1、1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数
2、学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例 1 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I Asin(t ).(1)如图所示的是 I Asin(t )( 0，| |0)，1150 2 1150 300942，又 N *，故所求最小正整数 943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语
3、言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练 1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移 S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S6sin(2 t ). 6(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即 t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解 (1)周期 T 1(s).22列表：t 0 16 512 23 1112 12 t 6 6 2322 2 66sin(2 t) 6 3 6 0 6 0 3描点画图：(2)小球开始摆动(即 t0)，离开平衡
4、位置为 3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm.小球来回摆动一次需要 1 s(即周期).类型二 三角函数模型在生活中的应用例 2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米，直径长是 98 米，匀速旋转一圈需要 18 分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？692(2)当此人距离地面不低于(59 )米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有492 3多少分钟可以看到游乐园的全貌？解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮 t 分钟时距地面 y 米，则 t t. 218 9由 y108 cos t982
5、 982 949cos t59( t0). 9令49cos t59 ，得 cos t ， 9 692 9 12 t2 k ， 9 3故 t18 k3， kZ，故 t3，15，21，33.故当此人第四次距离地面 米时用了 33 分钟.692(2)由题意得49cos t5959 ， 9 492 3即 cos t . 9 32故不妨在第一个周期内求即可，所以 t ，解得 t ，56 9 76 152 212故 3.212 152因此摩天轮旋转一圈中有 3 分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；
6、(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练 2 如图所示，一个摩天轮半径为 10 m，轮子的底部在距离地面 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m.解 (1)设在 t s 时，摩天轮上某人在高 h m 处.这时此人
7、所转过的角为 t t，故在230 15t s 时，此人相对于地面的高度为 h10sin t12( t0).15(2)由 10sin t1217，得 sin t ，15 15 12则 t .52 252故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.1.一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间 t(s)的函数关系式为 s3cos ，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的(glt 3)周期是 1 s 时，线长 l_ cm.答案 g4 2解析 T 1， 2， l .2 gl gl g4 22.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系
8、可近似地用三角函数 y a Acos(x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28，12 月份 6x 6的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温为_.答案 20.5解析 由题意可知 A 5， a 23，从而 y5cos 23.故 10 月份28 182 28 182 6x 6的平均气温值为y5cos 2320.5.( 64)3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为 (rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时 为正角，左侧时 为负角. 作为时间 t(s)的函数，近似满足关系式 Asin(t )，其中 0.已知小球在初始位置(即 t0)时， ，且每经过
9、s 2 3小球回到初始位置，那么 A_； 关于 t 的函数解析式是_.答案 sin(2t )， t0，) 3 3 2解析 当 t0 时， ， 3 Asin ， A . 3 2 3又周期 T， ，解得 2.2故所求的函数解析式是 sin(2t )， t0，). 3 24.某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin( t )， t0，24).12 3(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为 f(t)102sin( t )，12 3又 0 t11 时实验室需要降温.由(1)得 f
10、(t)102sin( t )，12 3故有 102sin( t )11，12 3即 sin( t )0， 0， | | 时， BON ， h OA BN3030sin( 6 6 2 2)，当 00， 0)的图象如图所示， 6则当 t 秒时，电流强度是_安. 150答案 5解析 由图象可知 A10，周期 T2( ) ，4300 1300 150 100， I10sin(100 t )，2T 6当 t 秒时， I10sin(2 )5(安).150 69.设某人的血压满足函数式 p(t)11525sin(160 t)，其中 p(t)为血压(mmHg)， t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是
11、_.答案 80解析 T (分)， f 80(次/分).2160 180 1T10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(m)在某天 024 时的变化情况，则水面高度 h 关于时间 t 的函数解析式为_.答案 h6sin t， t0，24 6解析 根据题图设 h Asin(t )，则 A6， T12， 12， .点(6，0)为2 6“五点”作图法中的第一点， 6 0， ， h6sin( t)6sin 6 6t， t0，24. 611.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t0时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A、 B
12、两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数，则d_，其中 t0，60.答案 10sin t60解析 将解析式可写为 d Asin(t )的形式，由题意易知 A10，当 t0 时， d0，得 0；当 t30 时， d10，可得 ，所以 d10sin .60 t6012.设偶函数 f(x) Asin(x )(A0， 0，0 )的部分图象如图所示， KLM 为等腰直角三角形， KML90， KL1，则 f( )的值为_.16答案 34解析 取 K， L 的中点 N，则 MN ，12因此 A .由 T2 得 .12函数为偶函数，0 ， ， 2 f(x) cos x， f( ) cos .12 16
13、12 6 34三、解答题13.如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间. (1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角 是以 Ox 为始边， OP0为终边的( 2 0)角. OP 每秒钟内所转过的角为 ，5260 6则 OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t. 6由题意可知水轮逆时针转动，得 z4sin 2.( 6t )当 t0 时， z0，得 sin ，即 .12 6故所
14、求的函数关系式为 z4sin 2.( 6t 6)(2)令 z4sin 26，( 6t 6)得 sin 1，( 6t 6)令 t ，得 t4， 6 6 2故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s.四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数 ysin 的图象，若其在区间0， t上至少有 2 个波峰， x2则正整数 t 的最小值是( )A.5 B.6 C.7 D.8答案 C15.如图所示，某地夏天从 814 时的用电量变化曲线近似满足函数 y Asin(x ) b(0 ). 2(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)最大用电量为 50 万 kWh，最小用电量为 30 万 kWh.(2)观察图象可知从 814 时的图象是 y Asin(x ) b 的半个周期的图象， A (5030)10， b (5030)40.12 12 148，12 2 . y10sin 40. 6 ( 6x )将 x8， y30 代入上式，又0 ， . 2 6所求解析式为 y10sin 40， x8，14.( 6x 6)
