1、第一章 三角函数学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图象.4.理解三角函数 ysin x， ycos x， ytan x 的性质.5.了解函数 y Asin(x )的实际意义，掌握函数y Asin(x )图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么：(1)y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y；(2)x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x；(3) 叫做 的正切，记作 tan ，即 tan (x0)
2、.yx yx2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2 cos 2 1.(2)商数关系：tan .sin cos ( k 2， k Z)3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“ k (kZ)”的诱导公式.当 k 为偶数时，函数名不改 2变；当 k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把 视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R Error!Error!值域 1，1 1，1 R对称性对称轴：x k (kZ)；对称 2中心：( k，0)( kZ)对称轴：x k(
3、 kZ)；对称中心：(k(k 2， 0)Z)对称中心：(kZ)，无对(k2， 0)称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数周期性 最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：单调性在Error! (kZ)上单调递增；在Error! ( kZ)上单调递减在2 k，2k( kZ)上单调递增；在2k，2 k( kZ)上单调递减在开区间(k ， k ) 2 2(kZ)上递增最值在 x 2 k( kZ)时， 2ymax1；在x 2 k( kZ)时， 2ymin1在x2 k( kZ)时， ymax1；在x2 k( kZ)时，ymin1无最值类型一 三角函数的概念例 1 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半
4、轴.若 P(4， y)是角 终边上一点，且 sin ，则 y .255答案 8解析 r ，且 sin ，x2 y2 16 y2255所以 sin ，所以 为第四象限角，解得 y8.yr y16 y2 255反思与感悟 (1)已知角 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.在 的终边上任选一点 P(x， y)， P 到原点的距离为 r(r0).则 sin ，cos .yr xr已知 的终边求 的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分
5、类讨论.跟踪训练 1 已知角 的终边在直线 3x4 y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值.解 角 的终边在直线 3x4 y0 上，在角 的终边上任取一点 P(4t，3 t)(t0)，则 x4 t， y3 t.r 5| t|.x2 y2 4t2 3t2当 t0 时， r5 t，sin ，yr 3t5t 35cos ，tan ；xr 4t5t 45 yx 3t4t 34当 t0 时， r5 t，sin ，yr 3t 5t 35cos ，tan .xr 4t 5t 45 yx 3t4t 34综上可知，sin ，cos ，tan 35 45 34或 sin ，cos ，tan .35 45
6、34类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例 2 已知关于 x 的方程 2x2( 1) x m0 的两根为 sin ，cos ， (0，2).3求：(1) ；cos2(32 )cos( 2 ) cos sin( 2 )1 tan (2)m 的值；(3)方程的两根及此时 的值.解 由根与系数的关系，得sin cos ，3 12sin cos .m2(1)原式 sin2sin cos cos 1 tan sin2sin cos cos 1 sin cos sin2sin cos cos2sin cos sin cos .3 12(2)由 sin cos ，3 12两边平方可得12sin
7、cos ，4 23412 1 ，m2 32m .32(3)由 m 可解方程 2x2( 1) x 0，32 3 32得两根 和 .12 32Error! 或 Error! (0，2)， 或 . 6 3反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式 sin2 cos 2 1 及 tan ，并能应用两sin cos 个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin cos 的值，可求 cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .(2)诱导公式可概括为 k (kZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不 2变，符号看象限.跟踪训练 2 已
8、知 f( ) .sin2 cos2 tan sin tan 3 (1)化简 f( )；(2)若 f( ) ，且 0，求 a， b 的值.解 令 tsin x，则g(t) t2 at b1 2 b1，(ta2) a24且 t1，1.根据对称轴 t0 与区间1，1的位置关系进行分类讨论.a2当 1，即 a2 时，a2Error!解得 Error!当1f()，则|f 6| ( 2)f(x)的单调递增区间是 .答案 (kZ) 6 k ， 23 k 解析 由题意可知，当 x 时， f(x)取最值. 6 f sin 1， k( kZ)， k( kZ).又( 6) ( 3 ) 3 2 6f f()，sin(
9、 )sin(2 )，即sin sin ，sin 0)的图象向左平移 个单位得到函数 y g(x)的图象. 3 3若 y g(x)在 ， 上为增函数，则 的最大值为 . 6 4答案 215.已知函数 f(x) cos ， xR.2 (2x 4)(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数 f(x)在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x 的值. 8， 2解 (1)因为 f(x) cos ， xR，2 (2x 4)所以函数 f(x)的最小正周期为 T .22由2 k2 x 2 k( kZ)， 4得 k x k( kZ)，38 8故函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ).38 k ， 8 k (2)因为 f(x) cos 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，2 (2x 4) 8， 8 8， 2又 f 0， f ， f cos cos 1，所以函数 f(x)在区( 8) ( 8) 2 ( 2) 2 ( 4) 2 4间 上的最大值为 ，此时 x ；最小值为1，此时 x . 8， 2 2 8 2
