，a 22，a 33，数列a na n1 a n2 是公差为 2 的等差数列，则 S25( )A232 B233 C 234 D235解析 数列a na n1 a n2 是公差为 2 的等差数列，an3 a n( an1 a n2 a n3 )(a na n1 an2 )2，a 1，a4，a7，是首项为 1，公差为 2 的等差数列，a 2，a5，a8，是首项为 2，公差 为2 的等差数列，a 3，a6，a9，是首项为 3，公差 为 2 的等差数列，S25 (a1 a4a 7a 25)(a 2a 5a 8 a 23)(a 3 a6 a9a 24)91 82
4、 83 9822 8722 8722233，故选 B.答案 B5(2017郑州模拟 )已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是( )A若 a30，则 a20130，则 a20140，则 S20130D若 a40，则 S20140解析 根据等比数列的通项公式得a2013a 1q2012a 3q2010，a2014a 1q2013a 4q2010，易知 A，B 错误对于选项 C，因为 a3a 1q20，所以 a10，当 q0 时，任意 an0，故有S20130；当 q0，C 正确对于选项a11 q20131 qD，可列举公比 q1 的等比数列1，1， 1,1，显然满足 a40，
5、但 S20140，故 D 错误故选 C.答案 C6(2017山西大同模拟) 已知数列a n的通项公式为 an( 1)n(2n 1)cos 1( n N*)，其前 n 项和为 Sn，则 S60( )n2A30 B60 C90 D120解析 由题 意可得，当 n4k3( kN*)时，a na 4k3 1；当n4k 2(k N*)时， ana 4k2 68k；当 n4k 1( kN*)时，ana 4k1 1；当 n4k(k N*)时，ana 4k8k.a 4k3 a 4k2 a 4k1 a 4k8，S60815120.答案 D二、填空题7已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 log2(Sn1
6、)n1(n N*)，则 an_.解析 由已知可得 Sn12 n1 ，则 Sn2 n1 1.当 n1 时，a1S 13，当 n2 时，a nS nS n1 2 n1 12 n12 n，因为n1 时不满足 an2 n，故 anError!答案 Error!8(2017河南新乡三模) 若数列a n1 a n是等比数列，且a11，a 22，a 35，则 an_.解析 a2a 11， a3a 23， q3，an1 a n3 n1 ，ana 1a 2a 1a 3a 2a n1 a n2 a na n1 133 n2 ，1 3n 11 3a11， an .3n 1 12答案 3n 1 129(2017安徽省
7、淮北一中高三最后一卷改编)若数列a n满足 d( nN *，d 为常数)，则称数列 an为“调和数列” ，已1an 1 1an知正项数列 为“调和数列” ，且 b1b 2b 201920190，则1bnb2b2018 的最大值是_解析 因为 数列 是“调和数列” ，所以 bn1 b nd，1bn即数列b n是等差数列，所以b1b 2b 2019 20190，2019b1 b20192 2019b2 b20182所以 b2b 201820.又 0，所以 b20，b20180，1bn所以 b2b 2018202 ，b2b2018即 b2b2018100(当且仅当 b2b 2018时等号成立) ，因
8、此 b2b2018 的最大值为 100.答案 100三、解答题10(2017 郑州质检)已知数列a n的首项 a11，前 n 项和 Sn，且数列 是公差为 2 的等差数列Snn(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知条件得 1(n1)22n1，SnnSn2n 2n.当 n2 时，a nS nS n1 2n 2n2(n1) 2( n1)4n3.当 n1 时，a 1S 11，而 4131， an 4n3.(2)由(1)可得 bn( 1) nan(1) n(4n3)，当 n 为偶数时，Tn15 913 17(4n3)4 2n，n2
9、当 n 为奇数时，n1 为偶数，TnT n1 b n1 2(n 1)(4n1)2n1.综上，T nError!11(2017 北京海淀模拟) 数列a n的前 n 项和 Sn满足Sn2a na 1，且 a1，a 21，a 3 成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.an 1SnSn 1解 (1)Sn2a na 1，当 n2 时，S n1 2a n1 a 1，an2a n2a n1 ，化 为 an2a n1 .由 a1，a21， a3 成等差数列得， 2(a21)a 1a 3，2(2a11)a 14a 1，解得 a12.数列 an是等比数列，首项
10、为 2，公比 为 2.an2 n.(2)an1 2 n1 ，Sn 2 n1 2， Sn1 2 n2 2.22n 12 1bn .an 1SnSn 1 2n 12n 1 22n 2 2 12( 12n 1 12n 1 1)数列 bn的前 n 项和Tn12( 12 1 122 1) ( 122 1 123 1) ( 12n 1 12n 1 1) .12(1 12n 1 1)12.(2017山东卷 )已知x n是各项均为正数的等比数列，且x1x 23，x 3x 22.(1)求数列 xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1,1)，P2(x2,2)， ，P n1
11、(xn 1，n1) 得到折线 P1P2Pn1 ，求由该折线与直线 y0， xx 1，x x n1 所围成的区域的面积 Tn.解 (1)设 数列x n的公比为 q，由已知知 q0.由题意得Error!所以 3q25q20.因为 q0，所以 q2，x 11.因此数列x n的通项公式 为 xn2 n1 .(2)过 P1，P2，Pn1 向 x 轴作垂线，垂足分 别为Q1，Q2，Qn1 .由(1)得 xn 1x n2 n2 n1 2 n1 ，记梯形 PnPn1 Qn1 Qn的面积为 bn，由题意 bn 2n1 (2 n1)2 n2 ，n n 12所以 Tnb 1b 2 bn32 1 52 072 1(2n1)2 n3 (2n1)2n2 ，2Tn32 052 17 22(2n1)2 n2 (2 n1)2n1 .得T n32 1 (2 2 22 n1 )(2n1)2 n1 32(2n1) 2n1 .21 2n 11 2所以 Tn .2n 12n 12
